分数裂项法总结(2)

11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n (n 1) n n 1
5 6 30
求和：1 1 1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 5 6 6 7 78
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1＋1＋1＋ ＋ 1
1 2 23 3 4
2010 2011
一.分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边.即：
1 1 2

1 2
3


(n
1 1)

n

n
1 (n
1)
1 1 1 23 6
11 1 7 8 56
根据上述式子， 你有发现什么 规律吗？
规律分数的分母必须是相邻的 自然数相乘;分子必须是1.
.两个相邻数裂项解析：分数的分母必须
是相邻的自然数相乘;分子必须是1.
1 1
23 6
1 1 1
1 1 1 23 6
23 6
1 1
78 56 11 1 7 8 56
一.分母是两个相邻数裂项：
若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
就可以利用裂项法公式：
1 n (n
1)

1 n

1 n 1
一.分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边.即：
1 1 1 2 23

1

1
(n 1) n n (n 1)
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
求和 1 1 1 1
1 2 23
98 99 99 100
举例解析：裂项基础之黄金数列
11 1 2 23
1)

1
n
1 1

n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
11 3 2 1 2 3 23 23 6 1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
两个相邻数裂项解析
1 1 23 6
1 1 1 23 6
1 1 78 56
11 1 7 8 56
1
1 n 1
n n 1
2 13 2 35
2 11 13 2 13 15
1 （1 1 1 1 1 1 1 1 )
2
335
11 13 13 15
1 （1 1 ) 2 15
7
15
总结：
1 1
3

3
1
5



(2n

1)
1 （2n

1）
1（1 1 ） 2 2n 1
1 1 9899 99100
1 1 100
99 .消去中间留下两边.
100
一.分母是两个相邻数裂项： 若干个分数连加，如果每个分数的分母， 都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂项法公式：
1 1 1 n(n 1) n n 1 即：把每个分数拆成两个分数单位的差， 消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn

1 1 4

1 47

1 7 10

1 (3n 2)(3n 1)
解：
Sn

1 (1 3
1) 4
源自文库
1 (1 34

1) 7
1 (1 37
1 ) 10
1( 1 3 3n 2

1) 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
1
n
1 1

n
n 1
、两个不相邻数裂项方法：若干个
分数连加，如果每个分数的分母，都是 判断： 两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就
可以利用裂项法公式，把每个分数拆成 两个分数单位的差，简便（抵消）计算。
消去中间留下两边. 如果分子不为1且相同时，可以把
相同的分子提出来，使分子变为1。
1 1 5 7 35
一.分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边.即：
11 1 2 23
11 (n 1) n n(n 1)
1 1 n 1
n n 1
习
练
题
11 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
解：原式 1 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) 12 23 34 45 56 67 78
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
11 2 5 7 35
11 1 5 7 57
1 1 （1 1） 57 2 5 7
求和：1 1 1 1 1 1 1 13 35 5 7 79 911 1113 1315
解：原式 1 （1 1) 1 （1 1) 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 )
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)

1 n

1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2

1 23


(n
1 1)

n

1 n(n