隐函数求导的简单方法

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数学中不等式的证明方法

王贵保

一、利用拉格朗日中值定理

1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得

)()()(ξf a

b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式：

m ≤a

b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a

b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x .

证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x

e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t

f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。

令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有

0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x

e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x

1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x

x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理.

令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得

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ξ

ξ1)()1()()1(=='=-+-+t t f x x x f x f （1） 又因为x ＜ξ＜x +1，知有

x +11＜ξ1＜x 1 （2） 于是由（1）（2）可得

x +11＜)()1(x f x f -+＜x

1 二、利用函数的单调性

1．定义：设)(x f 在（a , b ）内有定义，任取),(,21b a x x ∈且1x ＜2x ，如有)(1x f ≤)(2x f 则称)(x f 在（a , b ）单调增加，如有)(1x f ≥)(2x f 则称)(x f 在（a , b ）内单调减少.

2．判定单调性的方法：如)(x f 在（a , b ）内的导数)(x f '＞0，则)(x f 在（a , b ）内单调增加；如导数)(x f '＜0，则)(x f 在（a , b ）内单调减少.

3．从单调性的定义可以看出，若构造不成

a b a f b f --)()(的形式，则可利用函数的单调性进行判定证明.

例3：证明，x ＞0时有x

e ＞1+x .

证明：令x e x f x --=1)(，则1)(-='x e x f ＞0所以)(x f 单调增加，于是当x ＞0时有)(x f ＞)0(f ＝0，即有)(x f ＞0. 或 x e ＞1+x 例4：证明x ＞1时，有x ln ＞

1

)1(2+-x x 证明：令-=x x f ln )(1

)1(2+-x x ，则 []22)1(41)1()1()1(21)(+-=+--+-='x x x x x x x f 22

22)

1()1()1(4)1(++=+-+=x x x x x x x ， 由x ＞1知 )(x f '＞0，所以)(x f 单调增加，于是当x ＞1时有)(x f ＞)1(f ＝0，即得： x ln ＞1

)1(2+-x x . 三、利用闭区间上的连续函数可以取得最大值与最小值的方法

1．定理：若)(x f 在闭区间[a , b ]上取得最大值M 与最小值m ，于是有m ≤)(x f ≤M.

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2．因此，若在不等式的证明中，如有某一个变量受到限制时，可用该方法。

3．最大值与最小值的求法为：先对)(x f 求导，得方程)(x f '＝0，求出其解，比如为1x ，2x ，…，n x ，然后计算)(1x f ，)(2x f ，…，)(n x f 及)(a f 与)(b f ，从中取最大者为最大值，最小者为最小值.

例5：证明，当0≤x ≤1，p ＞1时有不等式

121

-p ≤p

p x x )1(-+≤1 证明：这里因x 有限制，]1,0[∈x ，可见，应求函数p p x x x f )1()(-+=在]1,0[上

的最大值及最小值.

0)1()(11=--='--p p x p px x f ，可得 ∈=2

1x ]1,0[ . 又 121)211()21()21(-=

-+=p p p f ； 1)1(,1)0(==f f ，

于是有 121

-p ≤p

p x x )1(-+≤1 . 四、利用函数的凹凸性进行证明

1．定义：设函数)(x f 在（a , b ）内有定义，如),(,b a y x ∈有⎪⎭⎫ ⎝⎛+2y x f ≤[])()(21y f x f +则称函数)(x f 在（a , b ）内为凹函数，如有⎪⎭⎫ ⎝⎛+2y x f ≥[])()(2

1y f x f +，则称函数)(x f 在（a , b ）内为凸函数；更加一般地，如有⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++n x x x f n 21≤[])()(11n x f x f n ++ 则称)(x f 在（a , b ）内为凹函数，如有⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++n x x x f n 21≥[])()()(121n x f x f x f n

+++ ，则称)(x f 在（a , b ）内为凸函数. 其中1x ，2x ，…，n x ∈（a , b ）.

2．因此，如在不等式的证明中出现了形如⎪⎭⎫ ⎝⎛+2y x f 或⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++n x x x f n 21

的形式，可用函数凹凸性来证明.

3．函数凹凸性的判定：如)(x f 在（a , b ）内的二阶导数)(x f ''＞0，则函数)(x f 为凹函数，如)(x f ''＜0，则函数)(x f 为凸函数.