10-5 驻波【第10章 波动】
10-4~5~6驻波、多普勒效应
2 cos
2
cos
2
2π 2π y y1 y2 (2 A cos x ) cos t —— 驻波方程 T
驻波的振幅 从上式可看出: 合成以后各点都在作同周期的简谐 振动( 即驻波的周期还是原来波的周期 ) ；各点的振幅随 位置x 的不同而不同, 与时间 t 无关。
第十章 波动
由图得
A = 0.1m
y/cm 10
O -5
u
30 x/cm
坐标原点处质点的振动表达式为
0.6m 由图可知：
则
u
T
0.2m/s
该波波动表达式
2π x y x , t 0.1cos t 0.2 3
π m 2
第十章 波动
4
物理学
T 3
A yo 0.05 m 2 0 。 且有v o
1 t s 4
1 t s 4
o
2π 2π 1 π 2π t t 则 3 3 4 2 3
第十章 波动
2π ? 3
y(m)
3
物理学
第五版
π 2
2π rad / s 3
x y = 0.03cos 4 t - - u 2
第十章 波动
5
物理学
第五版
x 即： y 0.03cos 4 t - 0.20 2
将xo= - 0.05m 代入波动方程,得坐标原点O的振动方程:
0.05 yO 0.03cos 4 t 0.2 2 0.03cos 4 t 2
19
波动_驻波
第一諧音（n＝1） 第二諧音（n＝2） 第三諧音（n＝3） 第四諧音（n＝4）
基因與泛音 基音
第一泛音 第二泛音 第三泛音
f1＝
v 4L
第一諧音（n＝1）
基音
一
端
f3＝
3v 4L
＝
第三諧音（n＝3）
第一泛音
固 定
fn＝
3 f1
一 端
nv 4L
f5＝
5v 4L
＝
第五諧音（n＝5）
第二泛音
自
5 f1
由
[答案] D
(A)最低音頻即為基頻＝264 Hz；(B)基頻振動的波長λ＝2×1.5＝3.0（m）； (C)頻率愈高，波長會愈短； (D)弦可產生的音頻必為基頻的整數倍，故 528 Hz 是可以產生的聲波頻率； (E)不論弦以何種頻率振動產生聲波，在空氣中傳播的波速必為空氣中的聲
速大約為 340 m／s 左右。
2–5
駐波
1
駐波的產生
1. 駐波的定義： 兩週期性波動在同一介質中相向而行，因干涉作用， 造成合成波幅在節點間作週期性漲落，而波形不前進 的合成波稱為駐波。 2. 形成駐波的條件： 兩波須振幅、波長、頻率相同，且相向干涉。
3. 波節與波腹： (1) 節點或波節（node）：以符
號N表示。形成駐波的介質 中，質點振動位移恆為零之 點，如右圖a、b、c、d、e、f 處為波節。 (2) 腹點或波腹（antinode）： 以符號A表示。兩相鄰波節的 中點，振動幅度最大的點，如 右圖a'、b'、c'、d'、e'、f '處為 波腹。 具有以下性質：
生駐波：
(1) 因固定端必定為節點，自由端必定為腹點，設正弦波
10.5驻波
对于光学中的光波
光密媒质：折射率n较大的媒质。 n1 光疏媒质：折射率n较小的媒质。 n2
若波由 光疏媒质=>光密媒质，则有半波损失
例题：平面简谐波在距一反射面B为L处的振动规
律为
y = Acost
，设波速为 u ，反射时有半波损失，求入射波及反 射波的表达式。
1 2 3 4 5x
(2) 相邻两波节之间的质点运动同向，故驻波的运动是一段一
段的运动。
“驻”含义之二：
驻波不传播相位
四、驻波的能量
• 合能流密度为 wu + w (− u ) = 0
“驻”含义之三： 驻波不传播能量
t=0
t=T 4
t=T 2
势能 动能
波腹 波节 /4
能量 流动
势能
五、半波损失 绳子在固定端反射
y
y
1 2 3 4 5x 1 2 3 4 5x
y
t=0
1 2 3 4 5x
“驻”含义之一： 驻波不传播振动状态
y
t=T/4
1 2 3 4 5x
y
波腹
t=T/2
1 2 3 4 5x
波节
y
t=3T/4
12 3
4 5x
驻波
波腹
波节
驻波
波腹
波节
二、驻波的表达式
y
y1
=
A cos (t
−
x) u
= y1 + y2 = A cos (t
§10.5 驻波 音叉实验
一、驻波的形成
t=0
y
u
t=T/4
y
u
1 2 3 4 5x 1 2 3 4 5x
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
10-5 驻波
第十章 波动
8
物理学
第五版
二、半波损失
1010-5
驻波
