17.1-勾股定理(1)定理推导

毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著 名的哲学家、数学家、天文学家。
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
探究一：等腰直角三角形三边关系
C
图1
A
图2
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
证法三：
现在我们一起来探 索“弦图”的奥妙吧！
c b
a
弦图
S大正方形＝c2 S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
即：c2=4•
1 2
ab+(b-a)2
C2=2ab+a2-2ab+b2
a2 + b2 = c2
辉煌发现 勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
这个我定国理早,在a人2三们+千b把2多弯=年曲c2就成知直道角了的
a bc
c a
b
S梯形
1 2
(a
b)(a
b)
SS梯 形
1 2
ab
1 2
ab
1 c2 2
∴ a2 + b2 = c2
勾股定理（gou-gu法则)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
在西方又称毕达
勾a
c弦
哥拉斯定理耶！
图1-1
图1-2
• 1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的 这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股定 理直观、简捷、易懂、明 了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。
美国总统的证明
a
c
b
cb a
证法三：
伽菲尔德证法:
命题１：如果直角三角形的两直角边长分 别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
a
c
b
a2 +b2 =c2
证法一：
.a、b、c 之间的关系
a2 +b2 =c2
用
拼
图 法
a
证 明b
ac b
∵S大正方形
=(a+b)2=a2+b2+2ab
bS大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 c a=4·1 ab+c2
手臂的上半部分称为“勾”，
下我国半古部代分学称者为把“直股角三”角。形中
勾a 弦 c
较短的直角边称为 勾
较长的直角边称为 股
股b
斜边称为 弦
勾2 + 股2 = 弦2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较 长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”， 最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作 法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大 会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它 标志着中国古代的数学成就.
图1
9
9 18
A B
图1
C A
B 图2
图2
A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
4
4
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
8
（图中每个小方格代表一个单位面积）
那么对于一般的直角三角形这个结论也成立吗？
C A
B
SA+SB=SC
直角边2 + 直角边2 = 斜边2
把C“补” 成边长为7的正方形
勾股定理
2002年国际数学家大会会标
弦图
它标志着我 国古代数学 的成就！
这个图形里 到底蕴涵了什 么样博大精深 的知识呢？
看
能同面去 发学反朋
一
现们映友 相 什，直家 传
看
么我角作 两 ？们三客 千
也角，五
来形发百
观三现年
察边朋前
一的友，
下某家一
图种用次
案数砖毕
，量铺达
看关成哥
看系的拉
你，地斯
商高定理就 是勾股定理哦！
商高定理：
商高是公元前
十一世纪的中国人。当
时中国的朝代是西周，
是奴隶社会时期。在中国
古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录
着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三
，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角
三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
b
股
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说
成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作
“商高定理”。
毕达哥拉斯定理：
“勾股定理”在国外，尤其在西方 被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定 理”．
c
2
b =c2+2ab
∴a2+b2+2ab=c2+2ab
a ∴a2 +b2 =c2
用赵爽弦图证明勾股定理
b
a
a2 b2 =
c b
a
c2
它们的面积和: a2 b2
朱实 朱实 黄实 朱实
朱实
c ba
b a
a
经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股命定题1理如: 果如直果角直三角角三形角的形两的直角两边直长角分边长分 别为别a为,ba,,斜b, 斜边边长长为为c,c那, 那么么aa22 b2 cc22..
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
面积) 面积) 面积)
9
9
C A
S正方形c
B C
图1
A
4 1 33 18 2
B
（单位面积）
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
ห้องสมุดไป่ตู้
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
A的面 B的面 C的面
积(单位 积(单位 积(单位
面积) 面积) 面积)
C
探究二：
一般的直角三角形
C
三边关系
A
S正方形c
4 1 431 2
B
C
图3
A
B
图4
25（单位面积） 分割成若干个直角边为
整数的三角形
A a
Bb c
C
如果直角三角形的两条直角 边长分别是a、b，斜边长
为c.猜想:两直角边a、b 与斜边c 之间的关系？
SA+SB=SC
a2+b2=c2
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和， 等于斜边的平方.