初中经典几何证明练习题集(附答案解析)
初中经典几何证明练习题(含答案)
初中几何证明题经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180°∴E 、G 、O 、F 四点共圆∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90°∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB∴GH ∥CD ∴CDCO HG GO = ∴CD CO FG EO =∵EO=CO∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二）证明：作正三角形ADM ，连接MP∵∠MAD=60°，∠PAD=15°∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°∴∠BAP=∠MAP∵MA=BA ，AP=AP∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75°∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG∵CN=DN ，CG=DG∴GN ∥AD ，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM∵AM=BM ，AG=CG∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN∵AD=BC∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN=∠F 经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G∵OG ⊥AF∴AG=FG∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90°∴∠ACB=∠BHD∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD∴四边形OMDG 是矩形∴OM=GD ∴AH=2OM（2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120°∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P .求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆∴∠AEF+∠FCQ=180°∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∴F 、C 、A 、Q 四点共圆∴∠AFQ=∠ACQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG∵C 、D 、B 、E 四点共圆∴∠B=∠D ，∠E=∠C∴△ABE ∽△ADC ∴DFBG FD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF∴∠AGB=∠AFD∴∠AGE=∠AFC∵AM=AN ，∴OA ⊥MN又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180°在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ∴O、A、Q、E四点共圆∴∠AOQ=∠AGE同理∠AOP=∠AFC∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA∴△OAQ≌△OAP∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初三经典几何证明练习题(含答案)
初三几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图，P是正方形ABCD部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。
求证：△PBC是正三角形．（初二）3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.求证：AP＝AQ．3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．证明：连接BD 交AC 于O 。
过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30°∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．证明：连接BD ，过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ，又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG =OD =21BD=21AC=21CE∴∠GCE=30° ∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）证明：过点F 作FG ⊥CE 于G ，FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP ∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 又∠FGP=∠PBA ∴△FGP ∽△PBA 设AB=x ，BP=y ，CG=z z ：y=（x-y+z ）：x 化简得（x-y ）·y =（x-y ）·z ∵x-y ≠0 ∴y=z 即BP=FG∴△ABP ≌△PGF∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15°在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF=180°-∠FAC-∠GCE =180°-135°-30°=15° ∴∠F=∠CEA ∴AE=AFPE PB AC∴FG ：PB=PG ：AB4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）证明：过点E 作EK ∥BD ，分别交AC 、AF 于M 、K ，取EF 的中点H ， 连接OH 、MH 、EC ∵EH=FH∴OH ⊥EF ，∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC ，∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO又EK ∥BD ，∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题(四)1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求∠APB 的度数．（初二）解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是正三角形 ∴∠BQP=60°，PQ=PB=3在△PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）证明：过点P 作AD 的平行线，过点A 作PD 的平行线， 两平行线相交于点E ，连接BE ∵PE ∥AD ，AE ∥PD∴ADPE 是平行四边形∴PE=AD ，又ABCD 是平行四边形∴AD=BC∴PE=BC又PE ∥AD ，AD ∥BC∴PE ∥BC∴BCPE 是平行四边形∴∠BEP=∠PCB∵ADPE 是平行四边形∴∠ADP=∠AEP∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO ∴四边形ABCD 的对角线互相平分 ∴ABCD 是平行四边形 ∴AB=DC ，BC=AD 又∠ADP=∠ABP∴∠AEP=∠ABP∴A 、E 、B 、P 四点共圆∴∠BEP=∠PAB∴∠PAB=∠PCB3、设ABCD 为圆接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三） 证明：在BD 上去一点E ，使∠BCE=∠ACD ∵CD⌒ =CD ⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC∴ACBC AD BE = ∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD ∵BC⌒=BC ⌒,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC ∴CDACDE AB =∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）证明：过点D 作DG ⊥AE 于G ，作DH ⊥FC 于H ，连接DF 、∴S △ADE =12AE ·DG ，S △FDC =12FC ·DH又S △ADE =S △FDC =12S □ABCD∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2． 证明：（1）将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF ，连接PE ， ∵BP=BE ，∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。
初三几何证明练习题含答案
初三几何证明题经典题一1、已知：如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD＝∠PDA＝15°;求证：△PBC是正三角形．初二3、已知：如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题二1、已知：△ABC中,H为垂心各边高线的交点,O为外心,且OM⊥BC于M．1求证：AH＝2OM；2若∠BAC＝600,求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证：AP＝AQ．3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF 的中点,OP⊥BC求证：BC=2OP证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N∵OF=OD,DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题三1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,AE ＝AC,AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．证明：连接BD 交AC 于O;过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30° ∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,且CE ＝CA,直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．证明：连接BD,过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC,又EG ⊥AC∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG =OD =21BD=21AC=21CE ∴∠GCE=30° ∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP,CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．初二证明：过点F 作FG ⊥CE 于G,FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 又∠FGP=∠PBA ∴△FGP ∽△PBA ∴FG ：PB=PG ：AB4、如图,PC 切圆O 于C,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC,BC ＝AD ．