电路分析第十一章-一阶电路

+
uS
_
S
L uL
iL -
例3
0.04H iL
(t=0)
uC+ 0.01F
R
-
Ri L
+ L diL dt
= uS
L
diL dt
+
RiL
=
uC
C
duC dt
= −iL
d 2 uC dt 2
+
R L
duC dt
+
1 LC
uC
=
0
复习常系数线性常微分方程求解过程。
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11.3 动态电路的初始条件
一、t = 0+与t = 0-的概念
依据：KCL、KVL和元件约束。
uL
=
L
diL dt
∫ iL(t) =
1 L
t
t0 uLdt + iL (t0 )
iC
=
C
duC dt
∫ uC
(t)
=
1 C
t
t0 iCdt + uC (t0 )
例1
S(t=0) R
i
US
+ uR – C
+ uC
–
RC
duC dt
+Hale Waihona Puke BaiduuC
= US
例2
+ uR -
+
R
i = C du dt
WC
=
1 Cu2 2
=
1 2C
q2
Ψ = Li
u = L di dt
= WL
1= Li 2 2
1Ψ2
2L
(1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-i，q-Ψ ，C-L， i-u互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L 称为对偶元件, Ψ、q 等称为对偶元素。
2
2 i ( −∞ )
2
若i ( −∞
=
)=0= 1 Li 2 (t )
1 Ψ 2(t) ≥ 0
2
2L
无源元件
从t0 到t 电感储能的变化量：
WL
=
1 2
Li 2 (t )
−
1 2
Li 2 (t0 )
不消耗能量
4. 电感的串并联 （1）电感的串联
i L1 L2
+ + u1 _ + u2 _ u _
++
++ C
C
n
)
du dt
n
du dt
=
Ceq
du dt
等效电容与各电容的 关系式为
Ceq = C1 + C2 + + Cn
n
= ∑Ck k =1
结论：n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和。
电容元件与电感元件的比较：
电容 C
电感 L
变量
电压 u 电荷 q
电流 i
磁链 Ψ
关系式
q = Cu
3Em
2
uR (0+ )
=
iL(0+ )R
C
q =C uC
∫ uC
(t)
=
1 C
t
i(ξ )dξ
−∞
∫ ∫ = 1
C
0− i(ξ )dξ + 1
−∞
C
t
0− i(ξ )dξ
∫ =
uC
(0−
)
+
1 C
t
0− i(ξ )dξ
∫ q(t) = q(0− ) +
t
0− i(ξ )dξ
t = 0+时刻
∫ uC
(0+
)
=
uC
(0−
)
+
1 C
0+ 0−
i
i
i = dq = C du
dt dt
+
u
+ C
∫ ∫ ∫ u(t) = 1
t
idτ
=
1
t0 idτ + 1
t idτ
C −∞
C −∞
C t0
–
–
∫ u(t
)
=
u(t0
)
+
1 C
t
idτ
t0
t
∫ q(t) = q(t0 ) +
idτ
t0
电容的电压-电流关系小结：
(1)
i的大小与
u
的变化率成正比，与
u，i为非关联方向时，i= –C du/dt 。
3. 电容的储能
p吸
=
ui
=
u⋅C
du dt
∫ WC =
t Cu du dτ = 1 Cu2 u(t) = 1 Cu2 (t ) − 1 Cu2 (−∞)
−∞ dτ
2
2 u(−∞ )
2
若u( −∞
=
)=0
1
Cu
2
(
t
)
=
1
q2(t) ≥ 0
2
2C
无源元件
Ln + un _
i
+
u _
Leq
n个电感串联
等效电感
根据KVL和电感的电压电流的关系，有
u
=
u1
+
u2
++
un
=L1 =(L1
di + dt + L2
L2
di dt
+
+ + Ln )
+ Ln di
dt
di dt
等效电感与各电感的关系 式为
Leq = L1 + L2 + + Ln
=Leq
di dt
从t0到 t 电容储能的变化量：
WC
=
1 Cu2 (t ) − 2
1 2
Cu2 (t0 )
不消耗能量
4. 电容的串并联
（1）电容的串联
i C1 C2
+ + u1 _ + u2 _ u _
Cn + un _
i
+
i
u
Ceq
_
n个电容串联
等效电容
由KVL，有 u(t=) u1(t ) + u2 (t ) + + un (t )
第11章 一阶电路时域分析
