整数规划分支定界习题
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(2)求解R0，得R0的最优解x(0)和最优值z0。若x(0)符合R的整 数条件，则显然x(0)也是R的最优解，结束；否则，以R0作为一个 分枝标明求解的结果，z0是问题R的最优目标值z*的一个上界z。
(3)分枝。取目标函数值最大的一个枝Rs，在Rs的解中任选 一不符合整数条件的变量xj，其值为bj，构造两个约束条件 xj≤[bj]和xj≥[bj]+1。将两个约束条件分别加入问题Rs，得两个 后继规划问题Rs1和Rs2。不考虑整数条件求解这两个后继问题， 以每个后继问题为一分枝标明求解的结果。
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x1,x2≥0
问题R2为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≥ 5 x1,x2 ≥ 0
R1:z1=349 x1=4.00 x2=2.10
R2:z2=341 x1=5.00 x2=1.57
▪ 问题7相应的线性规划的最优解：无最优解
• 第八步，定界过程
▪ LP7的无最优解，不必再分枝，下界仍为29； ▪ 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为209/7。 ▪ LP6的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值209/7大于
现有下界29，则应继续分枝。
• 第九步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件 ：
• 第四步，定界过程
▪ LP3的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是29， 大于原有下界0，则新的下界为29；
▪ 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为226/7。 ▪ LP2的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值226/7大于
现有下界，则应继续分枝。
• 第五步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件 ：
x2≤ 3， x2≥ 4
• 求解相应的线性规划的最优解 ▪ 问题8相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =3，Z8=27 ▪ 问题9相应的线性规划的最优解：x1=7/5，x2 =4，Z9=142/5
• 第十步，定界过程
▪ LP8的最优解，满足整数约束，不必再分枝，下界仍为29； ▪ 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为29。 ▪ 虽然LP9的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值142/5
R11: z1z12=327 x1=1.42 x2=3.00
R21: z21=308 x1=5.44 x2=1.00
R22: 无可 行解
• 求解相应的线性规划的最优解 ▪ 问题2相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =20/7，Z2=226/7 ▪ 问题3相应的线性规划的最优解：x1=4，x2 =1，Z3=29
x2≤ [20/7]=2， x2 ≥ [20/7] +1=3
• 求解相应的线性规划的最优解 ▪ 问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 ▪ 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
• 第六步，定界过程
▪ LP4的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是28， 小于原有下界29，则下界仍为29；
x2 ≤2
x2≥3 x1 ≤1
x1≥2
问题R11为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x2 ≤2 x1,x2≥0
问题R12为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x2 ≥3 x1,x2 ≥ 0
(4)定界。在各分枝中找出目标函数值最大者作为新的上界z ；从已符合整数要求的各分枝中，找出目标函数值最大者作为新 的下界z。
(5)比较与剪枝。各分枝的最优目标函数值中如果有小于z 者，则剪掉这一枝（用打×表示），即以后不再考虑了。若已没 有大于z的分枝，则已得到R的最优解，结束；否则，转(3)。
例 求解问题
分枝定界法
分枝定界法是20世纪60年代由 Land-Doig和Dakin等人提出的。这 种方法既可用于纯整数规划问题， 也可用于混合整数规划问题，而且 便于用计算机求解，所以很快成为 解整数规划的最主要的方法。
设有最大化的整数规划问题R， 与它相应的线性规划问题为R0，分枝 定界法的做法是：
(1)用观察法求R的一个可行解，其目标值便是R的最优目标 值z*的一个下界z。
小于现有下界29，则不再继续分枝。
• 上界=下界，得整数规划问题的最优解： x1=4，x2 =1，Z=29
• 分枝定界过程
x2≤2 x2≤3
x1≤3 x2 ≥3
x1≤2 x2 ≥4
x1 ≥4 x1 ≥3
▪ 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为159/5。 ▪ LP5的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值159/5大于
现有下界29，则应继续分枝。
• 第七步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x1进行分枝，构造两个新的约束条件 ：
x1≤ [14/5]=2，x1≥ [14/5] +1=3
• 求解相应的线性规划的最优解： ▪ 问题6相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =25/7，Z6=209/7
Max z=40x1+90x2 9x1+7x2 ≤ 56 7x1+20x2≤70 x1,x2≥0, 整数
问题R0为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1,x2≥0