实验中B点固定，形成波节， 实验中B点固定，形成波节，说明入射波 和反射波反相位。 和反射波反相位。 (1)入射波和 (1)入射波和 反射波同相位
(2)入射波和 (2)入射波和 反射波反相位 入射波和反射波有π的相位突变____ 入射波和反射波有π的相位突变____半波损失
t + x y2 = A cos 2π T λ
驻波
合成波： 合成波：
y = y1 + y 2
t x t x = Acos 2π ( − ) + cos 2π ( + ) T λ T λ
2π = ( 2 A cos x) cos t λ T
2π
A x ) = 2Acos (
物理学
第五版
一. 驻波
1010-5
驻波
是由振幅相同， 驻波: 是由振幅相同，传播方向相反的两列相干 波叠加而成，是一种特殊的干涉现象。 波叠加而成，是一种特殊的干涉现象。
驻 波 的 形 成
第十章 波动
1
物理学
第五版
1010-5
驻波
第十章 波动
2
物理学
第五版
1010-5
驻波
驻波的形成： 驻波的形成：
第十章 波动
9
物理学
第五版
1010-5
驻波
对于波沿分界面垂直入射的情形, 与波速u 对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度ρ 与波速 较大的介质称为波密介质 波密介质， 较小的介质称 的乘积ρu 较大的介质称为波密介质，ρu较小的介质称 波疏介质。 为波疏介质。 当波从波疏介质传播到波密介质，有半波损失， 当波从波疏介质传播到波密介质，有半波损失， 分界面反射点形成波节。 分界面反射点形成波节。 当波从波密介质传播到波疏介质，无半波损失， 当波从波密介质传播到波疏介质，无半波损失， 分界面反射点形成波腹。 分界面反射点形成波腹。 若反射点为自由端，无半波损失。 若反射点为自由端，无半波损失。 自由端 若反射点为固定端，有半波损失。 若反射点为固定端，有半波损失。 固定端
大学物理(II)下册：05-波动(驻波)
分析: 关键求出(1)
y
1 2x
O
L
A
四. 简正模式 (能够形成驻波的振动频率)
边界情况不同，简正模式也不同：
1.） 两端固定弦驻波
l
1
2
l
22
2
l
33
2
条件: l
nn 2
n
nu 2l
n
1, 2,
“量子化”
本征频率(简正频率)
n = 1 基频 n = 2,3,… 二次，三次…谐频
2) 一端封闭的笛中的驻波 3) 两端开放的笛中的驻波
一般情形
波的干涉
圆形水波的反射与干涉
一. 波的干涉
1. 干涉现象 波叠加时在空间出现稳定的 振动加强和减弱的分布
振幅
2. 相干条件
(1) 频率相同 (2) 振动方向相同 (3) 相位差恒定
3. 波场的强度分布
设振动方向屏面
S1 y10 = A10cos( t+ 10) S2 y20 = A20cos( t+ 20)
---“驻”字的第一层含义。
二. 驻波方程
y1
A cos[ (t
x u
)
y2
A cos[ (t
x) u
1 ] 右行波
2 ] 左行波
合成波 — 非行波 若1 = 2= 0
y y1 y2 2A coskx cos t
驻波方程
A (x) —调制的振幅 振动因子
三. 驻波特征 y 2A coskx cos t
p
r1
S1
S2
· r2
• 到p点引起振动
y1 = A1cos( t+ 10-kr1) y2 = A2cos( t+ 20-kr2)
10-5 驻波
33
物理学
第十章 波动
20
1010-5
驻波
例题3 一平面简谐波某时刻波形如图所示， 例题 一平面简谐波某时刻波形如图所示，此波以波速 u沿x轴正方向传播，振幅为 ，频率为 。 轴正方向传播， 沿 轴正方向传播 振幅为A，频率为υ。
y
B D
x
点为x轴的坐标原点并以此 （1）若以图中 点为 轴的坐标原点并以此 ）若以图中B点为 时刻为t=0时刻 写出此波的波函数。 时刻， 时刻为 时刻，写出此波的波函数。 点为反射点， （2）图中 点为反射点，且为一节点。若以 点为 ）图中D点为反射点 且为一节点。若以D点为 X轴的坐标原点，并以此时刻为 时刻，写出此波 轴的坐标原点， 时刻， 轴的坐标原点 并以此时刻为t=0时刻 的入射波的波函数和反射波的波函数。 的入射波的波函数和反射波的波函数。
第十章 波动
18
1010-5
驻波
第十章 波动
19
1010-5
驻波
