运筹学第一章

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1.1.3解的概念
概念： 1、可行解：满足所有约束条件的解。 2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交 集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约 束条件的解的集合，称为可行域。 3、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这 个集合。如：实心球、三角形。线性规划的可 行域是凸集。
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nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∑aijxj=bi i=1,2,…,m j=1 xj ≥0 j=1,2,…,n
n
j=1
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线性规划的标准型
向量式：maxZ=CX n ∑pjxj=bi i=1,2,…,m j=1 xj ≥0 j=1,2,…,n
C=(c1,c2,c3,…,cn) X=(X1,X2,X3,…,Xn)
T
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课堂练习：营养配餐问题
养海狸鼠 饲料中营养要求：VA每天至少700克， VB每天至少30克，VC每天刚好200克。现有五 种饲料，搭配使用，饲料成分如下表:
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建 模
设抓取饲料I x1kg;饲料II x2kg;饲料III x3kg……
目标函数：最省钱 minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5 约束条件：3x2+2x2+x3+6x4+18x5 ≥700 营养要求： x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 ≥30 0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 用量要求： x1 ≤50,x2 ≤60,x3 ≤50,x4 ≤70,x5 ≤40 非负性要求：x1 ≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,x4 ≥0,x5 ≥0
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线性规划图解法例题
（唯一最优解）
maxZ=70X1+120X2 s.t. 9X1+4X2≤360 4X1+5X2 ≤200 3X1+10X2 ≤300 X1≥0 X2≥0
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线性规划图解法例题
（无穷多最优解）
m inz x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
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线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
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线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
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线性规划模型的一般模式
目标函数：max(min)Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn 约束条件：a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn ≤(= ≥)b1 a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn ≤(= ≥)b2 … … … … am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn ≤(= ≥)bm 非负性约束：x1 ≥0,x2 ≥0,…,xn ≥0 .
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例题2：人员安排问题
医院护士24小时值班，每次值班8小时。 不同时段需要的护士人数不等。据统计：
序号 1 2 3 4 5 6
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时段 06—10 10—14 14—18 18—22 22—02 02—06
最少人数 60 70 60 50 20 30
安排人数 X1 X2 X3 X4 X5 x6
请问该 医院至 少需要 多少名 护士？
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例题2建模
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
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例题3：运输问题
三个加工棉花的加工厂，并且有三个仓库供应棉花，各 供应点到各工厂的单位运费以及各点的供应量与需求量 分别如下表所示：问如何运输才能使总的运费最小？
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线性规划的标准型
矩阵式： maxZ=CX
AX=b 其中： b=(b1,b2,…,bm)T
X ≥0
a11 a12 ….a1n A= a21 a22 … a2n
… … …
am1 am2 …amn
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标准型的特征
目标函数极大化（也有的版本选择极小化） 约束条件为等式 决策变量非负
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线性规划的标准型
代数式maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … … … am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xj ≥0 j=1,2,…,n
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线性规划的标准型
和式：maxZ=∑cjxj
仓库 工厂 B1 A1 2 A2 2 A3 3 40 需求
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B2 1 2 4 15
B3 3 4 2 35
库存 50 30 10
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例题3建模
设Xij为第i个仓库运到底j座工厂的运输量。 目标函数：总运费最省： minZ=2x11+x12+3x13+2x21+2x22+4x23+3x31+4x32+2x33 约束条件： 供给要求：x11+x12+x13 ＝50需求要求：x11+x21+x31=40 x21+x22+x23 ＝30 x12+x22+x32=15 x31+x32+x33 ＝10 x13+x23+x33=35 非负要求： Xij ≥0
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第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