初三证明：过点E 作EK ∥BD,分别交AC 、AF 于M 、K,取EF 的中点H, 连接OH 、MH 、EC设AB=x ,BP=y ,CG=zz ：y=x-y+z ：x化简得x-y ·y =x-y ·z ∵x-y ≠0 ∴y=z 即BP=FG ∴△ABP ≌△PGF∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15° 在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE=180°-135°-30°=15°∵EH=FH∴OH ⊥EF,∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC,∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO又EK ∥BD,∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题四1、已知：△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA ＝3,PB ＝4,PC ＝求∠APB 的度数．初二解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ,连接PQ 则△BPQ 是正三角形 ∴∠BQP=60°,PQ=PB=3在△PQC 中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．初二∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO∴四边形ABCD 的对角证明：过点P 作AD 的平行线,过点A 作PD 的平行线, 两平行线相交于点E,连接BE ∵PE ∥AD,AE ∥PD ∴ADPE 是平行四边形 ∴PE=AD,又ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC又PE ∥AD,AD ∥BC ∴PE ∥BC∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE 是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．初三 证明：在BD 上去一点E,使∠BCE=∠ACD ∵错误!=错误!∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC ∴ACBCAD BE∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵错误!=错误!,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB∴CDACDE AB∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P,且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．初二证明：过点D 作DG ⊥AE 于G,作DH ⊥FC 于H,连接DF 、∴S △ADE =错误!AE ·DG,S △FDC =错误!FC ·DH 又S △ADE =S △FDC =错误!S □ABCD ∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题五1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L ＝PA ＋PB ＋PC,求证：3≤L ＜2． 证明：1将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF,连接PE,∵BP=BE,∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形; ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA 、PE 、EF 在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF 的值最小如图在△ABF 中,∠ABP=120°∴AF=3BGB∴L=PA+PB+PC ≤32过点P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于D 、G 则△ADG 是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP,AG=DG ∵∠APD ＞∠AGP ∴∠APD ＞∠ADP∴AD ＞PA …………………………① 又BD+PD ＞PB ……………………② CG+PG ＞PC ……………………③①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG ＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC ＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L ＜2 由12可知：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA ＋PB ＋PC 的最小值．解：将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°得△BEF,连接PE, 则△BPE 是正三角形 ∴PE=PB∴PA ＋PB ＋PC=PA+PE+EF∴要使PA ＋PB ＋PC 最小,则PA 、PE 、EF 应该在一条直线上如图此时AF=PA+PE+EF过点F 作FG ⊥AB 的延长线于G则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30° ∴GF=错误!,BG=23∴AF=22AG GF +=2212321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=32+∴PA ＋PB ＋PC 的最小值是32+3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA ＝a,PB ＝2a,PC ＝3a,求正方形的边长． 证明：将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ 则△BPQ 是等腰直角三角形, ∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a∴QP 2+QC 2=22a 2+a 2=9a 2=PC 2∴△PQC 是直角三角形 ∴∠BQC=135°∵BC 2=BQ 2+CQ 2-2BQ ·CQ ·cos ∠BQC=PB 2+PA 2-2PB ·PAcos135°=4a 2+a 2-2×2a ×a ×-22解得BC=a 225+∴正方形的边长为a 225+4、如图,△ABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝80°,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA ＝30°,∠EBA ＝20°,求∠BED 的度数．解：在AB 上取一点F,使∠BCF=60°,CF 交BE 于G,连接EF 、DG ∵∠ABC=80°,∠ABE=20°,∴∠EBC=60°,又∠BCG=60° ∴△BCG 是正三角形∴BG=BC∵∠ACB=80°,∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA 又∵∠A=∠A,AB=AC ∴△ABE ≌ACF ∴AE=AF ∴∠AFE=∠AEF=错误!180°-∠A=80°又∵∠ABC=80°=∠AFE ∴EF ∥BC ∴∠EFG=∠BCG=60° ∴△EFG 是等边三角形∴EF=EG,∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°∵ACB=80°,∠DCA=30°∴∠BCD=50°∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50° ∴∠BCD=∠BDC ∴BC=BD 前已证BG=BC ∴BD=BG ∠BGD=∠BDG=错误!180°-∠ABE=80°∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40° 又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°∴∠FGD=∠DFG ∴DF=DG 又EF=EG,DE=DE ∴△EFD ≌△EGD ∴∠BED=∠FED=错误!∠FEG=错误!×60°=30°5、如图,△ABC 内接于⊙O,且AB 为⊙O 的直径,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D,过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P,过点A 作AE ⊥CD 于点E,过点B 作BF ⊥CD 于点F,若AC=6,BC=8,求线段PD 的长; 解：∵∠ACD=∠BCD ∴错误!=错误!∴AD=BD ∵AB 为⊙O 的直径∴∠ADB=90° ∴△ABD 是等腰直角三角形∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=10∴AD=AB ·cos ∠DAB=10×22=52 又AE ⊥CD,∠ACD=45°∴△ACE 是等腰直角三角形∴CE=AE=AC ·cos ∠CAE=6×22=32 在△ADE 中,DE 2=AD 2-AE 2∴DE 2=32232522=）（）（-∴DE=24 ∴CD=CE+DE=32+24=27∵∠PDA=∠PCD,∠P=∠P ∴△PDA ∽△PCD ∴752725====CD AD PD PA PC PD ∴PC=57PD,PA=75PD ∵PC=PA+AC ∴57PD=75PD+6解得PD=435 1证明：过点G 作GH ⊥AB 于H,连接OE ∵EG ⊥CO,EF ⊥AB ∴∠EGO=90°,∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB,CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD COHG GO =∴CDCOFG EO =∵EO=CO ∴CD=GF2证明：作正三角形ADM,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD,MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3证明:连接AC,取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN,CG=DG ∴GN ∥AD,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM,AG=CG ∴GM ∥BC,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F1证明：1延长AD 交圆于F,连接BF,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵错误!=错误! ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH=2GD 又AD ⊥BC,OM ⊥BC,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM 2连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由1知AH=2OM ∴AH=BO=AO2证明：作点E 关于AG 的对称点F,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF ∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE ∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∴F、C、A、Q四点共圆∴∠AFQ=∠ACQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP在△AEP和△AFQ中∠AFQ=∠AEPAF=AE∠QAF=∠PAE∴△AEP≌△AFQ∴AP=AQ。
