高等数学 课后习题答案第九章

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习题九

1. 求函数u =xy 2+z 3

-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为

πππ

,,3

4

3αβγ===

的方向导数。

解：

(1,1,2)(1,1,2)

(1,1,2)cos cos cos u u u u

y l x z αβγ

∂∂∂∂=++∂∂∂∂

22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcos

cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---

2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},1

3.AB AB ==

AB 的方向余弦为

4312

cos ,cos ,cos 131313αβγ=

== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u

yz x u

xz y u

xy z ∂==∂∂==∂∂==∂

故4312982105.

13131313u l

∂=⨯+⨯+⨯=∂

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3. 求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

在点处沿曲线22

2

21x y a b +=在这点

的内法线方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2222220,x y b x

y y a b a y ''+==-

所以在点

处切线斜率为

2.b y a a '==-

法线斜率为

cos a

b

ϕ=

.

于是

tan sin ϕϕ== ∵2222

,,

z z x y x a

y b ∂∂=-=-∂∂

∴22

22

z

l a b

⎛

∂

=--=

∂⎝

4.研究下列函数的极值：

(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);

(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2)22

()

e x y

-+;

(5)z=xy(a－x－y),a≠0.

解：（1）解方程组

2

2

360

360

x

y

z x x

z y y

⎧=-=

⎪

⎨

=-=

⎪⎩

得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6

在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.

在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.

在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)

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点不是极值点.

在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.

(2)解方程组

22

2

e(2241)0

2e(1)0

x

x

x

y

z x y y

z y

⎧=+++=⎪

⎨

=+=

⎪⎩

得驻点为

1

,1

2

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭.

22

2

2

4e(21)

4e(1)

2e

x

xx

x

xy

x

yy

z x y y

z y

z

=+++

=+

=

在点

1

,1

2

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函

数有极小值

e

1

,1

2

2

z⎛⎫=-

-

⎪

⎝⎭.

(3) 解方程组

2

2

(62)(4)0

(6)(42)0

x

y

z x y y

z x x y

⎧=--=⎪

⎨

=--=⎪⎩

得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Z xx=－2(4y-y2),

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Z xy=4(3－x)(2－y)

Z yy=－2(6x－x2)

在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.

在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.

在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.

在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.

在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.

(4)解方程组

22

22

()22

()22

2e(1)0

2e(1)0

x y

x y

x x y

y x y

-+

-+

⎧--=

⎪

⎨

--=

⎪⎩

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