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1.1.1
LP的数学模型 例题1：生产计划问题
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基本概念
秩：mn矩阵A的所有不为零的子式的最 高阶数称为矩阵A的秩。记作R(A)。 线性无关向量组：对于向量组a1,a2,…,an， 如果存在一组不全为零的实数k1,k2,…,kn, 使 k1 a1+k2 a2+…+knan=0,则称向量组a1,a2,…,an 线性相关，否则称它们线性无关。（向量 线性无关的充要条件是向量组的秩等于向 量组所含向量个数。）
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1.1.2线性规划问题的图解法
一、图解法的步骤 1、在平面上建立直角坐标系； 2、图示约束条件，找出可行域； 3、图示目标函数，即为一直线； 4、将目标函数直线沿其法线方向其最优化方向平 移，直至与可行域第一次相切为止，这个切点 就是最优点。 二、几种可能结局： 1、有唯一最优解，2、有无穷多个最优解，3、无 界解，4、无解。
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基的概念
基：如前所述LP标准型 n n 和式：maxZ= ∑cjxj ∑aijxj=bi xj ≥0 j=1,2,…,n j=1 j=1 矩阵式：maxZ=CX AX=b X ≥0 约束方程的系数矩阵A的秩为m，且m<n。设 A=B+N ，B是A中mm阶满秩子矩阵，则称B 是该LP问题的一个基，即：B是A中m个线性 无关向量组。
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
x”3 ≥0 x4≥0 x5≥0
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课堂练习：将下列非标准型化为标准型
1、minZ=x1-2x2+3x3 2，maxZ=x1+x2 s.t. x1+x2+x3 ≤7 s.t. x1-x2 ≥0 x1-x2+x3 ≥2 3x1-x2 ≤ -3 -3x1+x2+2x3= -5 x1,x2 ≥0 x1,x2 ≥0,x3无约束。
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例题4：连续投资问题（书P42页）
某投资者有资金10万元，考虑在今后5年内给下列4个项 目进行投资，已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次 年末回收本利115％。 项目B：第三年初需投资，到第五年末能回收本利125％。 但规定投资额不超过4万元。 项目C：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140 ％，但规定最大投资额不超过3万元。 项目D：5年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加 利息6％。 问该投资者应如何安排他的资金，确定给这些项目每年 的投资额，使到第五年末能拥有的资金本利总额为最大？
长度根数方案 甲 2.5米 1.3米 料头
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乙 2 2
丙 1 4 0.3
丁 0 6 0.2
需要根数 100 200
3 0
0.5 0.4
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例题5建模
设Xj表示采用第j种方案下料的根数。 目标函数：minZ=x1+x2+x3+x4 约束条件：3x1+2x2+x3 ≥ 100 2x2+4x3+6x4 ≥ 200 xj ≥0且为整数 (j=1,2,3,4)
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
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例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
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非标准型转化举例
minZ=x1+2x2-3x3
maxZ’=x’1－2x2+3(x’3－x”3)
x1+x2+x3 ≤9 －x’1+x2+x’3－ x”3 + x4=9 -x1-2x2+x3 ≥2 x’1－2x2+x’3 －x”3 - x5= 2 3x1+x2-3x3=5 － 3x’1+x2－3(x’3 － x”3 )=5 x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束 x’1 ≥ 0 x2 ≥0 x’3 ≥0
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建模
解：记xiA,xiB,xiC,xiD(i=1,2,3,4,5)分别表示第 i年年初给项目A,B,C,D的投资额，它们都 是决策变量，为了便于书写数学模型，我 们列表如下：
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例题5：合理下料问题
将长8m的圆钢，截取成长2.5m的毛坯100根、长 1.3m的毛坯200根，问应该怎样选择下料方式， 才能既满足需要，又使总的用料最少? 各种搭配方案如下：
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总
结
从以上 5 个例子可以看出，它们都属于优化问题，它们 的共同特征： 1 、每个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决 策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是 非负的。 2 、存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性 函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
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基解的概念
不失一般性，设B是A的前m列,即 B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量 XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量 XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。令所有非 基变量等于零时得出的解, 即X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T称为基解 。 （注：基解不一定就是可行解，因为基解 不一定满足非负的约束条件。也即基解 中可能存在负值的情况。）
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利用图解法的常识
1、若存在唯一最优解，则此最优解在可行域的 顶点上取得。 2、若存在无穷多最优解，则最优解在可行域的 边界上取得。 3、若可行域为空集，则没有可行解，也就没有 最优解。 4、若可行域无界，目标函数取值可以增大到无 穷大，称这种情况为无界解或无最优解。 5、若有可行解，则可能有最优解，也可能无最 优解（最优解无界）。
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非标准型转化为标准型
目标函数极小化转为极大化： minZ=－max(－Z) ，一个数的极小化等价于其 相反数的极大化。 不等式约束的转化： ∑aijxj≤bi 加入松弛变量
∑aijxj≥bi 减去剩余变量 非正变量：即xk ≤0 则令x’k =－ xk 自由变量：即xk无约束，令xk= x’k－x”k