数列解答题常考题型训练
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（2）求数列 的前 项和 ．
14．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
15．记 为各项为正数的等比数列 的前 项和，已知 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式;
（Ⅱ）令 ，求 的前n项和 .
16．数列 中， ， ， （ ）.
（2）证明：由已知： ， 当 时，
，即：
15．【解析】（Ⅰ） = ， ， = 或-4（舍去），故 , ， ．
（Ⅱ） ，
故 .
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时wk.baidu.com项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
16．【解析】（1）∵ ，∴ （ ），∴ 等差数列.设公差为 ，又 ， ，∴ ，∴ .
（2） ，∴ ，假设存在整数 满足 总成立，又 ，∴数列 是单调递增的，∴ 的最小值 ，故 ，即
又 ，∴适合条件的 的最大值为7.
【点睛】本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1） ；（2） ； （3） ；（4） .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求使 成立的正整数 的值.
9．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 .数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
10．已知数列 满足 ， 且 .
（1）求证：数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
∴ ，
（2）由（1）得
∴
∴
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 （ ），令 ，求数列 的前 项和 .
22．已知等比数列 为递增数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ， ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和为 .
数列参考答案
1．【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，所以 解得 ，所以数列 的通项公式为 .
17．【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，因为 成等差数列，所以 ，得 ，又 ，则 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，显然 ，所以 ，解得 ，故数列 的通项公式
（2）由（1）知，
所以 ，则
18．【解析】（1）当 时， ，即 ， 当 时， ①， ②， ，得 ，即 ，所以 ，且 ， 所以数列 为常数列， ，即 ．
故 .数列 对任意正整数 ，满足 .当 时， ，解得 ；当 时， ，
所以 .所以 是以首项 ，公比 的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，所以 ，①；所以 ，②；①-②，得 ，所以 .
10．【解析】（1） ， 且 ，∴ ，即 ，
∴ ，数列 是首项为 ，公差为1的等差数列.∴ ，
∴ ，∴
由 得： ，
（2）由（1）知， ，
7．【解析】（1）由题意知， ，即 ，
解得 ，故 ， ．
（2）由 ，得 ，由 ，解得 ．
故所求的最大正整数 为5．
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
8．【解析】（Ⅰ）依题意，设等比数列的公比为 ，则 ，即 ，解得 .所以 .于是有 解得 或
又 是递增的，故 ，所以 .
（Ⅱ） , ①；则 ②；②-①，得 ，即数列 的前 项和 ，则 ，即 ，解得 .
9．【解析】解：（1）由 ，得 ，解得 .由 ，解得 或 .若 ，则 ，所以 .所以 ，故 不合题意，舍去.所以等差数列 的公差 ，
（2）由（1），得 ，所以 .
5．【解析】(1)已知a1=3，对任意n∈N*，都有2Sn-an=nan①，当n≥2时，2Sn-1-an-1=（n-1）an-1②，①-②得
化简整理得 ，所以 ， ，……， ，
左右两边分别相乘，可得 ，已知 ，所以
(2) ，
所以
6．【解析】（1） ， ， 成等差数列， 且 ， 数列 是等比数列，且公比
(Ⅰ)求数列 ， 的通项公式；
(Ⅱ)若数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
5．设 为数列 的前n项和，已知 ，对任意 ，都有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 求数列 的前n项和 ．
即 .
（2）∵ ，
所以
.
记 ③，
④，
由③ ④得： ，
所以 .所以 .
21．（1）当 时， ，则
当 时， ，
即 或
∴ 或
（2）由 ，∴ ，
∴
22．【解析】（1）对于数列 ，
即 注意到 为递增数列，则 ∴
对于数列 ，由 得
相减得
又∵ ∴ 为定值
∴数列 和 都是以4为公差的等差数列
又∵ ∴在 中令 得
∴ ，
（2）若数列 的前 项和为 ，证明： ．
19．已知数列 是公差为2的等差数列，数列 满足 ， .
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
20．已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
21．若数列 的前 项和为 ，首项 且 （ ）.
（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．
20．【解析】（1）由 得： ，解得 ，
由 ，解得 .
当 时， ，即：
，①； ②
由②-①得 ，∴ ，又 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，∴ ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 （ ）， ，是否存在最大的整数 ，使得任意的 均有 总成立？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.
17．已知正项等比数列 中， ，且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）由（1）得 ，所以 ，
所以 ， ．
19．【解析】（1）依题意得 ，又数列 为公差为2的等差数列，
所以 ，所以 ．因为
所以 ，两式相减得： ， ，
所以 ， ，又 不满足上式，所以 ．
（2）当 时， ，所以 ，
又当 时， 满足上式，所以 .
