上海普陀区教育学院附属学校数学整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()20a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.

数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存

在m n +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题：

（1）()()

2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭___________（0x >）；

（2）求()5602x x x

+>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726x x +

+-有最小值，并求出这个最小值.

【答案】（1）20xy ，2；（2）3）当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019.

【解析】

【分析】

（1）根据阅读材料即可得出结论；

（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；

（3）把已知代数式变为926201326

x x -+

+-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．

【详解】

（1）∵0x >，0y >，

∴()()222522520x y x y xy +≥⨯⋅=，

∵0x >， ∴2

21122x x x x ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭； （2）当x 0>时，2x ，

52x 均为正数，

∴562x x +≥=

所以，562x x +的最小值为

（3）当x 3>时，2x ，

926x -，2x-6均为正数， ∴92200726

x x ++- 92x 6201326

x =-++-

20132013≥= 2019= 由()20a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=-，即92

x =时，有最小值．

∵x 3> 故当92x =时，代数式92200726

x x ++-的最小值为2019． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．

2．观察下列各式:

()()2111,x x x -+=-

()()23 111,x x x x -++=-

()()324 111,x x x x x -+++=-

()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-

······

()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=

(其中n 为正整数) ;

()()3029282(51)5555251-+++++

()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+

+-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213

-- 【解析】

【分析】

（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；

（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；

（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.

【详解】

（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；

（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5

()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+

⋅+-+-+-+ =201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦

-+ =2020(2)13

--- =2020213

-- 【点睛】

本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.

3．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．

例如：若代数式M ＝a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2，利用配方法求M 的最小值：a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2＝a 2﹣2ab +b 2+b 2﹣2b +1+1＝（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+1．

∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣1）2≥0，

∴当a ＝b ＝1时，代数式M 有最小值1．

请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；

（2）若代数式M ＝214

a +2a +1，求M 的最小值； （3）已知a 2+2

b 2+4

c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c +2＝0，求代数式a +b +c 的值． 【答案】（1）4；（2）M 的最小值为﹣3；（3）a +b +c=12

2. 【解析】

【分析】

（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；

（2）先提取14

，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a ，b ，c 的值，从而问题得解．

【详解】

（1）∵a 2+4a+4＝（a+2）2

故答案为：4；