2.3.4 平面与平面垂直的性质ppt课件.ppt

β
所以a∥α.
即直线a与平面α平行.
α
b
a
l
A
结论：垂直于同一平面(β)的直线(l)和平面(α)平行
（ a ）.
变式训练
已知平面α ，β ，γ ，满足α ⊥γ ，β ⊥γ ，α∩β = l, 求证：l ⊥γ .
分析：作出图形.
（证法一）
l aα
βb
（证法二）
l α
β
n γm
an γ mb A
证法1：设 α∩γ= n,β∩γ= m,
D
α
B
A
C
证明:在平面 β内作BE⊥CD,
垂足为B.
则∠ABE就是二面角α- CD -β
的平面角.
因为 , 所以AB⊥BE.
Eβ D
又由题意知AB⊥CD, 且BE CD=B，
α
B
C
A
所以AB⊥ .
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线
与另一个平面垂直．
符号表示:
故BC⊥平面PAB.
C B
５．如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 SDC⊥底面 ABCD， 求证：平面 SCD⊥平面 SBC.
【分析】转化为证明BC⊥平面SCD.
【证明】因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD， 平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面SCD. 又因为BC⊂平面SBC， 所以平面SCD⊥平面SBC.
思考交流
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB 上任取一
点 E，作 EF⊥A1B1 于 F，则 EF 与平面 A1B1C1D1 的关系是( D )
A．平行 C．相交但不垂直
B．EF⊂平面 A1B1C1D1 D．垂直
【解析】选D.因为平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1， EF⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1， EF⊥A1B1，所以EF⊥平面A1B1C1D1.
在γ内过A点作直线 b⊥m，
an
γ mb A
α⊥γ
α∩γ=
n


a


a⊥n l
al
同理b l
l .
a bA
结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那 么这两个平面的交线垂直于这个平面.
如图：
l α
β γ
判断线面垂直的两种方法： ①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
思考4 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过
点P作平面 的垂线a，直线a与平面 具有什么
位置关系?
直线a在平面 Leabharlann Baidu 内
α
α
aP
β
a P
β
结论 两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个 平面的直线在该平面内.
思考5 已知平面α ⊥β ，α∩β = AB，直线a ∥α ， a ⊥ AB，试判断直线a与β 的位置关系. 垂直
α
bB a l
β A
例 如图，已知平面，， ，直线a满足a , a ，试判断直线a与平面的位置关系.
分析：寻找平面α内与a平行的直线.
α
b
a
l
β
A
解：在α内作垂直于 与
交线的直线b，
因为 ， 所以 b ，
因为 a ，
所以a∥b.
又因为 a ，
思考2 如图，在长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定 (2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 与AD垂直
F
A1
D1
α
C1 B1
D
E
A
β
C
B
思考3 , CD， AB ,
AB CD,
垂足为B，那么直线AB与平面β 的位置关系如何？
为什么？
垂直 Eβ
在α内作直线a ⊥n
l
在β内作直线b⊥m
βb
aα
a⊥γ b //α
同理b⊥γ
b β

α∩β= l
γ
m
n
b//a
a α

b α

b //l
b⊥γ


l
⊥γ.
α∩β=
l

证法2：设 α∩γ= n,β∩γ= m,
在γ内任取一点A（不在m,n上）， l α 在γ内过A点作直线 a ⊥n， β
4.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC， 求证：BC⊥平面PAB.
P
A
C
B
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
因为平面PAB⊥平面PBC，
P
平面PAB∩平面PBC=PB，
所以AE⊥平面PBC.
因为BC 平面PBC,所以AE⊥BC. A
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC,
所以PA⊥BC，又因为PA∩AE=A,
３．（2012·浙江高考） 设 l 是直线，α ，β 是两个不同的平面，则
下列说法正确的是 （ B ）
A. 若 l ∥α ， l ∥β ，则α ∥β B. 若 l ∥α ， l ⊥β ，则α ⊥β C. 若α ⊥β ， l ⊥α ，则 l ⊥β D. 若α ⊥β , l ∥α ，则 l ⊥β
【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的，因为 l ∥α， l ⊥ β，则α⊥β．如选项 A：l ∥α，l ∥β时，α∥β或α与β 相交；选项 C：若α⊥β， l ⊥α，则 l ∥β或 l ；选项 D： 若α⊥β, l ∥α，则 l ∥β或 l 与β相交或 l 在β内．
2.3.4 平面与平面垂直的性质
墙角线与地面有何位置关系？
迷宫的所有面都是与地面垂直的，每个拐角 所在直线与地面什么关系？
1.理解平面与平面垂直的性质定理.（重点） 2.能运用性质定理解决一些简单问题.（难点） 3.了解垂直关系间的相互转化关系.
思考1 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直， 你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直?
α ⊥β
α∩β = CD AB ⊂ α
⇒
AB ⊥β
AB ⊥ CD
AB∩CD = B

A
C
BD
【提升总结】

关键点：①线在平面内.
②线垂直于交线. C
A BD
作用： ①它能判定线面垂直.
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线. 面面垂直
线面垂直
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
1．设两个平面互相垂直，则( B )
A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一 平面上 C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于 另一个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
2.下列命题中，正确的是（ C ） A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直 B.若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直 C.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 D.a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面 和a,b都垂直.