04第四章 分层抽样

⑩分层抽样中在进行分层时，需收集可用于分层的必要的 各种资料，因此可能会增加一定的额外费用。同时，分层 抽样中，总体参数的估计以及各层间样本量的分配、总样 本量的确定等都更为复杂化。



满足下述条件时，分层在精度上会有很大的得益： ①总体是由一些大小差异很大的单元组成的，即总体差异 大； ②分层后，每层所包含的总体单元数应是可知的，也即分 层后各层的权重是确知的或可以精确估计的； ③要调查的主要变量（标志）与单元的大小是密切相关的； ④对单元的大小有很好的测量资料可用于分层，也即分层 变量容易确定。

Ph (1 Ph ) N h ( N h nh ) nh h
L
h
四、方差的估计量 按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应 事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知 的，此时，一般可用对应的各层样本方差替代，以对估计 量的方差作出估计。

此时：
l 1 fh 2 Wh sh 1 L 2 ˆ V ( yst ) Wh sh Wh sh nh nh N h h h L 2
L
2
Wh S h 1 1 L 2 Wh S h 2 nh N h N h
L
2
2
Sh N h (N h nh ) nh h
L
2

可见，在分层抽样中，总体均值估计量的方差只与各层 内的方差有关，而同层间方差无关。而总体方差又是由 层内方差与层间方差两部分构成的。所以，估计量的方 差小于总体方差。
Yh
第 h 层的总体总量；
Yhi y hi
yh
第 h 层的样本总量；
第 h 层第 i 个总体单元（单位）的取值； 第 h 层第 i 个样本单元（单位）的取值；
N Wh h N
1 Yh Nh
Nh i 1
第 h 层的总体层权；
nh fh 第 h 层的抽样比； Nh
Y
nh i 1
hi
第 h 层的总体均值；
1 yh nh
2 h
y
hi
第 h 层的样本均值； 第 h 层的总体方差； 第 h 层的样本方差。
1 Nh 2 S ( Y Y ) hi h N h 1 i 1
1 nh s ( y hi yh ) 2 nh 1 i 1
2 h
L Nh
Y ＝ y hi 为总体总量；
C C 0 C h nh
h 1 L

其中 C0是固定费用，如组织宣传费、分层及编制抽样框的 费用等, C h是在第h层抽取一个单元的平均费用，包括调 查员报酬、旅差费、调查测试费等。
根据前面的论述，在估计总体均值时，对给定的各层样本
量nh，估计量的方差为：
Wh S h 1 2 V Wh S h nh N
nh n Nh N

所以
nh N h Wh ，因此nh nWh 。( nh 应取整) n N

比例分配时，总体中任一单元的入样概率都相等，都 为 f n / N 。由此所得到的样本称为是自加权的或等加权 的。在这种情况下： N ˆ Yst Ny st y ky n
L nh 1 1 ˆ y Y y y st st hi n h 1 i 1 n
h 1 i 1
Ｌ表示分层的层数； h表示层的编号（h＝１，２，３,…,Ｌ）；


二、估计量 １、总体均值的估计量 在分层抽样中，总体均值 Y 的估计量一般用 y st 表示，它是 各层总体均值Y h 的估计量按层权Wh的加权平均，即：
L 1 L ˆ ˆ ˆ Yst y st Wh Yh N hY h N h 1 h 1

若令 S
2
Wh S h 为各层内方差的平均，则：
2 h
L
ˆ ) 1 f S 2 V prop (Y st n

当估计比例P时，同样有：
ˆ ) 1 f V prop ( P st n
Wh Ph (1 Ph )
h
L
1 f P(1 P) n
其中:
P(1 P) Wh Ph (1 Ph )
则得：
L p (1 ph ) 2 ˆ ˆ V ( Pst ) Wh (1 f h ) h nh 1 h
1 2 N

N h ( N h nh )
h
L
ph (1 ph ) nh 1
ˆ )的无偏估计。 ˆ (P ˆ ) 是V ( P V st st
第三节


总样本量的分配
2
2
可见，第二项与样本量无关。考虑到
C C C0 Ch nh
1 V V N






⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大 的总体。因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异 较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。 ⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不 同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方 面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。 但对各层的估计缺乏精度保证。 ⑦分层抽样调查实施中的组织管理及数据收集和汇总处理 可以分别在各层内独立地进行，因此较之简单随机抽样更 方便。 ⑧分层抽样中，由于各层的抽样相互独立，互不影响，且 各层间可能有显著的不同，因此，对不同层可以按照具体 情况和条件分别采用不同的抽样和估计方法进行处理，从 而提高估计的精确度。 ⑨当总体有周期现象时，用分层比例抽样法可以减少抽样 方差。

３、总体比例估计量的方差 估计总体比例，当N h充分大时，有：
ˆ ) W 2V ( P ˆ ) V (P st h h
h L

对于分层随机抽样，则有：
2 1 fh ˆ W V ( Pst ) h n L h
Ph (1 Ph )
( N h N h 1)
1 2 N

如果得到的是分层随机样本，则总体均值 Y 的简单估计为：
1 L Wh y h N h y h 一般情况下： y st N h1 h 1
L


1 L y st y nh y h n h 1 原因在于权数问题。在 y st 中，每层都有精确的权数N h / N 。 如果每层都有 nh / n N h / N 或 nh / N h n / N ，即 f h f，则 y
第四章 分层抽样
第一节 第二节 第三节 第四节

