2n阶非线性差分方程周期解的存在性与多重性

（）Ｅ （ｘ ！ ，且 任 ｔ） Ｂｆ Ｚ Ｒ Ｃ Ｒ） 对 意（ ∈ 并 ，
Ｚ ￣Ｒ１
，
系 ≤， ， 等． ＜《 于是 ， 我们有下面的结论． 定理 １ 假设 下 列条件 满 足 ：
（） ， １ ∈Ｅ丁是 问题 （ ） 一 对 上 下 解 ， 且 １的 并
Ｕ《 ：
ＰＥＮＧ ｏ ｏ ｇ Ｇｕ ｒ ｎ （ｒ－ｎｔｕｅ ｅａｔ ｎ， ｂｉｎｔｕ ｆｒ ａｍ ａｉ ｓＥ ｓｉ４ ５０ ，ｈｎ ） ＰｅｌｓｔｔＤｐ ｒ ｔＨｕｅＩｓｔｔ ｏ Ｎ ｔ ｎｌ￣， ｎｈ ４ ００ Ｃ ｉａ ｉ ｍｅ ｉｅ ｔ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ，ｔｅ ｅ ｉ ｅ ｃ ａ ｄ ｕｔ ｌ ｉ ｆ ｓｌｔ ｎ ｏ ｉｅｅ ｃ ｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ｈ ｏｍ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈｓ ｐ ｒ ｈ ｘｓ ｎ ｅ ｎ ｍ ｌ ｐ ｃｔ ｏ ｏｕｉ ｓ ｆｒ ａ ｄｆ ｒｎ ｅ ｑ ａ ｏ ｆ ｔｅ ｆ ｐ ｔ ｉｉ ｙ ｏ ｉ ｒ
＋１
＝
，ｚ＝△ｎ １）厂 ，） ）（（一 ｚ （ｚ， （ △ 一 十 １ …， △， ｚ 厂 ，） ” 一 一＋（ ） （ Ａ 丁） 丁 丁， ７
不动点．
在 中定 义锥
）ｘ ｘ 从 （ 的临界点 等价于 Ｂ的 △（一 ）厂 ＝ ，Ｅ （， Ｚ （ 因此 ， ｚ ＝ －Ｂ ， 而 Ｊ ” ｚ 十 （ △ 一 ， ｏｎ Ｚ３ｔ ） ）Ｅ １ ）
２ 阶非线性差分方程周期解的存在性与多重性 ｎ
彭 国荣
（ 湖北民族学院 预科教育学院， 湖北 恩施 ４ ５ Ｏ ） ４Ｏ Ｏ
摘 要： 主要 利 用 非线性 泛 函分析 中的 变分 方 法 ， 结合 临界 点理论 ， 究 ２阶非 线性 差分 方程 研
一 一
）厂 ，）０１．周 解 存 ・Ｅ 重 ． 十（ ： （１）期 的 在Ｉ， 性 ． １ ￣多 －
第 ２ 卷第 ２ ４ 期 ２１年 ６ ０１ 月
海南师范大学学报 （ 自然科学版）
Ｊｕｎｌｆ ｉａ ｏｍ ｌ ｎｖｒｉ （ ａ ｒｌｃｅｃ） ｏｒａｏ ｎｎＮ ｒ ａ ｉ ｓｙ Ｎ ｔ ａＳｉｎｅ Ｈａ Ｕ ｅ ｔ ｕ
Ｖ０ ＿４Ｎｏ２ Ｉ ． ２
Ｊ ｎ２ １ ｕ ．０ １
１ 分 析
本文主要利用非线性泛 函分析中的变分方法 ，
那么算子 Ｂ： Ｔ Ｅ 一 ． 注意到
结合临界点理论 ， 研究 ２ 阶非线性差分方程 ｎ
当ｎ ２ 时 ， ＝ｋ 在 中至少有四个不 同解的情况． 其 中 ｚ 口 ＝口 口 ｌ …Ｊ当口 时 ， ａ ６ ＝口 ｏ （ ） Ｉ，＋ ， ， ≤６ Ｚ（ ，） ｛，＋ ｌ …，ｌ Ａ是 向前差分算子 ， － Ｈ 一 ， ， ｂ， 即 Ｘ １
文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：６４ ４ ４ （０ １０ — １ １０ １７ — ９２ ２ ｌ）２ ０ ３ —３