t x 例题2 如果入射波是y1 = A cos 2 π( + ) ， T λ 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 在 x = 0 处反射后形成驻波，反射点为波腹， 设反射后波的强度不变， 设反射后波的强度不变，则反射波的方程式为 y2 = Acos 2π(t / T x / λ) ，在 x = 2 λ 处质点 ______________________， 3 合振动的振幅等于______. 合振动的振幅等于 A
y = (2Acos
x ∈ (
2π
λ λ
λ
x) cos ωt = A′ cos ωt
2π
, ), cos x>0 4 4 λ
y = (2Acos
第10章波动的答案解析
cv 一、简答题1． 惠更斯原理的内容是什么？利用惠更斯原理可以定性解释哪些物理现象？答案：介质中任一波振面上的各点，都可以看做发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波振面。
利用惠更斯原理可以定性解释波的干涉、衍射反射和折射现象。
1. 平面简谐波传播过程中的能量特点是什么？在什么位置能量为最大？答案：能量从波源向外传播，波传播时某一体元的能量不守桓，波的传播方向与能量的传播方向一致，量值按正弦或余弦函数形式变化，介质中某一体元的波动动能和势能相同，处于平衡位置处的质点，速度最大，其动能最大，在平衡位置附近介质发生的形变也最大，势能也为最大。
3．简述波动方程的物理意义。
答：波函数cos x y A t u ωφ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是波程 x 和时间 t 的函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。
（1）当x d =时，()y f t =，为距离波源为 d 处一点的振动方程。
（2）当t c =时（c 为常数），()y f x =，为某一时刻各质点的振动位移，波形的“拍照”。
4. 驻波是如何形成的？驻波的相位特点什么？答案：驻波是两列频率、振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。
驻波的相位特点是：相邻波节之间各质点的相位相同，波节两边质点的振动有π的相位差。
二、选择题1. 在下面几种说法中，正确的说法是( C )。
(A)波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的；(B)波源振动的速度与波速相同；(C)在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后；(D)在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前．2.一横波以速度u 沿x 轴负方向传播，t 时刻波形图如图所示，则该时刻（B ）。
（A ）A 点相位为π； （B ）B 点相位为2π （C ）C 点相位为2π； （D ）D 点向上运动； 3. 一列波在介质分界面反射而产生半波损失的条件是( C )。
第10章 波动习题解答
2
2
15 15 . 5
5 5 . 5
（2）距波源为16.0m和17.0m的两质点间相位差
16 ,17 (100 t 16 or ： 2
2
) (100 t 17
2
)
x,
x 17 16 1 m ,
则（ C ）
(A)波长为100m； (C)周期为 解：y
1 3 s
(B)波速为10m/s； (D)波沿x轴正方向传播
x u )]
；
A cos[ ( t
6
T 2
y 0 . 05 cos[ 6 ( t
x 100
)]
1 3
s
u 100 m / s
uT 33 . 3 m
第十章
波动
习题解答
1
第十章 习题
10-1 图(a)表示t=0 时的简谐波的波形图，波沿x轴正
方向传播，图(b)为一质点的振动曲线. 则图(a)中所
表示的x=0处质点振动的初相位与图(b)所表示的振动
的初相位分别为（D ）
y A cos(t ) v A sin( t )
(A)均为零
(D) 2 与
y 0
y
2
(B) 均为 2
u
x
y 0
(C) 均为
(E) 2 与
y
2
2
v 0 2
O
（a）
v 0 2
O
（b）
t
2
10-2 机械波的表达式为
10-5驻波
12-5 驻波1、理解驻波形成的条件和特点驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；2、理解驻波中的相位和能量，建立半波损失的概念。