(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初三经典几何证明练习题(含答案)
初三几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°.求证:△PBC是正三角形．（初二）3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证:AH＝2OM;（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P。
求证：AP＝AQ．3、如图，分别以△ABC的AB和AC为一边，在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP证明:分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ，AE ＝AC,AE 与CD 相交于F ． 求证:CE ＝CF ．证明：连接BD 交AC 于O 。
过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30° ∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图,四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．证明:连接BD,过点E 作EG ⊥AC 于G∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ，又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG =OD =21BD=21AC=21CE ∴∠GCE=30° ∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）证明:过点F 作FG ⊥CE 于G ，FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF∵AP ⊥FP∴∠APB+∠FPG=90°∵∠APB+∠BAP=90°∴∠FPG=∠BAP又∠FGP=∠PBA∴△FGP ∽△PBA∴FG ：PB=PG ：AB4、如图，PC 切圆O 于C,AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．设AB=x ，BP=y ，CG=zz ：y=（x -y+z ）：x化简得（x -y ）·y =（x -y ）·z∵x -y ≠0∴y=z即BP=FG∴△ABP ≌△PGF∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15° 在△AFC 中∠F =180°-∠FAC -∠ACF =180°-∠FAC -∠GCE=180°-135°-30°=15°求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）证明：过点E 作EK ∥BD ，分别交AC 、AF 于M 、K ，取EF 的中点H, 连接OH 、MH 、EC ∵EH=FH∴OH ⊥EF ，∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC ，∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO又EK ∥BD ，∴∠HPO=∠HEK∴∠HCM=∠HEM∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3,PB ＝4求∠APB 的度数．（初二)解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是正三角形 ∴∠BQP=60°，PQ=PB=3在△PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD又AO=CO∴四边形ABCD 的对角B∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）证明：过点P 作AD 的平行线,过点A 作PD 两平行线相交于点E,连接BE ∵PE ∥AD ，AE ∥PD ∴ADPE 是平行四边形 ∴PE=AD ，又ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC又PE ∥AD,AD ∥BC ∴PE ∥BC∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE 是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三） 证明:在BD 上去一点E ，使∠BCE=∠ACD ∵错误!=错误!∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC ∴ACBCAD BE∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵错误!=错误!，∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC ∴CDACDE AB∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证:∠DPA ＝∠DPC ．（初二）证明：过点D 作DG ⊥AE 于G ，作DH ⊥FC 于H ，连接DF∴S △ADE =错误!AE ·DG ，S △FDC =错误!FC ·DH 又S △ADE =S △FDC =12S □ABCD∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2． 证明：（1）将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF ，连接PE ，∵BP=BE,∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。
初中经典几何证明练习题(含问题详解)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQOP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初三经典几何证明练习题(含答案)
初三几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。
求证：△PBC是正三角形．（初二）3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.求证：AP＝AQ．3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE ＝CF ．证明：连接BD 交AC 于O 。
过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30°∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75°∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．证明：连接BD ，过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形∴BD ⊥AC ，又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC∴ODEG 是平行四边形又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形∴EG =OD =21BD=21AC=21CE∴∠GCE=30°∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）证明：过点F 作FG ⊥CE 于G ，FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP ∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 设AB=x ，BP=y ，CG=z z ：y=（x-y+z ）：x 化简得（x-y ）·y =（x-y ）·z ∵x-y ≠0 ∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15°在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE =180°-135°-30°=15° ∴∠F=∠CEA ∴AE=AFB ∴△FGP ∽△PBA ∴FG ：PB=PG ：AB4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）证明：过点E 作EK ∥BD ，分别交AC 、AF 于M 、K ，取EF 的中点H ， 连接OH 、MH 、EC ∵EH=FH∴OH ⊥EF ，∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC ，∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO 又EK ∥BD ，∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题(四)1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求∠APB 的度数．（初二）解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是正三角形∴∠BQP=60°，PQ=PB=3在△PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）证明：过点P 作AD 的平行线，过点A 作PD 两平行线相交于点E ，连接BE ∵PE ∥AD ，AE ∥PD∴ADPE 是平行四边形∴PE=AD ，又ABCD 是平行四边形∴AD=BC∴PE=BC又PE ∥AD ，AD ∥BC ∴PE ∥BC ∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO ∴四边形ABCD 的对角线互相平分 ∴ABCD 是平行四边形 ∴AB=DC ，BC=AD 又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三） 证明：在BD 上去一点E ，使∠BCE=∠∵CD⌒ =CD ⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC∴ACBCAD BE = ∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵BC⌒=BC ⌒,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC ∴CDACDE AB = ∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）证明：过点D 作DG ⊥AE 于G ，作DH ⊥FC 于H ，连接DF 、DE ∴S △ADE =12AE ·DG ，S △FDC =12FC ·DH又S △ADE =S △FDC =12S □ABCD∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2． 证明：（1）将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF ，连接PE ， ∵BP=BE ，∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。
初一英语几何证明方法练习题50题(带答案)
