概率模拟试题

1.已知连续型随机变量X 的概率密度函数为1221

)(-+-=x x e x f π，则X 的数学期望为（ 1 ），X 的方差为（0.5 ）。

2. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式有估计≤≥-}42{X P （ 0.125 ）。

3. 如果随机变量X 与Y 不相关，则下列等式中)(不成立。(c)

)(A 0),cov(=Y X ； )()()()(Y D X D Y X D B +=+；

)(C )()()(Y D X D XY D =； )(D )()()(Y E X E XY E =。

4.已知随机变量),(Y X 服从二维正态分布，若)9,1(~N X ，)16,0(~N Y ，且21-=XY ρ，2

3Y X Z +=. 则=)(Z D 5. 设随机变量),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且Y X ,相互独立，从总体X 中得到样本1,,21n X X X Λ，从总体Y 中得到样本2,,,21n Y Y Y Λ，∑∑====n i i n i i Y n Y X n X 1

2111,1，则有 。 （A ）~Y X -),(222121σσμμ++N ； （B ）~Y X -),(2221

2

121n n N σσμμ+-； （C ）~Y X -),(22212

121n n N σσμμ--； （D ）~Y X -),(22

212

121n n N σσμμ-+。 6. 设总体),(~2σμN X ，2σ未知，n X X X ,,,21Λ为一组样本。对显著性水平α，假设检验00:μμ=H 时，可采用统计量

X Z = 7. 总体X ～),(2σμN ，其中μ已知而2σ未知，设n X X X ,,,21Λ是来自正态总体),(2σμN 的容量为n 样本，对于给定的显著性水平)10(<<αα，检验假设2020:σσ=H ；2021:σσ≠H 时，使用的统计量为 B 。

)(A 标准正态分布 )1( )(2-n B χ )( )(2n C χ ),1( )(n n F D -

8. 设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知，检验假设为00:μμ=H ；01:μμ≠H ，若用t —检验法进行假设检验，则在显著性水平α下，拒绝域为 B 。

)(A )1(21-<-n t t α )(B )1(21->-n t t α )(C )1(1-≥-n t t α )(D )1(1--<-n t t α

9. 某中灯泡的寿命服从正态分布),(2σμN ，均方差150=σ，今抽取一容量为26的子样，称得平均值为1637，问在05.0=α下，能否认为这批灯泡寿命的期望值为1600。

解：检验假设1600:;1600:11010≠==μμμH H 。检验统计量)1,0(~0

N n X Z σμ-=， ,05.0,26==αn 查标准正态分布表得96.1=αz ，则

96.1258.126

1501600163720

=<=-=

-=ασμz n x z ，接受0H ，即认为这批灯泡寿命的期望为1600。

10.. 某种电子元件的使用寿命服从正态分布，总体均值不应低于2000（h ）。从一批这种元件中抽取25个测的元件寿命的样本均值和标准差分别为1920（h ）、150（h ），检验这批元件是否合格（01.0=α）。

解答：检验假设011010:;2000:μμμμ<=≥H H ，检验统计量)1(~0

--=n t n s X t μ，

,01.0,25==αn 150,1920==s x ，查t —分布表得4922.2)24()1(01.0==-t n t α，则

4922.26667.20-<-=-=

n

s x t μ，拒绝0H ，即可以认为这批元件不合格。

11.（1）最大似然估计：∑=∧-=n i i

x n

1ln θ；矩估计为：X X -=∧1θ； 解：（1）最大似然法：似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎩

⎪⎨⎧==-==-∏∏其它其它，， ,0)(,0)(1

21111θθθθn n n i n i i i x x x x x f L Λ， 取对数，得∑=-+=n i i x n L 1ln )1(ln ln θθ，对θ求导，得

0ln ln 1=+=∑=n i i x n d L d θθ，所以θ的最大似然估计为∑=∧-=n i i x n

1ln θ。 矩估计法：因为X d x x EX =+==⎰-1101θθ

θθθ，所以θ的矩估计量为X

X -=∧1θ。 12. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度为⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=-0 ,00,);(x x e x p x λλλ，λ为未知参数，求λ的最大似然估计量。 解：设n x x x ,,,21Λ为样本观测值，则似然函数为∑=-=-==∏n i i i x n n i x e

e L 11)(λλλλ，于是

∑=-=n i i x n L 1ln ln λλ，

0ln 1

=-=∑=n i i x n d L d λλ，解得λ的最大似然估计值为x 1=∧λ，估计量为X 1=∧λ

13. 设相互独立的两个随机变量 X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为

则随机变量},max{Y X Z =的分布律是 。

14. 设随机变量),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且Y X ,相互独立，则Y X 3121

-~ )9

141,3121(222121σσμμ+-N 。 15. 设)2,1(~N X ，)1,0(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则32+-=Y X Z 的概率密度函数为 )5,0(N 。