重点：驻波形成的条件和特点、驻波方程的建立、驻波中的相位和能量；难点：驻波的形成，半波损失课堂讲授（MCAI教学）1个学时干涉是特定条件下波的叠加，驻波是特定条件下波的干涉。
一、驻波的产生及特征1、产生条件：两列波：（1）满足相干条件；（2）相同振幅；（3）速度相同；（5）沿同一直线相向传播相遇而产生驻波。
2、驻波的特征(1)某些点始终不动—波节，某些点振动最大—波腹。
(2)波腹、波节等间隔稳定分布(波形没有跑动)。
(3)媒质质元分段振动，各分段步调一致，振幅不同。
二、驻波方程分析1、驻波方程：设两列平面相干波沿x轴正、负向传播，在x=0处相位相同。
右行波：1cos2πνλ⎛⎫=-⎪⎝⎭xy A t左行波：x 轴上的合振动为：122cos 2cos 2ππνλ=+=x y y y A t 2、驻波的振幅 由驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=x y A t 与时间无关的因子为振幅分布因子，与时间有关的为谐振动因子。
振幅为：2cos 2πλxA(1) 驻波的振幅沿x 轴周期变化。
(2) 波腹——振幅最大最大振幅为2A 由22cos 22πππλλ=⇒=±xxA A k 相邻两波腹间距12λ+∆=-=k k x x x 波腹处坐标：2λ=±⋅x k （k = 0，1，2，…）(3) 波节——振幅为零 由22cos 20(21)2πππλλ=⇒=±+x x A k (21)4λ=±+x k 相邻两波节的间距12λ+∆=-=k k x x x3、驻波的相位 2cos 2πνλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x y A t驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=xy A t 可写为： 2c o s 2c o s 2(c o s 20)ππνπλλ=>x x y A t 2cos 2cos(2)(cos 20)ππνππλλ=+<x xy A t驻波的相位与坐标无关，说明不象行波随位置依次落后，即驻波的相位不向前传播。
10-5 驻波
振子
细绳
固定端
从图上可以看出，由上述两列叠加而成的波， 在绳上被分成几段，
每一段两端的点固定不动， 而每一段中的各点则作振幅不同的、位相相同的 独立振动； 中间的点，振幅最大， 越靠近两端的点，振幅越小， 而且发现，相邻两段的的点的振动方向是相反的。
振子
细绳
固定端
波腹
波节
此时，绳上各点，只有段与段之间的位相的突变， 而没有振动状态或位相的逐点的传播， 也即没有什么“跑动”的的波形， 所以这种波称为驻波。
3 x 2 2
2
3 2 5 x 2 2
讨论 位相
y 2 A cos
2
x
●
x2
●
x cos t
●
x
x3
●
x1
2
●
3 x 2 2
x1 x x2 x 2 x x3
2
3 2 5 x 2 2 cos 2
2 A cos
2
振幅 ——驻波的振幅与位置有关，与时间无关 波腹的位置——振幅最大的位置 发生在
x
cos
2
x 1
振幅
2 A cos
2Hale Waihona Puke x cos 2波腹的位置——振幅最大的位置
2
2
x k
xk
2
x 1
k 0， 1， 2， 3，
波节的位置——振幅最小的位置
相邻波腹（或波节）的距离
x k 1 x k
2
2
2
讨论 位相
y 2 A cos
第十章 波动 习题解答 (1)
（1）波动方程；
（2）求 x=0.5m 处质点的振动方程；画出该质点的振动图 ；
（3）求 t=1.0s 时各质点的位移分布，画出该时刻的波形图。
解：(1) 波函数 y = Acos[ω(t − x ) + ϕ] ，其中 T = 2s,ω = 2π / T = π , u = λ / T = 1m / s u
P
10.0m
x/m
x/m
y/m
u
O
t/s
O
x/m
A、振动 x-t 曲线
B、波动 y-x 曲线
（2）波源振动速度等于波速吗？振幅和周期呢？波动方程中波源的位置一定位于原点 O？
波源的初相？
波源振动速度不等于波速；波源的振幅和周期等于波动的振幅和周期
波函数为： y = 0.1cos[500π（t + x ）+ π ]（m） 5000 3
(C) A = A12 + A22 + 2 A1A2 cos ∆ϕ
(D) A1 − A2 ≤ A ≤ A1 + A2
∆ϕ
= ϕ2