初一英语几何证明方法练习题50题(带答案)1. In a triangle ABC, if AB = AC, we can prove that ∠B = ∠C. Which of the following methods is the most direct way?A. Using the SSS (Side - Side - Side) congruence criterionB. Using the SAS (Side - Angle - Side) congruence criterionC. Using the property of an isosceles triangleD. Using the AAS (Angle - Angle - Side) congruence criterion答案：C。
解析：在三角形ABC中，已知AB = AC，这是等腰三角形的定义，等腰三角形的两底角相等，所以直接利用等腰三角形的性质就可以得出∠B = ∠C。
选项A的SSS是三边对应相等来证明三角形全等，本题不需要证明三角形全等。
选项B的SAS是两边及其夹角对应相等来证明三角形全等，也不符合本题情况。
选项D的AAS 是两角及其中一角的对边对应相等来证明三角形全等，同样不适用本题。
2. For a rectangle ABCD, if we want to prove that the diagonals AC and BD are equal. Which property can we use?A. Opposite sides of a rectangle are equalB. All angles of a rectangle are right anglesC. The definition of a rectangleD. The property that the diagonals of a rectangle are equal答案：D。
2024年数学八年级几何证明专项练习题1(含答案)
2024年数学八年级几何证明专项练习题1（含答案）试题部分一、选择题：1. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，则AC 的长度为（）。
A. 2cmB. 10cmC. 4cmD. 5cm2. 下列哪个条件不能判定两个三角形全等？（）A. SASB. ASAC. AASD. AAA3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）。
A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列哪个比例式是正确的？（）A. 若a∥b，则∠1 = ∠2B. 若a∥b，则∠1 + ∠2 = 180°C. 若a⊥b，则∠1 = 90°D. 若a⊥b，则∠1 + ∠2 = 180°5. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，∠B = 70°，则∠C的度数为（）。
A. 70°B. 40°C. 55°D. 110°6. 下列哪个条件可以判定两个角相等？（）A. 对顶角B. 邻补角C. 内错角D. 同位角7. 在平行四边形ABCD中，若AD = 8cm，AB = 6cm，则对角线AC 的长度（）。
A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 15cm8. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 矩形D. 梯形9. 在三角形ABC中，若a = 8cm，b = 10cm，c = 12cm，则三角形ABC是（）。
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定10. 下列哪个条件不能判定两个直线平行？（）A. 内错角相等B. 同位角相等C. 同旁内角互补D. 两直线垂直二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（）2. 在等腰三角形中，底角相等。
（）3. 平行线的同位角相等，内错角相等。
（）4. 若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
初中几何证明题【绝对经典】
几何证明1.点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．(1)若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则M B N ∆是三角形．(2)在ABE ∆和BCF ∆中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则M B N∆是 三角形，且=∠MBN .(3)若将(2)中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .探究：设A 、P 两点间的距离为x .(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置.并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.3.(1)如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．4. (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD ; 图1 图2 图3 (2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.5. 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE的中点．探究：AM 与DE 的位置及数量关系．(1)如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；图2图１(2)将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90?，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．7.B AP （（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．8. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)； (2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？9．如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN 图1 AC B EQF P 图2A B E QP F C（如图3）CB＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： (1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想； (2)若AB ＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明． 1、解：（1）等腰直角 （2）等腰 α （3）结论仍然成立 证明： 在ABF EBC ∆∆和中， ∴△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB.∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC= 2、解：（1） PQ =PB过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线 ∴AM =PM 又∵AB =MN ∴MB=PN ∵∠BPQ =900∴∠BPM ＋∠NPQ =900 又∵∠MBP ＋∠BPM =900∴∠MBP = ∠N PQ ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ∴PB =PQ（2）∵S 四边形PBCQ =S △PBC ＋S △PCQ ∵ AP =x ∴ AM =22x N MQ PDC B A∴CQ=C D －2NQ =1－2x 又∵S △PBC =21BC ·BM =21·1·(1－22x )= 21-42xS △PCQ =21CQ ·PN =21(1－2x )·(1－22x )=221x －x 423＋21 ∴S 四边形PBCQ =221x －2x ＋1 . (0≤x ≤22)(3)△PCQ 可能成为等腰三角形.① 当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合， PQ=QC ，此时，x=0.② 当点Q 在DC 的延长线上，且CP=CQ 时， 有：QN=AM=PM =x 22，CP =2－x , CN =CP 22=1－x 22 CQ=Q N －CN =x 22－（1－x 22） =2x －1 ∴ 当2－x =x 2－1时 ，x =13、解：（1）如图１，延长CD 至E ，使DA DE =．可证明EAD ∆是等边三角形． 联结AC ，可证明BAD ∆≌CAE ∆． 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．（2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '，可证明C B A '∆≌ADB ∆，得DB C B ='． ∵ 四边形DP B A '符合（1）中条件， ∴ PD AP P B +='． 联结C B '，N M QPDCBA 图 1图2ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上， 则PC B P C B +'='． ∴ PC PD AP C B ++='．∴ PC PD PA BD ++= ． ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上， ∵ PC B P C B +'<'， ∴ PC PD AP C B ++<'．∴ PC PD PA BD ++<．综上，PC PD PA BD ++≤． 4、答案（1）证明：延长EB 到G ，使BG=DF ，联结AG .∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90°, AB ＝AD ， ∴△ABG ≌△ADF .∴AG ＝AF, ∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD ．∴∠GAE=∠EAF ． 又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF .∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG ．∴EF= BE ＋FD(2) (1)中的结论EF= BE ＋FD 仍然成立.（3）结论EF=BE ＋FD 不成立，应当是EF=B E －FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ． ∵∠B+∠ADC ＝180°,∠ADF+∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF .∴∠BAG ＝∠DAF,AG ＝AF ． ∴∠BAG+∠EAD ＝∠DAF+∠EAD=∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE=∠EAF ． ∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF . ∴EG ＝EF ∵EG=BE －BG ∴EF=B E －FD ．5、答案：解：（1）DE AM ⊥，12AM DE =（2）结论仍然成立。