分层抽样概述 总体参数的估计 总样本量的分配 分层与提高精度
第一节

分层抽样概述



分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若 干个层（组），然后在各层内分别独立地进行抽样。由 此所抽得的样本称之为分层样本。各层所抽的样本也是 互相独立的。 如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做 分层随机抽样。由此所得到的样本称做分层随机样本。 分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大” 的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。 进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分 层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的 分界。以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多 的关注。
完全相等于 y st。这种情况称为 nh 按比例分配的分层抽样， 各层的抽样比相同。


２、总体总和Ｙ的估计量 有了总体均值的估计量，就可推出总体总和的估计量：
ˆ Ny N y Y st st h h
h L

３、总体比例P的估计量 按照总体均值估计量的公式，可推出总体比例（成数）Ｐ 的估计量为：



一、总样本量在各层间的分配 在分层抽样中，一个重要的问题是总的样本量如何在各层之 间进行分配。通常考虑：⑴精度和费用问题。即如何分配才 能在费用一定时使总的精度和各层估计精度最高？⑵数据处 理问题。即如何分配才能使调查数据的处理工作更加简洁， 也使估计量及其方差的确定形式更为简单明了？⑶各层的容 量大小问题。 总样本量在各层间分配时可采用如下方法： （一）比例分配 在分层抽样中，若各层的抽样比都相同，即 f h f ，则称总 样本量为按比例分配。此时:
第二节

总体参数的估计
一、分层抽样相关符号说明 在分层抽样中，先将含有 N 个单位的总体分成分别含有 N1 , N 2 ,, N L个单位的 L层，这些层之间互不重复，且有：
N1 N 2 N L N

从每层中抽取一个子样本，而且抽样在各层中独立进行， 若各层内样本量分别用 n1 , n2 ,, nL 表示，则将这些子样本合 起来就是从总体中所抽取的一个样本。其样本容量 n 显然 n1 n2 nL n ，对于分层抽样，经常使用下列一 满足： 些符号： N h 第 h 层总体中的单位数； nh 第 h 层样本中的单位数；
2
2
1 2 N
sh N ( N n ) h h h nh h
L
L
2
ˆ (Y ˆ ) N 2V ˆ ( y ) N ( N n ) sh V st st h h h nh h
2
ˆ )无偏估计。 ˆ (Y ˆ )分别是 ˆ ( y )与 V V ( y st )与V (Y V st st st ph (1 ph ) Ph (1 Ph) ˆ V ( P ) 当用样本资料估计方差 用 nh 1 替代， st 时，可将 nh
（k N / n 为常数)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

ˆ 或 ˆ 为所有样本最基本单元观测值总和的一个常数倍。 即Y Yst st 这样的估计量也称为自加权的。 对于比例分配的分层随机抽样，其均值估计量的方差可以 有以下比较简单的形式： 1 f L 2 ˆ V prop (Yst ) V prop ( y st ) W S h h n h
２、总体总和估计量的方差 有了总体均值估计量的方差，就可推导出总体总和估计 量的方差：
ˆ ) N 2V (Y ˆ) ˆ ) N V (Y V (Y h h st st
2 h L


对于分层随机抽样，则有：
ˆ ) N V (Y st h
h L 2 L 1 fh 2 Sh S h N h ( N h nh ) nh nh h 2
ˆ W P ˆ P st h h Wh p h
h h L L

ˆ Y y st是Y 的无偏估计量，是 Y 可以证明，在分层随机抽样中， ˆ 是Ｐ的无偏估计量。 的无偏估计量， P st


三、估计量的方差 １、总体均值估计量的方差 对于一般的分层抽样，由于各层的抽样是相互独立的，诸 ˆ 也相互独立，因此总体均值 Y 估计量的方差是总体各层 Y h 均值估计量方差的加权平均，即
h
L
为各层内成数方差的平均。



（二）最优分配 １、一般情形 在分层随机抽样中，在给定的费用条件下，使估计量的方 差达到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定条件下， 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配。 在分层随机抽样中，费用函数可能是简单线性的，也可能 是其它复杂形式，这里主要考虑简单线性的费用函数：
ˆ ) V ( y ) W 2V (Y V (Y h ˆh ) st st
L h
ˆ) V ( Y 式中 h 是第h层总体均值估计量的方差。

对于分层随机抽样，则有：
L 1 fh 2 1 1 2 S h Wh 2 ( V ( y st ) Wh )S h nh nh N h h h




分层抽样具有以下特点： ①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行 分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。但当对 总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效 果。 ②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和 层内方差两部分。由于分层抽样的误差只与层内差异有关， 而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精 度。 ③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得 分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内， 所以其代表性也更好些。 ④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之 中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中， 而在层与层之间则是相互独立的。