− ϕ1
− 2π
r2 − r1 λ
拓展：B 选项改为“某时刻，在两列波相遇的区域中某质点若为静止，则这两列波必相干” 答案：错误
10.11 如图所示，S1、S2 为两平面简谐波相干波源，S2 的
=
4m ， ∆ϕ
= ϕB0
− ϕ A0
−
2π λ
(rB
− rA )
=π
−
2π λ
(rB
− rA ) ，
干涉而静止的条件： ∆ϕ = ±(2k +1) π k = 0,1,2,
P 点为 AB 连线上任一点，rA 为 P 点到 A 点距离，rB 为 P 点到 B 点距离，
大学物理 第10章波的干涉
x
λ
)
λ
cos 2π ν t
各质点都在作同频率的 简谐运动
讨论
驻波表达式
y = 2 A cos 2 π
x
这一函数不满足
因此， y (t + ∆t , x + ut ) = y (t , x)，因此，它不表
λ
cos 2 π ν t
示行波，只表示各点都在做简谐运动。 示行波，只表示各点都在做简谐运动。 各点都在做简谐运动
当
− 2π (r − r ) + ϕ − ϕ A = A + A + 2 A1 A2 cos 2 1 λ 2 1
2 1 2 2
ϕ1 = ϕ 2 时，波程差为
∆r = r2 − r1 = ±(2k + 1) ,
2
λ
( k = 0,1,2L)
当波程差为半波长的奇数倍时减弱。 A = A1 − A2 | 当波程差为半波长的奇数倍时减弱。 |
当此两列波发出的波在空间P点相遇时， 当此两列波发出的波在空间 点相遇时， 点相遇时 两列波在P点引起的振动表达式分别为 点引起的振动表达式分别为： 两列波在 点引起的振动表达式分别为：
P
r1 S1 S2 r2
r1 y1 = A1 cos[ω (t − ) + ϕ1 ] u r2 y 2 = A2 cos[ω (t − ) + ϕ 2 ] u
∆ϕ I = 2 I 1 (1 + cos ∆ϕ ) = 4 I 1 cos 2
2
干涉现象的强度分布
为两个相干波源， 例10.1 设S1 、 S2为两个相干波源，两者相距四分之一波 如图10-2所示。 S1比S2的相位超前π/2。若两列波在 所示。 的相位超前π 。 长，如图 所示 S1、S2连线方向上的强度相同，且不随距离变化，求在 1、 连线方向上的强度相同，且不随距离变化，求在S S2连线上 (1) S2右侧各点的合成波的强度如何？ 右侧各点的合成波的强度如何？ (2) S1左侧各点的合成波的强度如何？ 左侧各点的合成波的强度如何？
10-5 驻波
)
y2 A cos 2π (t
x
x
y y1 y2
A cos 2π (t
)
x
2 A cos 2π
x
) A cos 2π (t
)
cos 2π t
4
第十章 波动
物理学
第五版
10-5
驻波
讨论 驻波方程 y 2 A cos 2π (1)振幅 2 A cos 2π
15
第十章 波动
物理学
第五版
10-5
驻波
驻波的能量 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复 变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的 转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中 在波节，但无能量的定向传播. 原因 两列波各自向相反方向以相同速度传播 同样大小的能量，其平均效果为零.
第十章 波动
16
物理学
第五版
2 x1 x2
) ( 2
x x1
2
)
( x 1)
当Δφ = (2k+1)π时静止， ( x 1) (2k 1)
x 2(k 1), k 0,1,2
27
第十章 波动
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
10-2 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度
10-4 10-5
10-6 10-7
惠更斯原理 波的衍射和干涉 驻波
多普勒效应 平面电磁波
第十章 波动
28
)
x A cos( t 2 ) L 5
x 2 xM
)
§10.5 驻波
o
y
t 0
x
y y1 y 2 [2 A cos( 2 x )] cos( 2 π t ) T
Chapter 10. 波动 作者：杨茂田
§10. 5 驻 波
P. 5 / 23 .
令： A( x ) 2 A cos( 2 x )