2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题（含答案解析）类型一三角形全等1.(2022·西藏)如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC.求证：△ABD≌△ACD．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．2.(2022·湖南省益阳市)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD//AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≌△ABC．【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，∴∠DEC =∠B =90°，∵CD//AB ，∴∠A =∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，∠DCE =∠A CE =AB ∠DEC =∠B ，∴△CED≌△ABC(ASA)．3.(2022·江苏省南通市)如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．4.(2022·上海市)如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE 2=AQ ⋅AB ．求证：(1)∠CAE =∠BAF ；(2)CF ⋅FQ =AF ⋅BQ ．【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF−EF=BE−EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠BCE=BF，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF；(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ⋅AB，AC=AB，∴AE AQ=AC AF，∴△ACE∽AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴CF BQ=AF FQ，即CF⋅FQ=AF⋅BQ．5.(2022·贵州省铜仁市)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD，∴△ABC≌△CDE(AAS)．6.(2022·广东省云浮市)如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE．【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE，∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．7.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．8.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】.证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE=BC．9.(2022·湖南省衡阳市)如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠CBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．10.(2022·四川省乐山市)如图，B是线段AC的中点，AD//BE，BD//CE.求证：△ABD≌△BCE．【答案】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB=BC，∵AD//BE，∴∠A =∠EBC ，∵BD//CE ，∴∠C =∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中，∠A =∠EBC AB =BC ∠DBA =∠C ，∴△ABD≌△BCE.(ASA)．11.（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DFBC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．12.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．13.（2021·四川泸州市·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE ≌△ACD ，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，∵A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△ABE ≌△ACD (ASA)，∴AE=AD ，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．15.（2020•菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 的延长线上，ED ⊥AB 于点D ，若BC ＝ED ，求证：CE ＝DB．【分析】由“AAS ”可证△ABC ≌△AED ，可得AE ＝AB ，AC ＝AD ，由线段的和差关系可得结论．【解答】证明：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∴CE ＝BD ．16.（2020•南充）如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC ＝DE ．求证：AB ＝CD ．【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．17.（2020•硚口区模拟）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．【解答】证明：在△ABE与△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．18.（2020•铜仁市）如图，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，AC ∥DF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB ＝∠DFE ，进而利用全等三角形的判定定理ASA ，进而得出答案．【解答】证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠E BC =EF ∠ACB =∠DFE ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．19.（2020•无锡）如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）AF ∥DE ．【分析】（1）先由平行线的性质得∠B ＝∠C ，从而利用SAS 判定△ABF ≌△DCE ；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB ＝∠DEC ，由等角的补角相等可得∠AFE ＝∠DEF ，再由平行线的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵BE ＝CF ，∴BE ﹣EF ＝CF ﹣EF ，即BF ＝CE ，在△ABF 和△DCE 中，∵AB =CD ∠B =∠C BF =CE ，∴△ABF ≌△DCE （SAS ）；（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB ＝∠DEC ，∴∠AFE ＝∠DEF ，∴AF ∥DE ．20.（2020•台州）如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）判断△BOC 的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE ，由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．21.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．类型二特殊四边形判定及性质22.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．23.(2022·青海省西宁市)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD ，在△ABE 和△ADF 中，∠AEB =∠AFD ∠B =∠D AB =AD ，∴△ABE≌△ADF(AAS)；(2)解：设菱形的边长为x ，∵AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE≌△ADF ，∴BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得，AE 2+BE 2=AB 2，即42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．24.(2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC 上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．【答案】解：(1)∵CE=AE，∴∠ECA=∠EAC，根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，∵四边形ABCD是矩形，∴DA//CB，∴∠ECA=∠CAD，∴∠EAC=∠CAD，∴∠DAF=∠BAE，∵∠BAD=90°，∴∠EAF=90°，设CE=AE=x，则BE=4−x，在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2=AE2，即：(22)2+(4−x)2= x2，解得：x=3，在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，设CG=x，则GB=3−x，∵FC=4，FE=17，∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2，即：16−x2=17−(3−x)2，解得：x=43，∴FG=FC2−CG2∴sin∠CEF=FG EF=25.(2022·湖北省荆门市)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=x(0<x<8)，将△ACB 沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示)．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，BC=AD，根据折叠的性质得：BC=CE，∠E=∠B=90°，∴∠E=∠D=90°，AD=CE，在△CEF与△ADF中，∠ CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，∴△CEF≌△ADF(AAS)；(2)解：设DF=a，则CF=8−a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC=x，∴∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC=∠BAC，∴∠DCA=∠EAC，∴AF=CF=8−a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2=AF2，∴x2+a2=(8−a)2，∴a=64−x216，∴tan∠DAF=DF AD=64−x216x．26.(2022·四川省遂宁市)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF//AC交OE的延长线于点F，连接AF．(1)求证：△AOE≌△DFE；(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵DF//AC，∴∠OAD=∠ADF，∵∠AEO=∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．(2)解：四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO=DF，∵DF//AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，∴平行四边形AODF为矩形．27.