2 第2讲 不等式的证明

第2讲 不等式的证明

1．基本不等式

定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b

2

≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3

abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n

≥n

a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．

2．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．

若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1

b

.

证明：a ＋1

a －⎝⎛⎭⎫

b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以（a －b ）（ab －1）

ab >0.

即a ＋1

a －⎝⎛⎭⎫

b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1

b

.

已知a >0，b >0，c >0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋ab

c >a ＋b ＋c .

证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以bc a ＋ac

b

≥2

bc a ·ac

b

＝2c . 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bc

a

≥2b .因为a ，b ，c 不全相等，

所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋ab

c

>a ＋b ＋c .

用综合法、分析法证明不等式(师生共研)

(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.

【证明】 法一(综合法)：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4

＋b 4)

＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.

(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）2

4·(a ＋b )

＝2＋3（a ＋b ）3

4

，

所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.

法二(分析法)：(1)因为a >0，b >0，a 3＋b 3＝2. 要证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4，

只需证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a 3＋b 3)2， 再证a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6≥a 6＋2a 3b 3＋b 6， 再证a 4＋b 4≥2a 2b 2，

因为(a 2－b 2)2≥0，即a 4＋b 4≥2a 2b 2成立． 故原不等式成立．

(2)要证a ＋b ≤2成立，只需证(a ＋b )3≤8， 再证a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3≤8， 再证ab (a ＋b )≤2， 再证ab (a ＋b )≤a 3＋b 3，

再证ab (a ＋b )≤(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，

即证ab ≤a 2－ab ＋b 2显然成立． 故原不等式成立．

用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．

1．(2019·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|

(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|

得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋x －3

解得－10，y >0， 所以⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9x

y

≥10＋2y x ×9x

y

＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝1

4时取等号，

所以1x ＋1

y

≥16，即x ＋y ≥16xy .

2．(2019·长春市质量检测(一))设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；

(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎪1－abc ab －c >1.

解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪

⎧2，x ≥1，2x ，－1

由|f (x )|<2得－1

(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，

只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，

由a ，b ，c ∈A ，得－10恒成立．

综上，⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

1－abc ab －c

>1.

放缩法证明不等式(师生共研

)

若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.

【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒

1

|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |

1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤1

1＋1|a |＋|b |

＝

|a |＋|b |

1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |

＋

|b |1＋|b |

.

在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞

2k ＋

k ＋1

.上面不等式中k ∈N *，k ＞1. (2)利用函数的单调性．