11. 1 电感元件和电容元件 11. 2 动态电路方程的列写 11. 3 动态电路的初始条件 11. 4 一阶动态电路 11. 5 二阶动态电路 11. 6 全响应的分解 11. 7 单位阶跃响应和单位冲激响 应11. 8 卷积积分 11. 9 状态变量法
11.1 电感元件和电容元件
t udτ = i(0) + 1
t
udτ
L −∞
L −∞
L0
L0
i (t )
=
i(0)
+
1 L
t
∫0
udτ
∫ = Ψ Ψ (0) + t udτ 0
电感的电压-电流关系小结：
(1) u的大小与 i 的变化率成正比，与 i 的大小无关； (2) 当 i 为常数(直流)时，di / dt =0 → u=0,
结论：n个串联电感的等效电感 值等于各电感值之和。
(2) 电感的并联
i
+ + i1 + i2
u u1 L1 u2 L2
__
_
n个电感并联
+ in un Ln _
i
+
u
Leq
_
等效电感
根据KCL及电感的电压与电流的关系式，有
i(t )= i1(t ) + i2 (t ) + + in (t )
∫ ∫ ∫ =
一、电感元件 (inductor)
iΦ
+– ue –+
iL
+u
–
变量: 电流 i , 磁链Ψ
1. 线性定常电感元件
Ψ def
L= i
Ψ= N Φ 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数 inductance
L 的单位名称：亨[利] 符号：H (Henry）
= 亨(H) 韦= (W b) [= 伏][秒] [欧][秒] 安(A) [安]
iL 、 uC 随时间变化
代数方程组描述电路
微分方程组描述电路
4. 分析方法
激励 u(t)
响应 i(t)
an
dni dt n
+ an−1
dn−1i dt n−1
++
a1
di dt
+
a0i
=
u
t≥0
经典法 拉普拉斯变换法 状态变量法 数值法
时域分析法 复频域分析法 时域分析法
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5.2 动态电路方程的列写
电阻电路
例3 + uR -
= 已知 uS Em sin(ωt + 60 )V,
+
uS −
R S
+
L uL
iL(0− ) =
− Em .
2ω L
iL
− 求 iL (0+ ), uL (0+ ), uR (0+ ).
(1)
iL
(0+
)
=
iL
(0−
)
=
−
Em
2ωL
R + + uR -
+
(2) 0+时刻电路:
代入各电容的电压、电流关系式，得
= u(t ) =
=
∫ ∫ ∫ 1
C1
t
i(τ
0
)dτ
+
u1 (0)
+
1 C2
t
i(τ
0
)dτ
+
u2 (0)
+
+
1 Cn
t
0 i(τ )dτ + un (0)
∫ ∑ ( 1
C1
+
1 C2
++
1) Cn
t
i(τ )dτ
0
+
n
uk (0)
k =1
∫ 1
t
i
(τ
)dτ
+
u(0)
过渡状态（瞬态、暂态）
2. 过渡过程产生的原因
（1）电路内部含有储能元件 L 、M、 C
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
p = ∆w ∆t
+
uS
-
R1 R2 R3
（2）电路结构发生变化 支路接入或断开； 参数变化 换路
3. 稳态分析和暂态分析的区别
稳态
换路发生很长时间后
暂态
换路刚刚发生
IL、 UC 不变
)
=
10 − 10
8
=
0.2mA
iC(0-)=0 iC(0+)
例2
1Ω 4Ω
+ t = 0时闭合开关S , 求 uL(0+)。
10V
S
× L
iL
uL -
uL (0− ) = 0 ∴ uL (0+ ) = 0
0+电路 1Ω
10V
4Ω
+
2A
uL -
iL(0+)= iL(0-) =2A
uL(0+ ) = −2× 4 = −8V
电感以磁场形式存储能量。
韦安（Ψ -i ）特性
Ψ
α
0
i
2. 线性电感电压、电流关系：
i
Φ
+–
ue –+
i , Φ 右螺旋 e , Φ 右螺旋 u , i 关联
由电磁感应定律与楞次定律
e = − L di dt
u = −e = L di dt
∫ ∫ ∫ ∫ i = 1
t udτ = 1
0 udτ + 1
Ceq 0
等效电容与各电容的关系式为
∑ 1 = 1 + 1 + + 1 = n 1
Ceq C1 C2 Cn C k=1 k
n
u(0) = ∑ uk (0) k =1
结论：n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值 的倒数之和。
当两个电容串联（n=2）时，等效电容值为
Ceq
=
C1C2 C1 + C2
1 L1
t 0
u(τ
)dτ
+
i1(0) +