(2022·湖北省)如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC，∴AF//EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如图所示：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°−∠2，∠4=90°−∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=12BC=5．28.(2022·云南省)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE 与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°．(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．【答案】.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA//CD，∴∠BAE=∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE=DE，在△BEA和△FED中，∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF=EB，又∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF=90°．∴四边形ABDF是矩形；(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，∴AF=AD2−DF2=52−32=4，∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12，BD=AF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3，∴S△BCD=12BD⋅CD=12×4×3=6，∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18，答：四边形ABCF的面积S为18．29.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．30.(2022·湖南省郴州市)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB，∠DCA=∠ACB=12∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB，∵AE=CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形．31.(2022·山东省聊城市)如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C 作CF//AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．【答案】(1)证明：∵CF//AB，∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE=CE，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF；(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由(1)知，AD=CF，∵AD//CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCF是菱形．32.(2022·北京市)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∵AE=CF．∴OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，∵OA=OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．33.(2022·湖南省张家界市)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF．(1)求证：△ODE≌△FCE；(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．【答案】.(1)证明：∵点E是CD的中点，∴CE=DE，又∵CF//BD∴∠ODE=∠FCE，在△ODE和△FCE中，∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，∴△ODE≌△FCE(ASA)；(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE=FE，又∵CE=DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，∴四边形ODFC为矩形．34.(2022·四川省内江市)如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴180°−∠AEB=180°−∠CFD，即∠AEF=∠CFE，∴AE//CF，∵AE=CF，AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形．35.(2022·湖南省长沙市)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD 的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；(2)解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD=2EF=3，由(1)可知，四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BD=2OD=6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=AO2+OD2=22+32=13，∴菱形ABCD的周长=4AD=41336.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．37.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE ∥AB ，DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD ，可得AE=DE ，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．38.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．39.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．40（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；【解答】证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．41.（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=32，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．42.（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC ⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．43.（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，∠DAE =∠BCF ∠AED =∠CFB AD =CB ，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE ＝BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．类型三与相似有关的证明44.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH=⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．45.（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若23AGOG=，4AE=，求BC的长．【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据23AGOG=，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形BEDF为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴ABC ADC∠=∠∵ABE CDF∠=∠∴EBF EDF∠=∠∵四边形ABCD为平行四边形∴//AD BC∴EDF DFC EBF∠=∠=∠∴//BE DF∵//AD BC∴四边形BEDF 为平行四边形（2）设2AG a =，∵23AG OG =∴3OG a =，5AO a=∵四边形ABCD 为平行四边形∴5AO CO a ==，10AC a =，8CG a=∵//AD BC,,AGE CGB AEG CBG EAG BCG ∠=∠∠=∠∠=∠，∴AGE CGB∆∆∽∴14AE AG BC GC ==∵4AE =∴16BC =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．46.（2021·北京中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．【答案】（1）BAE CAD ∠=∠，BM BE MD =+，理由见详解；（2）DN EN =，理由见详解．【分析】（1）由题意及旋转的性质易得BAC EAD α∠=∠=，AE AD =，然后可证ABE ACD △≌△，进而问题可求解；（2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，由（1）可得ABE ACD ∠=∠，BE CD =，易证BH BE CD ==，进而可得HM DM =，然后可得DMN DHE ∽，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵BAC EAD α∠=∠=，∴BAE BAD BAD CAD α∠+∠=∠+∠=，∴BAE CAD ∠=∠，由旋转的性质可得AE AD =，∵AB AC =，∴()ABE ACD SAS ≌，∴BE CD =，∵点M 为BC 的中点，∴BM CM =，∵CM MD CD MD BE =+=+，∴BM BE MD =+；（2）证明：DN EN =，理由如下：过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，如图所示：∴90EQB HQB ∠=∠=︒，由（1）可得ABE ACD △≌△，∴ABE ACD ∠=∠，BE CD =，∵AB AC =，∴ABC C ABE ∠=∠=∠，∵BQ BQ =，∴()BQE BQH ASA ≌，∴BH BE CD ==，∵MB MC =，∴HM DM =，∵MN AB ⊥，∴//MN EH ，∴DMN DHE ∽，∴12DM DN DH DE ==，∴DN EN =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．47.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得AB CF=BF EC，由此即可解决问题．（3）首先证明tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF=x2−(a−x)2=2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)=b2−a2a−x，∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=48.（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD ＝CA，且∠D＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，。