关键词 ： 周期解 ；Baidu Nhomakorabea临界点 ； 非线性差分方程 ； 变分方法 中图分类号 ： ７ ０１７
Ｅｘｓｅ ｃ ｆＰｅ ｉｄ ｃＳ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒＡ ｎ ＴＨ － ｒ ｅ ｉｔｎ ｅｏ ｒｏ ｉ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ２ ｏｄ ｒ Ｎｏ ｌ ｅ ｒＤｉ ｅ ｅ ｃ ｕ ｔ ｎ ｎ ｉ ａ ｆ ｒ ｎ ｅＥｑ ａ ｉ ｎ ｏ
收稿 日期：０ １ ０ — ８ ２ １－ １ ２
１２ ３
海南师范大学学报 （ 自然科学版 ）
２ １ 年 ０１
２ 基本 定义与引理
定义 １Ｉ 设 是 一个实 Ｂｎｃ 空 间 ， ： ÷ ‘ ａａｈ Ｅ－
（ ｛｝ＥｋＺ）ｘ 有 ．存 ２ ｚ ｃ ｎｅ（Ｊ 界即 ） 设 １（） ，
Ｊ ｛Ｅ 了 ＝ｚｚ …，）ｆｏ Ｆ ｘ ＲＩ （，， ｚ ，≥ ， ） ＝ 、 １２ 丁ｚ
＝
△ ）实数序列ｎ （ ． 和非线 厂 性项 分别满
１２ … ， ， ， ， 丁｝
足 以下条 件 ：
则 Ｐ 正规体锥． 是 我们用锥 Ｐ规定 中的半 序关
（） Ａ 对给定的正整数 ， ＋ ＝ 丁 ＞０ ｔ ，ＥＺ ；
△ ｒ ＂ｆ１厂 ，） ０１． ｉ ｉｕ ｅ ｂ ｍａ ｒ ｉａｍｔｄｔ ｉａｐｎｔｏ，ｓ ｃｌ ｔＡ ＿ ＋ Ｉ （１） ｓ ｓｄ ｙ ｅ ｓｆａ ｔ ｌ ｅｏ ｈ ｃ ｉｌｏｔ ｅｙ ｐ ｉ ｙ 一 ｘ ＝ ． ｓ ｃ ｓ ｎ ｏ ｉ。 ｈ ， ｅ ｒｃ ｉ ｈ ｒ ｅ ｅａ １ ｄ ｖ ａｈ ｔ ｌ
（ ｚ一 一 ”一 － （ ）＝１ ， ） △ ｚ Ｉｔ ， ， … ＝ （ △ ） ， ２
（） ）（）Ｓ （）＜． ～ （ ≤一 ｏ ｔ出 ０ １ ， １ ｆ， ｌ ｆ ｓ
则问题 （ ） Ｅ 中至少有四个不同的解． １在 丁
（ ＝（ ｘ， ， ｒ， ）【 ， ） （ ） ＆）Ｂ ２ ＆） （ …
ｃｉｉａ ｒｕ ｎ ｅＭｏｓ ｅ ｒ ｆ ｏ ｌ ｅ ｒ ｕ ｃｉｎ ｌ ｎ ｌｓｓ ｒｔ ｌ ｏ ｐａ ｄｔ ｒｅｔ ｏｙｏ ｎｉ ａ ｎ ｔ ａ ａｙ ｉ． ｃ ｇ ｈ ｈ ｎ ｎ ｆ ｏ ａ
Ｋｅ ｒ ：ｅ ｏ ｉ ｏｕ ｉｎ；ｒｔ ａ ｏｎ ｅ ｒ ； ｎｉｅ ｉｅｅ ｃ ｑ ａｉｎ； ｒａｉｎ ｌ ￣ｏ ｙ ｗｏ ｄｓＰ ｒ ｄｃｓｌｔ ｃ ｉ ｌ ｉｔ ｈ ｏｙ Ｎｏ ｌ ａ ｄｆ ｒｎ ｅｅ ｕ ｔ Ｖａ ｔ ａ ｉ ｏ ｉ ｃ ｐ ｔ ｎｒ ｏ ｏ ｍｅ ｄ
（ Ｔ ＝ （ ． 件 ，） 厂 ） ，
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记 Ｖ １
鼎 ）Ｖ （） 显 ｖ０ ｒ ２ ｍｘ ｔ 然 ２・ ｆ ： ａｒ ＇ １ ・ Ｉ Ｔ ＞
对 于 ｚＥＥＴ， 义 定
（ ） 一 Ｅ 是增算子 ； ２ Ｂ： 丁 （） ３存在 Ｒ ＞ｏ ＞２， ２ ， 对任意 ≥Ｒ 有 ２