R0: z0=356 x1=4.81 x2=1.82
x1 ≤4
x1≥5
问题R1为: Max z=40x1+90x2
(3)分枝。取目标函数值最大的一个枝Rs，在Rs的解中任选 一不符合整数条件的变量xj，其值为bj，构造两个约束条件 xj≤[bj]和xj≥[bj]+1。将两个约束条件分别加入问题Rs，得两个 后继规划问题Rs1和Rs2。不考虑整数条件求解这两个后继问题， 以每个后继问题为一分枝标明求解的结果。
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x1,x2≥0
问题R2为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≥ 5 x1,x2 ≥ 0
R1:z1=349 x1=4.00 x2=2.10
R2:z2=341 x1=5.00 x2=1.57
▪ 问题7相应的线性规划的最优解：无最优解
• 第八步，定界过程
▪ LP7的无最优解，不必再分枝，下界仍为29； ▪ 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为209/7。 ▪ LP6的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值209/7大于
现有下界29，则应继续分枝。
• 第九步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件 ：
• 第四步，定界过程
▪ LP3的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是29， 大于原有下界0，则新的下界为29；
▪ 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为226/7。 ▪ LP2的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值226/7大于
现有下界，则应继续分枝。
• 第五步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件 ：
x2≤ 3， x2≥ 4
• 求解相应的线性规划的最优解 ▪ 问题8相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =3，Z8=27 ▪ 问题9相应的线性规划的最优解：x1=7/5，x2 =4，Z9=142/5
• 第十步，定界过程
▪ LP8的最优解，满足整数约束，不必再分枝，下界仍为29； ▪ 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为29。 ▪ 虽然LP9的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值142/5
R11: z1z12=327 x1=1.42 x2=3.00
R21: z21=308 x1=5.44 x2=1.00
R22: 无可 行解
• 求解相应的线性规划的最优解 ▪ 问题2相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =20/7，Z2=226/7 ▪ 问题3相应的线性规划的最优解：x1=4，x2 =1，Z3=29
x2≤ [20/7]=2， x2 ≥ [20/7] +1=3
• 求解相应的线性规划的最优解 ▪ 问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 ▪ 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
• 第六步，定界过程
▪ LP4的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是28， 小于原有下界29，则下界仍为29；
x2 ≤2
x2≥3 x1 ≤1
x1≥2
问题R11为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x2 ≤2 x1,x2≥0
问题R12为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤ 70 x1 ≤4 x2 ≥3 x1,x2 ≥ 0
(4)定界。在各分枝中找出目标函数值最大者作为新的上界z ；从已符合整数要求的各分枝中，找出目标函数值最大者作为新 的下界z。
(5)比较与剪枝。各分枝的最优目标函数值中如果有小于z 者，则剪掉这一枝（用打×表示），即以后不再考虑了。若已没 有大于z的分枝，则已得到R的最优解，结束；否则，转(3)。
例 求解问题
分枝定界法
分枝定界法是20世纪60年代由 Land-Doig和Dakin等人提出的。这 种方法既可用于纯整数规划问题， 也可用于混合整数规划问题，而且 便于用计算机求解，所以很快成为 解整数规划的最主要的方法。
设有最大化的整数规划问题R， 与它相应的线性规划问题为R0，分枝 定界法的做法是：
(1)用观察法求R的一个可行解，其目标值便是R的最优目标 值z*的一个下界z。
小于现有下界29，则不再继续分枝。
• 上界=下界，得整数规划问题的最优解： x1=4，x2 =1，Z=29
• 分枝定界过程
x2≤2 x2≤3
x1≤3 x2 ≥3
x1≤2 x2 ≥4
x1 ≥4 x1 ≥3
▪ 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为159/5。 ▪ LP5的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值159/5大于
现有下界29，则应继续分枝。
• 第七步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x1进行分枝，构造两个新的约束条件 ：
x1≤ [14/5]=2，x1≥ [14/5] +1=3
• 求解相应的线性规划的最优解： ▪ 问题6相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =25/7，Z6=209/7
Max z=40x1+90x2 9x1+7x2 ≤ 56 7x1+20x2≤70 x1,x2≥0, 整数
问题R0为: Max z=40x1+90x2
9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1,x2≥0
R0: z0=356 x1=4.81 x2=1.82
x1 ≤4
x1≥5
问题R1为: Max z=40x1+90x2