则，驻波方程 ：
y
y A( x ) cos( 2 π t ) T
P. 20 / 23 .
1. 驻波形成条件：两相干波反向相遇。 2. 驻波特点： 振幅分布：波腹点与波节点的位置
n u n u 2l
基频： 1 u (音调) 2l
谐频： 2 , 3 , (音色)
Chapter 10. 波动 作者：杨茂田
§10. 5 驻 波
P. 21 / 23 .
y入
xk xM k 2 2 ( x M x ) ]
S
y反
M
xM x
o
x
y反 A cos ( t 2 x 4 x M ) ( 反射波波函数 )
Chapter 10. 波动 作者：杨茂田
§10. 5 驻 波
P. 17 / 23 .
A( x ) cos ( t 2 x M ) 驻波：y y入 y反 2 A( x ) 2 A cos [ 2 ( x x M ) ] 2
§10. 5 驻 波
P. 19 / 23 .
四、振动的简正模式
形成稳定的驻波条件：
S
l n 2
n 2 l
n
M
l
N
频率需满足：
n u n u 2l
基频： 1 u (音调) 2l
第十章 波动习题课与讨论课(十)
x x -3 y = Acosω t - +ϕ = 4.0×10 cos240π t - (m) 30 15 u
10-11
有一平面简谐波在空间传播。 有一平面简谐波在空间传播 。 已知在波线上
的运动规律为： 某点 B 的运动规律为：
(2)距原点 距原点7.5m处质点的运动方程 t=0 该点的振动速度 处质点的运动方程, 距原点 处质点的运动方程
13π y7.5 = 0.10cos500πt + (m) 12
13π d y -1 v= = 40.6m⋅ s = −50π sin 12 d t t =0
D
u
)
y
O
y
x
π
O
(a)
均为零； ( A)均为零；
(b)
π
均为－ (C)均为－ ； 2
t
(D) 与－ ； (E) 与 。 － 2 2 2 2
π
π
(B)均为 ； 2
π
π
10
机械波的表达式为： 10-2 机械波的表达式为：y=0.05cos(6πt+0.06πx) (m), 则 (
C)
( A) 波长为 m (B)波速为 m⋅ s-1; 100 ; 10 1 (C) 周期为 s;(D) 波沿 轴正方向传播 x ; 3
y = Acos(ωt + ϕ)
就图(a)、 、 给出的三种坐标取法 给出的三种坐标取法， 就图 、(b)、(c)给出的三种坐标取法，分别列出波动 方程。并用这三个方程来描述与 相距为b 方程。并用这三个方程来描述与B 相距为 的 P点的运 点的运 动规律。 动规律。
y
u
u
大学物理A第十章 波函数
第十章 波函数一、填空题（每空3分）10-1 A,B 是简谐波同一波线上两点，已知B 点的相位比A 点超前2π，且波长4m λ=，波速2u m s =，则两点相距 ，频率为 。
(1,12m Hz )10-2 A,B 是简谐波同一波线上两点，已知B 点的相位比A 点超前2π，且波长4m λ=，波速2u m s =，则两点相距 。
(1m )10-3 一列横波沿X 正向传播，波速u=1m/s,波长λ=2m,已知在X=0.5m 处振动表达式为Y=2cos πt(SI),则其波函数为_______.( y=2cos(πt-πx+2π) （SI ）) 10-4波源位于x 轴的坐标原点，运动方程为t y π240cos 100.43-⨯=，式中y 的单位为m ，t的单位为s ，它所形成的波形以 1s m 30-⋅ 的速度沿x 轴正向传播，则其波动方程为___ _____。
（))(8240cos(100.43m x t y ππ-⨯=-）10-5机械波的表达式为()()0.05cos 60.06y t x m ππ=+，则该波的周期为 。
(13s ) 10-6一平面简谐波的波动方程为)2 4cos(08.0x t y ππ-=，式中单位为SI 制 。
则：（1）对于某一平衡位置，2=t s 与1.2=t s 时的相位差为 ；（2）对于同一时刻，离波源0.80 m 及0.30 m 两处的相位差为 。
（0.4π；π）10-7 一列横波在x 轴线上沿正向传播，在t 1＝0和t 2＝0.5s 时波形如图所示，设周期12t t T ->，波动方程为 。
()42cos(2.0xt y πππ-+=)10-8 某波线上有相距2.5cm 的A 、B 两点，已知振动周期为2.0s ，B 点的振动落后于A 点的相位为π/6，则波长λ = ，波速u = 。
（λ=0.3m ，u=0.15m/s ） 10-9一横波沿x 轴正向传播,波速u = 1m/s, ,已知在 x = 0.5m 处振动表达式为t yπcos 5=(SI) ,o242.0m y /mx /01=t s 5.02=t则其波函数为___ 。
第10章 振动与波动(习题与答案)
第10章 振动与波动一. 基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。
2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。
3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。
4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。
5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。
6. 理解机械波产生的条件。
7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。
8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。
9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。
掌握波的相干条件。
能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。
10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。