【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．
6．已知数列 中， ，且 ， ，1 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求 .
7．已知等差数列 的公差为2，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和 ，求使 成立的最大正整数 的值.
8．已知等比数列 是递增数列，其公比为 ，前 项和为 ，并且满足 , 是 和 的等差中项.
（2）由（1）知 ，∴
11．【解析】(Ⅰ)将 代入得 ，又 ，所以 ，将 代入得 ，所以 ；从而 ， ， .
（Ⅱ）数列 是以1为首项，公差为2的等差数列.由条件，将 两边同时除以 得： ，
化简 ,即 ，所以数列 是以1为首项，公差为2的等差数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ， .
12．【解析】（1）设等差数列的公差为 ，则由已知得： ，即 ，
又 ，解得 或 （舍去）， ，
所以 ，又 ， ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ， ，两式相减得 ，则 .
13．【解析】（Ⅰ）证明：∵当 时， ，∴ ．
∴ ， ．∴数列 是以2为首项，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）解： ，∵ ， ①，∴ ，②，① ②： ， ∴ ．
14．【解析】（1）由 ……①； 时， ……②；①-②可得： ； ， ，设 公比为 ；
（2）由（1）可知
∴
,∴ ，∴ ，∴ 的最小正整数为1
2．【解析】（1）由 得 ，所以 或 ，又因为数列 的各项均为正数，负值舍去，所以 .
（2）由 ，所以 ①
②，由①-②得：
所以 .
3．【解析】(Ⅰ)设等比数列 的公比为q(q )，由题意，得 解得 或 （舍），又 所以 ，
(Ⅱ) ．∴ ，
∴
4．【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，则由 ，得 ，所以 ，①；由 ，得 ，所以 ，②；由①②，解得 ， ，故 .
数列
1．已知等差数列 的前 项的和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和 ，求使得 恒成立时 的最小正整数.
2．已知数列 的各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
3．已知数列 为正项等比数列，满足 ，且 构成等差数列，数列 满足 .
11．已知数列 满足 ， ，设 .
（Ⅰ）求 ， ， ；
（Ⅱ）判断数列 是否为等差数到，并说明理由；
（Ⅲ）求数列 的通项公式.
12．正项等差数列 中，已知 ， ，且 ， ， 构成等比数列 的前三项.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
13．已知数列 满足 （ ， ），且 ， ．
（1）证明：数列 是等比数列；
14．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
15．记 为各项为正数的等比数列 的前 项和，已知 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式;
（Ⅱ）令 ，求 的前n项和 .
16．数列 中， ， ， （ ）.
（2）证明：由已知： ， 当 时，
，即：
15．【解析】（Ⅰ） = ， ， = 或-4（舍去），故 , ， ．
（Ⅱ） ，
故 .
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时wk.baidu.com项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
16．【解析】（1）∵ ，∴ （ ），∴ 等差数列.设公差为 ，又 ， ，∴ ，∴ .
（2） ，∴ ，假设存在整数 满足 总成立，又 ，∴数列 是单调递增的，∴ 的最小值 ，故 ，即
又 ，∴适合条件的 的最大值为7.
【点睛】本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1） ；（2） ； （3） ；（4） .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求使 成立的正整数 的值.
9．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 .数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
10．已知数列 满足 ， 且 .
（1）求证：数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
∴ ，
（2）由（1）得
∴
∴
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 （ ），令 ，求数列 的前 项和 .
22．已知等比数列 为递增数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ， ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和为 .
数列参考答案
1．【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，所以 解得 ，所以数列 的通项公式为 .
17．【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，因为 成等差数列，所以 ，得 ，又 ，则 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，显然 ，所以 ，解得 ，故数列 的通项公式
（2）由（1）知，
所以 ，则
18．【解析】（1）当 时， ，即 ， 当 时， ①， ②， ，得 ，即 ，所以 ，且 ， 所以数列 为常数列， ，即 ．
故 .数列 对任意正整数 ，满足 .当 时， ，解得 ；当 时， ，
所以 .所以 是以首项 ，公比 的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，所以 ，①；所以 ，②；①-②，得 ，所以 .
10．【解析】（1） ， 且 ，∴ ，即 ，
∴ ，数列 是首项为 ，公差为1的等差数列.∴ ，
∴ ，∴
由 得： ，
（2）由（1）知， ，
7．【解析】（1）由题意知， ，即 ，
解得 ，故 ， ．
（2）由 ，得 ，由 ，解得 ．
故所求的最大正整数 为5．
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
8．【解析】（Ⅰ）依题意，设等比数列的公比为 ，则 ，即 ，解得 .所以 .于是有 解得 或
又 是递增的，故 ，所以 .
