二次曲线方程的化简与分类

2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类

学院：数学科学学院

专业班级：数学与应用数学11-1班

学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜

指导教师：候传燕老师

答辩日期：2015年5月6日

新疆师范大学教务处

目录

摘要 (1)

1前言 (3)

2二次曲线方程的化简与分类 (4)

2.1方程的化简 (4)

2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4)

2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4)

2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5)

2.2 二次曲线的分类 (6)

2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7)

2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10)

2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11)

3总结 (16)

4参考文献 (17)

致谢 (18)

二次曲线方程的化简与分类

摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤.

关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；

The two curve equation simplification and classification Abstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification.

Key words：Two standard curve; equation; invariant method; parameter method;

1前言

二次曲线方程的化简与分类既是大学空间解析几何研究的重要内容之一，又是对中学二次曲线内容的教学有极大的作用。研究如何将二次方程表示的曲线进行化简、分类、作出具体图像具有很大的理论价值。目前，我们所知道的各种教材及参考文献资料给出了二次方程化简的几种基本方法：坐标变换法；不变量法；因式分解法。在上述方法中，有的化简简单，但难于作图；而有的化简相对繁琐，但易于作图。

本文经过深入研究有关二次方程的学问，对二次曲线方程进行分类、整理，运用了高等数学的方法，归类总结出二次方程化简的方法，选择一种方便于二次方程化简的方法。

利用坐标变换能够把二次曲线方程化为所表图形的最简单形式。本部分要解决这样一个理论问题，即一定有这作这种坐标变换的方法，然后解决了二次曲线的分类问题。

2二次曲线方程的化简与分类

2.1

方程的化简：

2.1.1

中心曲线方程的化简：

对中心曲线F （x,y ）=0，令O ′（0x ，0y ）为其中心，若将坐标原点

平移至O ′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为 221122330a x a y a '''''++= （1）

由于211220I a a '''=≠， ∴1122,a a ''全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x ′，y ′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1）

例1：化简二次曲线方程x ²-xy+y ²+4x-2y=0

解：根据11121222:():()X Y a X a Y a X a Y =++

;XF 1（x ，y ）+YF 2（x ，y ）=0

所给二次曲线的二主直径为

x+y+2=0 ，x-y+2=0

取坐标变换公式

2)2)x x y y x y ⎧'=+-⎪⎪⎨⎪'=-+⎪⎩

即

))2x x y y x y ⎧

''=-⎪⎪⎨⎪''=++⎪⎩

代入原方程有x ′²+3y ′²-8=0

即22

188

3

x y ''+=

2.1.2 无心曲线方程的化简：

对无心曲线F （x,y ）=0，选取适当角作旋转变换，可消去方程中的交

叉乘积项，即二次曲线方程简化为

221122132333220a x a y a x a y a '''''''''++++=

由于11220a a ''= ∴1122,a a ''有且仅有一为0，不妨设'

11a =0再配方有 2220130()2()0a y y a x x ''''''+++=

作平移0

x x x y y y '⎧'''=+⎪⎨''''=+⎪⎩则方程最终简化为

0213222=''"

+''"x a y a （2)

由于 111212221323:::a a a a a a =≠ ∴013≠"a

从而无心曲线（2）关于x ″轴对称，即x ″轴是其一主直径，且x ″轴与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。

可见以无心曲线的主直径作为x ′轴，以过顶点且与主直径垂直的直线作为y ′轴建立新系，则曲线的方程便简化为（2）

例2：化简二次曲线方程x ²+2xy+y ²+2x-2y=0

解：所给曲线的一主直径为x+y=-0，曲线的顶点为原点，取过顶点且与主直 径垂直的直线x-y=0，并取坐标变换为

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

+='-=

')

(2

1)(21y x y y x x 即⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

'-'-='+'=

)(21)(2

1

y x y y x x

代入原方程并化简为 022='+'x y 2.1.3 线心曲线方程的化简：

对于线心曲线F （x,y ）=0，取一中心O '（0x ，0y ），并作平移变换即可消去 方程中的一次项，再选取适当的α角作旋转变换，还可消去交叉乘积项，最终方

程简化为

033222211='

+''+''a y a x a

由于022112='

'='a a I ∴'

'

2211,a a 有且仅有一为0，不妨设011

='

a ，则线

心曲线方程化简为033222

='

+''a y a （3）

由于022≠'

a ，∴曲线（3）关于x ′轴对称，可见新坐标系的x ′轴是其主直径，即以曲线的一主直径作为x ′轴建立新坐标系，则在新系下，曲线的方程将简化为（3）

例3：化简二次曲线方程 x ²-2xy+y ²+2x-2y=0

解：可以证明它是线心曲线，它的主直径为x-y+1=0 再取一和主直径垂直