第8章多元函数

第八章 多元函数（一）二元函数的概念

教学目标：

1、 熟悉二元函数的定义域并能计算定义域；

2、 熟悉二元函数的几何意义。

重点难点：

二元函数的定义域与平面区域的性质

教法说明：

形象展示，给学生以几何直观的感受

课时安排:

1课时

教学过程：

前几章讨论的函数()y f x =是因变量与一个自变量之间的关系，在此关系中，因变量的值只依赖于一个自变量，称这类函数为一元函数。但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，这时因变量的值依赖于几个自变量。

例：某种商品的市场需求量Q 不仅与市场价格p 有关，而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N 有关，而且还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关，从而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个。这就需要研究多元函数的概念。 一、二元函数的定义

〖定义〗设D 为一个非空的二元有序数组的集合，f 为某一对应法则，使对于每一个有序数组

(),x y D ∈，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称对应规则f 为定义在D 上的二元函数，记为

()

(),,z f x y x y D =∈

其中，变量,x y 称为自变量，z 称为因变量，集合D 称为函数的定义域。对于()00,x y D ∈所对应的z 值，记为

()000,z f x y = 或 ()0

00,x x y y z

f x y ===

二、二元函数的定义域

二元函数的定义域为一个平面区域。

【例1】z 0xy ≥，即定义域为坐标平面上第一、三象限（包括坐标轴）

的区域。用集合表示为(){},0D x y xy =

≥。

【例2

】z =

2220R x y --≥，即222x y R +≤。

则定义域为坐标平面内由圆222x y R +=所围成的平面闭区域（包括圆周在内）。 用集合表示为(){}

2

22,D x y x

y R =

+≤。

【例3】()

222

ln z R x y =--的定义域为()

{}

222,D x y x y R =

+<，是xy 平面上由圆

222x y R +=所围成的平面开区域（不包括圆周在内）。 三、二元函数的几何意义

一元函数()y f x =通常表示xy 平面上的一条曲线，二元函数()(),,,z f x y x y D =∈，其定义域D 是xy 平面上的一个区域。对于D 中的任意一点(),M x y ，必有唯一的数z 与其对应。因此，三元有序数组(),,x y z 就确定了空间内的一个点，所有这样确定的点的集合就是函数(),z f x y =的图形，通常是一个曲面。

【例】二元函数z =

解：()()()22

2

2

2

2

11110z z x y x y z z =⇒=---⇒+-+=≥

y

x

二元函数

z =()0,1,0为球心，以1为半径的球面的上半部。

内容小结：

1、 二元函数的定义域；

2、 二元函数的图形。

复习思考：

P362习题八

教学后记：

y

第八章 多元函数（二）偏导数与全微分

教学目标：

1、 正确理解二元函数偏导数的概念；

2、 熟练掌握二元函数偏导数的计算；

3、 正确理解二元函数全微分的概念；

4、 熟练掌握二元函数全微分的计算。

重点难点：

1、 偏导数的定义及其计算法；

2、 一元函数：可微↔可导；二元函数：可微→可导，但反之不真。

教法说明：

比较教学法，通过一元函数与二元函数的比较，顺利推出二元函数偏导数的计算公式，进而得到多元函数偏导数的计算方法。

课时安排:

2课时

教学过程：

在研究一元函数时，已经看到了函数关于自变量的变化率(导数)的重要性。对于二元函数也同样有一个处于重要地位的函数变化率问题。因二元函数有两个自变量，且这两个自变量是彼此无关的，故可考虑函数关于其中的一个自变量的变化率，此时将另一个自变量看作不变。这种变化率称之为偏导数。 一、偏导数的概念及计算

〖定义〗设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量

()()0000,,x z f x x y f x y ∆=+∆-，

如果()()

00000

,,lim x f x x y f x y x

∆→+∆-∆存在, 则称此极限为函数(),z f x y =在点()00,x y 处对x 的偏

导数, 记为

()00,x f x y '，

()00,f x y x

∂∂ 或

x x y y z

x ==∂∂，0

x

x x y y z =='

类似地，函数(),z f x y =在点()00,x y 处对y 的偏导数为

()00,y f x y '，

()00,f x y y

∂∂ 或

x x y y z

y ==∂∂，0

y

x x y y z =='

如果函数(),z f x y =平面区域D 内每点(),x y 处对x （或y ）的偏导数存在，则称函数()

,z f x y =