（Ⅱ） , ①；则 ②；②-①，得 ，即数列 的前 项和 ，则 ，即 ，解得 .
9．【解析】解：（1）由 ，得 ，解得 .由 ，解得 或 .若 ，则 ，所以 .所以 ，故 不合题意，舍去.所以等差数列 的公差 ，
（2）由（1），得 ，所以 .
5．【解析】(1)已知a1=3，对任意n∈N*，都有2Sn-an=nan①，当n≥2时，2Sn-1-an-1=（n-1）an-1②，①-②得
化简整理得 ，所以 ， ，……， ，
左右两边分别相乘，可得 ，已知 ，所以
(2) ，
所以
6．【解析】（1） ， ， 成等差数列， 且 ， 数列 是等比数列，且公比
(Ⅰ)求数列 ， 的通项公式；
(Ⅱ)若数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
5．设 为数列 的前n项和，已知 ，对任意 ，都有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 求数列 的前n项和 ．
即 .
（2）∵ ，
所以
.
记 ③，
④，
由③ ④得： ，
所以 .所以 .
21．（1）当 时， ，则
当 时， ，
即 或
∴ 或
（2）由 ，∴ ，
∴
22．【解析】（1）对于数列 ，
即 注意到 为递增数列，则 ∴
对于数列 ，由 得
相减得
又∵ ∴ 为定值
∴数列 和 都是以4为公差的等差数列
又∵ ∴在 中令 得
∴ ，
（2）若数列 的前 项和为 ，证明： ．
19．已知数列 是公差为2的等差数列，数列 满足 ， .
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
20．已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
21．若数列 的前 项和为 ，首项 且 （ ）.
（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．
20．【解析】（1）由 得： ，解得 ，
由 ，解得 .
当 时， ，即：
，①； ②
由②-①得 ，∴ ，又 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，∴ ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 （ ）， ，是否存在最大的整数 ，使得任意的 均有 总成立？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.
17．已知正项等比数列 中， ，且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）由（1）得 ，所以 ，
所以 ， ．
19．【解析】（1）依题意得 ，又数列 为公差为2的等差数列，
所以 ，所以 ．因为
所以 ，两式相减得： ， ，
所以 ， ，又 不满足上式，所以 ．
（2）当 时， ，所以 ，
又当 时， 满足上式，所以 .
【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．
6．已知数列 中， ，且 ， ，1 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求 .
7．已知等差数列 的公差为2，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和 ，求使 成立的最大正整数 的值.
8．已知等比数列 是递增数列，其公比为 ，前 项和为 ，并且满足 , 是 和 的等差中项.
（2）由（1）知 ，∴
11．【解析】(Ⅰ)将 代入得 ，又 ，所以 ，将 代入得 ，所以 ；从而 ， ， .
（Ⅱ）数列 是以1为首项，公差为2的等差数列.由条件，将 两边同时除以 得： ，
化简 ,即 ，所以数列 是以1为首项，公差为2的等差数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ， .
12．【解析】（1）设等差数列的公差为 ，则由已知得： ，即 ，
又 ，解得 或 （舍去）， ，
所以 ，又 ， ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ， ，两式相减得 ，则 .
13．【解析】（Ⅰ）证明：∵当 时， ，∴ ．
∴ ， ．∴数列 是以2为首项，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）解： ，∵ ， ①，∴ ，②，① ②： ， ∴ ．
14．【解析】（1）由 ……①； 时， ……②；①-②可得： ； ， ，设 公比为 ；
（2）由（1）可知
∴
,∴ ，∴ ，∴ 的最小正整数为1
2．【解析】（1）由 得 ，所以 或 ，又因为数列 的各项均为正数，负值舍去，所以 .
（2）由 ，所以 ①
②，由①-②得：
所以 .
3．【解析】(Ⅰ)设等比数列 的公比为q(q )，由题意，得 解得 或 （舍），又 所以 ，
(Ⅱ) ．∴ ，
∴
4．【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，则由 ，得 ，所以 ，①；由 ，得 ，所以 ，②；由①②，解得 ， ，故 .
数列
1．已知等差数列 的前 项的和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和 ，求使得 恒成立时 的最小正整数.
2．已知数列 的各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
3．已知数列 为正项等比数列，满足 ，且 构成等差数列，数列 满足 .
11．已知数列 满足 ， ，设 .
（Ⅰ）求 ， ， ；
（Ⅱ）判断数列 是否为等差数到，并说明理由；
（Ⅲ）求数列 的通项公式.
12．正项等差数列 中，已知 ， ，且 ， ， 构成等比数列 的前三项.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
13．已知数列 满足 （ ， ），且 ， ．
（1）证明：数列 是等比数列；