二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即kx F -= 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为x tx 222d d ω-= 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即)cos(ϕ+ω=t A x由它可导出物体的振动速度 )sin(ϕ+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(ϕ+ωω-=t A a 23. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即2v ω+=2020x A4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。
周期与频率互为倒数，即ν=1T 或 T1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相 谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。
t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即0x v ω-=ϕtan应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
44
y (2Acos 2π x) cost
结论 相邻两波节间各点振动相位相同
8
x
(
,
3
),
cos
2π
x
0
44
y (2Acos 2π x) cost (2Acos 2π x) cos(t π)
结论 一波节两侧各点振动相位相反
y
4
4
3
4
5
4
x
9
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成，反 射发生在两介质交界面上，在交界面处出现 波节还是波腹，取决于介质的性质. 介质分类 波疏介质,波密介质
x 2k
4
( 的偶数倍)
4
(k 0,1,2，)
6
结论 有些点始终不振动,有些点始终振 幅最大.
相邻波腹（节）间距 2
相邻波腹和波节间距 4
y
波腹 振幅包络图
波节
3
5 x
4
4
4
4
2
7
(2) 相位分布
y (2Acos 2π x) cos t Acos t
x ( , ),cos 2π x 0
和弦线长 l 应满足
l n n
2
n
n
u 2l
n 1,2,
17
两端固定的弦振动的简正模式
l n n n 1,2,
2
l 1
2 l 22
2
l 33
2
18
一端固定一端自由的弦振动的简正模式
l (n 1) n n 1,2,
22
l 1
4
l 32
4
l 53
4
19
例 如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波
方程为 y1 103 cos[200π(t x / 200)](m) （1） 在1，2两种介质分界面上点A与坐标原点O
相距L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1
的波阻, 反射波与入射波的振幅相等, 求：
（1）反射波方程; （2）驻波方程;
（3）在OA之间波节和波腹的位置坐标. y
12
O
L
A
(1)振幅 2 A cos 2π x 随 x 而异,与时间无关
cos 2π x
1 0
2π x k π k 0,1,2,
2π x (k 1)π k 0,1,2,
2
5
当 cos 2π x 0 时 A 0 为波节
x (2k 1) ( 的奇数倍)
44
(k 0,1,2，)
当 cos 2π x 1 时 A 2A 为波腹
10
波疏介质 波密介质
波 疏 介 质
u
较 小
波 密 介 质
u
较 大
11
三 相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分
界处产生 π的相位跃变，相当于出现了半个
波长的波程差，称半波损失.
12
波密介质 波疏介质 当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反 射波在此处的相位时时相同，即反射波在分 界处不产生相位跃变.
x
20
解 （1）设反射波方程为
y2
103
cos[200π(t
x) 200
0 ]
由式（1）得A点的反射振动方程
y1A
103
cos[200π(t
L) 200
π]
（2） （3）
y
12
O
L
A
x
21
由式（2）得A点的反射振动方程
y2 A
103
cos[200π(t
L) 200
0
]
舍
由式（3）和式（4）得： 去
13
14
四 驻波的能量
波
位移最大时
dWp
(y )2 x
节
x
波 腹
x
A
BC
平衡位置时
dWk
(y )2 t
15
驻波的能量 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复 变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的 转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中 在波节，但无能量的定向传播.
16
五 振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长 n
一 驻波的产生
1 现象
1
2 条件 两列振幅相同的相干波相向传播
2
3 驻波的形成
3
二 驻波方程
正向
y1
A c os2π
(t
x)
负向
y2
Acos2π (t
x)
y y1 y2
Acos2π (t x ) Acos2π (t x )
2 Acos2π x cos2π t
4
讨论
驻波方程 y 2Acos2π x cos2π t
0 0
2πL π 2
π -3.5π -4π π 2
所以反射波方程为：
（4）
y2
103
cos[200π(t
x) 200
π] 2
(m)
22