期望效用理论

序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义.
2.效用函数定义 如果对于 x, y C 有 x y u( x) u( y)和 x y u( x) u( y) 成立，则函数关系 u : C R 是一个代表了偏 好关系的效用函数。
定理2： 如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有 完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一 个能够代表偏好顺序的连续效用函数u :C→R。
3、消费者效用最大化问题
max u (.)
s.tW
令 则最大化问题为：
q (q1,
, qm ,
, qM ) RM
M
上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集，C为 消费数量，Q为消费价格。
在确定的环境下，效用函数实现了序数关系 与基数关系的转换。
定理1：
一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个 效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关 系： u ( x) f [u( x)] 且 f (.) 是单调递增函数，则有：
u ( x) u ( y ) u ( x) u ( y )
（1）x y x弱偏好于y，x 至少与y 一样好。 （2） x y x强偏好于y ； （3） x y 无差异于x 、y；即： x yx y和y x
例子: 可以建立偏好关系(单课成绩与总成绩;某基金公 司的多个基金的业绩)与不可以建立偏好关系(多课程 绩).
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： （1）完备性（completeness）:
在百度文库机与赌博中的风险
风险：承担风险一定要求风险补偿。 投机：在获取相应报酬时承担一定的风险。 赌博：是为一个不确定的结果打赌或下注。
2.不确定性下的偏好选择 （1）不确定性下选择的表述方法 自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因 素。 通常我们用S表示自然状态的集合：S={1，…，S}。
确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换 行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件 发生的可能性。
风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机 问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可 能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认 识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。 不确定性：是指发生结果未知的所有情形，也即那些决 策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅 在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。 即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态 发生的概率不清楚。
Fx Ps S : x(s) c c C
这个概率表述表明，在一个行为既定的情况下，特定 结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的可能性状态 的概率。由于某个特定行为结果发生的概率取决于经济主 体选择的行为，因此，我们可以等价地认为，对于行为
结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择。 因此，不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主 体在不同的概率分布中进行选择。这意味着，行为主体表 现自己偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质：
x(s) C, s S , x X
在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P （.）来表示行为x，其中，p（c）是使选择x的结果等于 c的概率，与状态s和行为x有关。
因此，对于所有的结果c∈C， p（c）≥0 且 p(c) 1
cC
有了概率描述不确定性，就可以进行理性决策了。
自然状态的特征： 自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一种 状态发生）
自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态的 出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概率 P（s）满足： p( s ) 1 0≤p（s）≤1， sS 这里的概率p（s）就是一个主观概率，也成为个体对自 然的信念。不同个体可能会对自然状态持有不同的信念， 但我们通常假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出 现的概率就是唯一的。 例子：两种状态与用概率（信念）刻画的两种状态：
①状态依存结果的优序选择（状态偏好方法）
用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的集合，而不 是用概率来反映个人所面临的随机性。 假定：X:不确定环境下可选择行为的集合; S:可能的状态集合 C:可选择行为的结果的集合 行为xX和s S结合产生的结果cC 函数 f (.) 把行为、状态和结果对应起来：
( s, x) c f ( x, s)
当经济主体在可行的行为之间进行选择时，他们以被 选行为产生的结果为基础进行选择。但是行为对于决定特 别的结果来说，常常是不充足的。其他因素会与选择的行 为相互作用产生一个特别的结果。这些其他因素，超越了 经济行为人的控制，被称为自然状态（下不下雨，升降）。
上面例子：上市的概率60％，上市的概率40％，针对不 同的投资行为，投资公司的投资计划（结果）是可以 确切计算：
不确定条件下的选择的两种方式比较： 第一种在依存状态的结果之间进行的选择 （定性决策，事后） 第二种在不同结果的概率分布之间进行的选 择（定量决策，事前） 当然，只是一种矛盾的转移，转移的价值与 选择的工具所带来的价值有关。
大量的自然实状态的存在使得目前所采取的任何行为
的将来结果是不确定的。
在决定行为的过程中，主体对自然状态是不确定的， 这些状态将共同确定被选行为的结果。选择行为x就为每 一自然状态决定了一个结果c= f ( x, s) ， 对X中行为的选 取从而被视为对依赖状态（或偶然状态）结果的选取。