初中数学几何证明经典题含答案
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
中考数学经典几何证明题60例附试题分析和参考答案
中考数学经典几何证明题60例一、解答题（共60小题）1．（遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．2．（珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．3．（镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=°时，四边形BFDE是正方形．4．（漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．5．（玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．6．（永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．7．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．8．（徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=时，四边形BFCE是菱形．9．（宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．10．（湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．11．（咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．13．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．14．（威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．15．（铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．16．（通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．17．（铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．18．（天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）AC•PD=AP•BC；（2）PE=PD．19．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．20．（随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．21．（绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE=BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=．22．（苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．23．（上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．25．（庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．（1）当AB=2时，求△GEC的面积；（2）求证：AE=EF．26．（青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．27．（钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．28．（黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．（1）求证：PN与⊙O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．29．（潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．30．（盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．31．（内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC 于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．32．（南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．33．（南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）34．（南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．35．（南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．36．（南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 的形状为A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．①求证：四边形AFF′D是菱形．②求四边形AFF′D的两条对角线的长．37．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．38．（龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的长．39．（柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．40．（辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．41．（连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F 处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．42．（莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD 交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．43．（酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE=cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）44．（荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O 于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．45．（吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？46．（黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．47．（黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证：=．48．（湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．49．（葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？50．（呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．51．（呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．52．（贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．53．（贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．（1）求证：AF=EF；（2）求证：BF平分∠ABD．54．（河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．55．（桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．56．（贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E 是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．57．（甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．58．（东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．59．（大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．（1）证明：AB=CD；（2）证明：DP•BD=AD•BC；（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．60．（赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．中考数学经典几何证明题60例参考答案与试题解析一、解答题（共60小题）1．（遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．解答：（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算，主要考查学生的推理能力．2．（珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．专题：证明题．分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DFB中，，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．3．（镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=20°时，四边形BFDE是正方形．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．专题：证明题．分析：（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE 是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．解答：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．故答案为：20．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．4．（漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．解答：（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．点评：本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．5．（玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．考点：切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD 是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．