1 L2
t 0
u(τ
)dτ
+
i2(0) + +
1 Ln
t
0 u(τ )dτ + in (0)
∫ =
(1 L1
+
1 L2
++
1) Ln
t u(τ )dτ
0
+ i1(0) + i2 (0) + + in (0)
∫ 1
t
u(τ )dτ + i(0)
Leq 0
等效电感与各电感的关系式为
电感在直流电路中相当于短路；
(3) 电感元件是一种记忆元件；
(4) 当 u，i 为关联方向时，u=L di / dt； u，i 为非关联方向时，u= – L di / dt 。
3. 电感的储能
p吸
=
ui
=
i
L
di dt
∫ W吸 =
t
Li
−∞
di
dτ
dτ
= 1 Li 2 i(t ) = 1 Li 2 (t ) − 1 Li 2 (−∞)
+ 10kΩ
+
10V
40kΩ
uC
-
-
例1 + 10kΩ
40kΩ
- 10V
S
求 iC(0+)。
+
iC
uC
-
uC(0-)=8V
电阻电路1
+ 10kΩ
+
(2) 由换路定律
10V
8V
uC (0+) = uC (0-)=8V
-
iC(0＋) -
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
0+等效电路
电阻电路2
iC
(0+
f(t)
换路在 t=0时刻进行 0- t = 0 的前一瞬间
t 0- 0 0+
0+ t = 0 的后一瞬间
f (0− ) = lim f (t ) t→0 t<0
f (0+ ) = lim f (t ) t→0 t >0
初始条件就是 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值。
二、换路定律
i
+ uC -
线性定常电容元件
C 电路符号
电容以电场形式存储能量。
1. 元件特性 i
+
u
+ C
–
–
描述电容的两个基本变量: u, q
对于线性电容，有：q =Cu
C
def
=
q
u
电容 C 的单位：法[拉]， 符号：F (Farad)
常用µF，pF等表示。
库伏（q-u） 特性
q
α
0u
C ∝ tanα
2. 线性电容的电压、电流关系
三、 动态电路简介
1. 什么是电路的过渡过程
稳态分析
t=0
i
US
S
R+
uC C
–
i
R+
US
uC C
–
稳定状态
S未动作前
i = 0 , uC = 0
S接通电源后很长时间
i = 0 , uC =US
i
US
S
R+
uC C
uC
US
?
–
初始状态 0
t1 新稳态
t
过渡状态
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要 经历的过程。
（2）电容的并联
i
+ + i1 + i2
u _
q1 _
C1 q2 C2 _
+ in qn Cn _
++ u q Ceq __
n个电容并联
等效电容
由KCL，有 i = i1 + i2 + + in 代入各电容的电压、电流关系式，得
i (=t ) =
C1 (C1
du + dt + C2
C2
du dt
(ξ
)dξ
∫ q(0+ ) = q(0− ) +
0+ 0−
i
(ξ
)dξ
当i(ξ)为有限值时
∫ 0+ 0−
i
(ξ
)dξ
=
0
uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
电荷守恒
iL + uL −
u = L diL dt
∫ iL =
1 L
t u(ξ )dξ
−∞
∫ ∫ iL =
1 L
u
的大小无关；
i
=
C
du dt
(2) 当 u 为常数(直流)时，du/dt =0 → i=0。电容在
直流电路中相当于开路，电容有隔直作用；
∫ (3) 电容元件是一种记忆元件；
u(t) =
u(t0 ) +
1 C
t
idτ
t0
(4) 表达式前的正、负号与u，i 的参考方向有关。当
u，i为关联方向时，i= C du/dt；
1 = 1+1+ +1 Leq L1 L2 Ln
n
i(0) = ∑ ik (0) k =1
结论：n个并联电感的等效电感值 的倒数等于各电感 值倒数之和。
当两个电感并联（n=2）时，等效电感值为
Leq
=
L1 L2 L1 + L2
二、电容元件 (capacitor) 电容器 + + + + +q
– – – – –q
0− u(ξ )dξ + 1
−∞
L
t
0− u(ξ ))dξ
=
iL
(0−
)
+
1 L
∫t
0−
u(ξ
)dξ
∫ Ψ = LiL
= Ψ
Ψ (0− ) +
t
0− u(ξ )dξ
当u为有限值时
iL(0+)= iL(0-)
ΨL (0+)= ΨL (0-)
磁链守恒
换路定律成立的条件!!!
三、电路初始值的确定
(1) 由0-电路求 uC(0-)