2013届高考理科数学第一轮基础复习课件6

由已知可得， 判别式 Δ＝56－16a－4a2＞0.即 a2＋4a－14＜0， a2－2a＋1 x1＋x2＝4－a，x1x2＝ . ① 2 由于 OA⊥OB，可得 x1x2＋y1y2＝0. 又 y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以 2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ② 由①②得 a＝－1，满足 Δ＞0，故 a＝－1.
相交
内切 内含
两组不同的实数解 _________________ 一组实数解
无解
d＝|r1－r2|(r1≠r2) ________________
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) ___________________
1 ．若点 P(x0， y0)是圆x2＋y2 ＝r2上一点，则过点 P的圆的切线方 程是什么？ 【提示】 x0x＋y0y＝r2 两个圆的方程相减得到的方程是公共弦所在直线
(3)设 M(x1，y1)、N(x2，y2)， 将 y＝kx＋1 代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1 得(1＋k2)x2－ 41＋k 7 4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝ ， x x ＝ ， 1 2 1＋k2 1＋k2 → · → ＝ x1x2 ＋ y1y2 ＝ (1 ＋ k2)x1x2 ＋ k(x1 ＋ x2) ＋ 1 ＝ ∴ OM ON 4k1＋k 4k1＋k ＋8＝12，∴ ＝4，解得 k＝1. 1＋k2 1＋k2
【尝试解答】 (1)曲线 y＝x2－6x＋1 与 y 轴的交点为(0,1)， 与 x 轴的交点为(3＋2 2，0)，(3－2 2，0)． 故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 32＋(t－1)2＝(2 2)2＋t2， 解得 t＝1. 则圆 C 的半径为 32＋t－12＝3. 所以圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组 x－y＋a＝0， 2 2 x－3 ＋y－1 ＝9. 消去 y，得方程 2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
【解析】 设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，即 kx－y－4k ＝0， 当直线 l 与圆相切时，k 有最大值或最小值． |2k－4k| 1 3 由 2 ＝1 得 k2＝ ，∴k＝± . 3 3 k ＋1
【答案】 －
3 3
直线与圆的位置关系 (2011·课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 y＝x2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a 的值． 【思路点拨】 (1)求出交点坐标后，利用圆的几何性质，先 求圆心，再求半径． (2)设出A、B点的坐标，联立直线方程与圆的方程，寻找A、 B点坐标的关系，最后利用OA⊥OB建立A，B点坐标的等量 关系求解．
2 ．圆 O1 ： x2 ＋ y2 － 2x － 4y＋ 4 ＝ 0 与圆 O2 ： x2 ＋ y2 － 8x － 12y＋ 36
＝0的位置关系是________．
【解析】 圆 O1 可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆 O2 可化为 (x－4)2＋(y－6)2＝16， 又|O1O2|＝ 4－12＋6－22＝5＝r1＋r2， 故两圆外切．
1．解答本题(2)时，把 OA⊥OB 转化为点 A，B 坐标之 间的关系是解题的关键． 2．判断直线与圆的位置关系可等价转化为圆心到直线 的距离 d 与半径 r 的关系． 3．涉及到圆的弦长问题时，一般借助圆的几何性质， 利用弦长 l 之半， 弦心距 d 及圆的半径 r 构成的直角三角形 l 2 r ＝( ) ＋d2 求解． 2
第四节 直线、圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系： d＜r ⇔相交；_________ _______ d＝r ⇔相切；_________ d＞r ⇔相离．
2．圆与圆的位置关系 2 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2 1(r1＞0)，圆 O2：(x－a2) 2 ＋(y－b2)2＝r2 (r2＞0).
2．两圆相交，公共弦所在直线的方程与两圆的方程有何关系？
【提示】 的方程．
1．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是( A．相切 C．相离 B．相交 D．随a的变化而变化
)
【解析】 ∵ 直线 y＝ ax＋ 1恒过定点 (0,1)，又点 (0,1)在圆 (x－ 1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交． 【答案】 B方法 位置关系 相离 外切
代数法：联立两圆 几何法：圆心距d与r1， 方程组成方程组的 r2的关系 解的情况 d ＞ r 1 ＋ r2 _______________ d ＝ r1 ＋ r2 ________________ |r1－r2|＜d＜r1＋r2 __________________ 无解 _________ 一组实数解
【答案】 外切
3．(2012·中山模拟)直线y＝x被圆x2＋y2－4x＝0截得的弦长为 ________．
【解析】 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)，半 2 径 r＝2，圆心到直线 y＝x 的距离 d＝ ＝ 2， 2 故弦长为 2 22－ 22＝2 2.
【答案】 2 2
4．(2012·东莞模拟)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1 有公共点，则直线l的斜率的最小值为________．
2
已知过点 A(0,1)，且方向向量为 a＝(1，k)的直线 l 与圆 C：(x －2)2＋(y－3)2＝1 相交于 M、N 两点． (1)求实数 k 的取值范围； →· → 为定值； (2)求证：AM AN →· → ＝12，求 k 的值． (3)若 O 为坐标原点，且OM ON
【解】 (1)∵直线 l 过点(0,1)且方向向量 a＝(1，k)， ∴直线 l 的方程为 y＝kx＋1. |2k－3＋1| 4－ 7 4＋ 7 由 ＜1，得 ＜k＜ . 3 3 k2＋1 (2)证明 设过点 A 引圆 C 的一条切线为 AT，T 为切点， 则 AT2＝[(0－2)2＋(1－3)2]－12＝7. →· → ＝|AM → ||AN → |cos 0° ∴AM AN ＝AT2＝7， →· → 为定值． ∴AM AN