解答：解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E为的中点，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，，∴∠BOE=120°，∵阴影部分面积为6π，∴=6π，∴r=6．点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键．6．（永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；（2）根据“边角边”证明即可．解答：（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．7．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．考点：切线的判定；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；（2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=S⊙O﹣S△ABC 求出答案；（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．解答：（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．点评：本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．8．（徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=4时，四边形BFCE是菱形．考点：平行四边形的判定；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．解答：（1）证明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．9．（宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB 是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．解答：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．10．（湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．解答：证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．点评：此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．11．（咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．专题：证明题．分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．解答：（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．12．（咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．解答：（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．（2）解：设⊙O的半径为r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半径为．如图2，连接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．13．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：证明题．分析：（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．解答：（1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．14．（威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．专题：证明题．分析：（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．解答：（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．15．（铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．解答：证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：则∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，。
初中经典几何证明练习题(含答案).doc
又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA
∴△OAQ≌△OAP
∴AP=AQ
4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，
OP⊥BC
求证：BC=2OP（初二）
证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N
初中几何证明题
经典题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．
证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE
∵EG⊥CO，EF⊥AB
∴∠EGO=90°，∠EFO=90°
∴∠EGO+∠EFO=180°
∴E、G、O、F四点共圆∴∠GEO=∠HFG
∴CG=GF
设AB=x，BP=y，CG=z
∵AP⊥FP
z：y=（x-y+z）：x
∴∠APB+∠FPG=90°
化简得（x-y）·y=（x-y）·z
∵∠APB+∠BAP=90°
∵x-y≠0
∴∠FPG=∠BAP
∴y=z
又∠FGP=∠PBA
即BP=FG
∴△FGP∽△PBA
∴△ABP≌△PGF
∴FG：PB=PG：AB
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．
求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
证明：过点E作EK∥BD，分别交
连接OH、MH、EC
∵EH=FH
∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°
又PC⊥OC，∴∠POC=90°
AC、AF于M、K，取EF的中点H，
∴EM=KM
初中经典几何证明练习题集(含答案解析)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
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初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQOP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30°∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）证明：连接BD ，过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ，又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC∴ODEG 是平行四边形又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形∴EG = OD =21BD=21AC=21CE∴∠GCE=30°∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）证明：过点F 作FG ⊥CE 于G ，FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP ∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 又∠FGP=∠PBA ∴△FGP ∽△PBA ∴FG ：PB=PG ：AB 4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）证明：过点E 作EK ∥BD ，分别交AC 、AF 于M 、K ，取EF 的中点H ， 连接OH 、MH 、EC ∵EH=FH∴OH ⊥EF ，∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC ，∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO 又EK ∥BD ，∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题(四)设AB=x ，BP=y ，CG=z z ：y=（x-y+z ）：x 化简得（x-y ）·y =（x-y ）·z ∵x-y ≠0 ∴y=z 即BP=FG ∴△ABP ≌△PGF∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15°在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE =180°-135°-30°=15° ∴∠F=∠CEA ∴AE=AF ∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO ∴四边形ABCD 的对角线互相平分 ∴ABCD 是平行四边形 ∴AB=DC ，BC=ADB1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求∠APB的度数．（初二）解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是正三角形 ∴∠BQP=60°，PQ=PB=3在△PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）证明：过点P 作AD 的平行线，过点A 作PD 两平行线相交于点E ，连接BE ∵PE ∥AD ，AE ∥PD∴ADPE 是平行四边形∴PE=AD ，又ABCD 是平行四边形∴AD=BC∴PE=BC又PE ∥AD ，AD ∥BC ∴PE ∥BC ∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE 是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三） 证明：在BD 上去一点E ，使∠BCE=∠ACD ∵CD⌒ =CD ⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC∴ACBC AD BE = ∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵BC⌒ =BC ⌒ ,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC ∴CDACDE AB = ∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB证明：过点D 作DG ⊥AE 于G ，作DH ⊥FC 于H ，连接DF 、DE ∴S △ADE =12 AE ·DG ，S △FDC =12 FC ·DH又S △ADE = S △FDC =12 S □ABCD∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：3≤L ＜2． 证明：（1）将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF ，连接PE ， ∵BP=BE ，∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。