通过观察函数f可以容易区分确定条件下和不确定条件 下的决策。 若c= f ( x, s)关于自然状态是不变的，即自然状态不会 影响产生的结果，则可以认为是确定条件下的决策。 若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定 条件下的决策。
（4）单调性（monotonicity）
x, y C ， if x y x y
单调性说明增加一点商品至少与原来的情 况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然 成立。 强单调性说明同样的物品，如果其中有些 种类的数量严格多于原来的物品，消费者则必 定严格偏好于他们。
x, y C if x
（3）传递性：
x, y, z C if x
y, y
zx
z
传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一 贯性。传递性也是偏好的一致性条件，如果两个参与 者的偏好违反了传递性，那么其行为因为缺乏一致性 而违背理性。同理：
x, y, z C , if x
y, y
zx
z
违背传递性的结果：一个投资者的偏好关系a，b，c, 如果 a > b， b>c, 而c > a. 可以作以下交易： 以价格p 卖给他c，用b与他交换c,由于对他来讲b>c,他愿意额外 支付一个价格q1; 用a与他交换b,由于对他来讲a>b,他愿意额外支付一个价格q2; 用c与他交换a,由于对他来讲c>a,他愿意额外支付一个价格q3; 最后我们用价格p购回c, 这样又回到了原始状态。但他付出了 q1+q2+q3. 如果他还坚持他的这种偏好，可以继续不断地与他进行这种交易， 直至他的财富为零。
y且 x y 则 x
y
（5）局部非饱和性（local non-satiation） x C 和 0 ，总存在 y C, x y 使得
x
y
在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无 差异曲线具有一个负（或正的）的斜率。
（6）凸性（convexity）
x, y, z C, if x
经济上，偏好关系是指参与者对所有可能的投资（消 费）计划的一个排序。
1.偏好关系的表述 令C 为商品（或者消费）集合，C 中有A 种可供选择 计划方案。f是采取计划a,消费c的一个结果，或者得 到的效用。我们可以在消费集合上建立下面的偏好关 系（preference relation）或者偏好顺序 （preference ordering），满足：
x, y, z C, if x z, y
z, y
z x (1 ) y
z
z
严格凸性（strictly convexity）：
z, x y x (1 ) y
凸性可理解为边际替代率递减。 注意：凸性是凹函数的特征：
（二）确定性环境下的效用函数 1.基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的 杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或 满意可以用他从享用或消费过程中所获得的效 用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数效 用.
传递性也是理性经济人的基本要求之一。
（4）连续性（continunity） 对于任意的X、y，集合 x x y 和 x x y 是 闭集， x x y 和 x x y 是开集。 即如果x是一组至少与y一样好的消费束， 而且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样 好。这样就可以得到一条连续的无差异曲线。 也即如果两个计划非常接近，那么他们的排序 也应该是非常接近的。
例子：风险投资基金投资到一个企业，这个 企业上市和不上市两个状态（不赋予信念）， 风险基金的行为可以投资（股份比例不一样） 或不投资，对于风险投资公司来说的投资结 果。
②行为结果的概率分布选择(概率方法) 既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通过函数 f : S X C 来描述， 在S上定一个概率测度： 对任意x X，存在一个C上的概率分布：
Knight 不承认“风险=不确定性”，提出“风险”是有 概率分布的随机性，而“不确定性”是不可能有概率 分布的随机性。 Knight 的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研究 方法上的区别
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常 常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果 发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概 率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事 件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作 上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的 界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
x, y C , x
中有一种关系成立。
y
y
x x y
完备性假定保证了消费者具备选别判断的能力。完 备性的意义：任何两个投资（消费）计划一定有一个 是优的，或者两个是无差异的。它排除了投资计划之 间无法比较的可能性。
（2）自返性（reflexivity）： x C ，则有 x x
自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一 贯性。
风险来源的不同看法（习惯）
风险与不确定性联系在一起。风险可以由其收益的不 可预测性的波动性来定义，而不管收益波动采取什么 样的形式。 风险与其可能带来的不利后果相联系，风险可以由收 益波动的损失来定义。 风险是与不确定性和相应的不利后果相联系的，即以 价格或收益的波动(为代表)衡量不确定性，在这种不 确定性给投资者带来损失时就构成一项经济活动的风 险。
max u (.) s.t.z C R
: qc W
最优解：
Z u q 0 C C
Z W qC 0
u / Ci qi MRSi , j u / C j q j
（三）不确定性环境下的行为选择 1.关于风险与不确定性 奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉 中关于确定性、风险和不确定性的解释：
第二章 期望效用理论
一、个体行为决策准则
（一）偏好关系(决策的前提是排序) 效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。 偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。 偏好关系（preference relation)是指消费者对不 同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二 元）关系（binary relation）表述出来。