完美数

完美数
究竟人类从何时开始研究完美数，我们并不知道。

但埃及人，已经很自然的用它来计算了。

而毕达哥拉斯〈Pythagoras〉和他的门徒研究完美数的神秘色彩却多于数的理论性质。

比较早对完美数的定义是关于整除的部份，当某数等于其所有因子和时，它即是完美数。

例如 1=10/10，2=10/5，5=10/2
但是 10≠1+2+5，
所以 10不是完美数。

而最早找出的四个完美数是 6，28，496和8128，发现者已无法考证。

6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
公元前300年，在欧几理得几何原本是数学史上最早有关于完美数的记录。

因它是记录在几何原本中，所以让人感到相当惊讶！其记录在几何原本第九册性质36，叙述如下：从1开始一直2倍的相加，直到总和为质数时，此质数再乘以最后相加的数，即为完美数。

例如：1+2+4=7，因为7是质数，所以〈总和〉‧〈最后一个数〉=7*4=28，28就是完美数。

又如1+2+4+8+16=31，因为31是质数，所以31*16=496，496就是完美数。

因此综合得公式如下：1+2+4+8+……+2k-1 =2k–1
若k>1，2k–1是质数时，则2k-1(2k–1)就是完美数。

于公元100年，希腊的Nicomachus是第二位严谨地讨论完美数者，在他的名著Introductio Arithmetica中，将数分成三类─
第一类：过剩的数─整除部分的和超过自己。

第二类：不足的数─整除部分的和小于自己。

第三类：完美的数─整除部分的和等于自己。

后来Nicomachus虽未经证明，仍推论出关于完美数的部分性质。

以现代的定义叙述如下─
(1)第n个完美数有n位数。

(2)所有完美数皆为偶数。

(3)所有完美数的尾数都是6或8这二数交替。

(4)以欧几里得生成完美数之公式，即可得所有完美数。

换句话说，当 k > 1，而2k–1
是质数时，每一个完美数的型态都是2k-1(2k–1)。

(5)完美数有无限多个。

接下来我们将说明后来有哪些人证明(1)和(3)是错误的，而(2)，(4)和(5)仍是问题。

虽然(1)~(5)项很多人当成真理，事实上并未被证实，如完美数6，28，496，8128使人们误以为(3)是正确的。

Saint Augustine(354-430)在其名著The City of God中更写道─６这个数本身即是完美数，并不是因为在６天内上帝就创造了万物；相反的是因为６这个数是完美的，所以上帝才在6天内创造万物。

阿拉伯数学家对完美数亦相当着迷，其中Thabit ibn Qurra验证出，当p是质数时，2n p的型式必是完美数。

而Ibn al-Haytham不但提出欧几里得性质的逆命题，并证明了当
2k–1是质数时，型如 2k-1(2k–1)必是完美数。

1500年来欧洲数学家皆认为Nicomachus的推论是正确的，甚至有数学家相信另一未被证实而且错误的结论─当k是奇数时， 2k-1(2k–1)是完美数。

1461年第五个完美数被发现，过不久第六个完美数也被发现了，但未能确定发现者是谁。

直到1536年，Hudalrichus Regiusg是第一位推翻对于后来数学家认为是常识的Nicomachus性质，在他的著作Utriusque Atithmetics中指出211–1=2047=23*89。

由此发现第一个质数p，使得2P(2P–1)不是完美数。

他又证明了213–1=8191是质数，所以发现第五个完美数212(213–1)=33550336。

而第五个完美数却有8位数，证明了Nicomachus的第一个推论是错误的。

到了1603年，Cataldi利用它的质数表，发现217 –1=131071是质数，所以发现第六个完美数216(217–1)=8589869056。

而第五个及第六个完美数的尾数是6，这项结果证明了Nicomachus的第三个推论是错误的。

Cataldi又利用它的质数表，发现219 –1=524287是质数，所以发现第七个完美数218(219–1)=137438691328。

而第五个及第六个完美数的尾数是6，这项结果证明了Nicomachus的第三个推论是错误的。

Cataldi虽然具有发现二个完美数的重大成就，但他仍下错结论。

在其著作Utriusque Arithmetices中写着指数p=2，3，5，7，13，17，19，23，29，31，37时，使得2P-1 (2P–1)是完美数。

当然，因为他已经利用他的质数表证明了当指数p=2，3，5，7，13，17，19时，是正确的；但是他另外四个证明23，29，31，37中，却只有一个是对的。

许多数学家对完美数相当有兴趣，并尝试着提出理论。

如在1638年，Descartes曾写信给Mersenne，写着─
我想我可以由欧几里得的公式证明，没有不是偶数的完美数；但奇数的完美数必是，某一质数乘以一完全平方数，且其平方根为质数的合成。

如22021是质数，9018009的平方根是由质数3，7，11，13的合成，所以22021*9018009=198585576189是完美数。

…………………
下一个对完美数有重大贡献的是Fermat。

1640年6月他写信给Mersenne告诉他关于完美数他的发现，写着─
…………我已经发现以下三项性质，首先定义完美数的根数，由指数所形成如下，其中1，2，3，4，5，6等是指数，下一行则为根数。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191
(1)当指数是合成数时，他的根数即是合成数。

如63的指数6是合成数，所以我们就说63
是合成数。

(2)当指数是质数时，他的根数减1可以被指数的两倍整除。

如127的指数7是质数，126
可以是14的倍数。

(3)当指数是质数时，他的根数不能被任何其它的质数整除。

以上三项漂亮性质，我将他称为完美数的基本定理。

Fermat于1640年10月写信给Frenicle de Bessy，信中证明对于任一质数p，如果有一整数a不能被p整除，则a P–1可以被p整除，也就是我们所知道的Fermat’s Little
Theorem。

可以肯定的说Fermat’s Little Theorem将完美数带入一系列的研究。

在1640年6月他写给Mersenne的信中，他利用Fermat’s Lit tle Theorem的特例，证明出Cataldi的结论有二项错误，因为
223 -1=47*178481是合成数和237–1=223*616318177是合成数。

Fermat也使用了下列三个定理：
(1)如果n是合成数时，则2n–1即是合成数。

(2)如果n是质数时，则2n –2是2n的倍数。

(3)如果n是质数，且p是2n–1的质因子时，则p-1是n的倍数。

Mersenne对Fermat寄给他关于完美数的结论相当感兴趣，而且很快提出他自己的证明，使许多数学家着迷好多年。

于1644年，他出版Cogitata physica mathematica书中证明了当p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2P–1是质数且2P-1(2P–1)也是完美数。

所以型如2P–1的质数，称为Mersenne质数。

下一个对完美数有重大贡献的是Euler。

1732年他发现第八个完美数230 (231
–1)=2305843008139952128。

这是125年来第一个被发现的完美数。

接着于1738年，尤拉解决了Cataldi的结论最后一项错误，因为229–1不是质数。

在他两份于生前未发表的手稿中，尤拉证明了欧几里得的公式之逆命题，每一个偶完美数的型式必是2P-1(2P–1)；由此也很容易的导出所有偶完美数的尾数是6或8(但并不是交替出现)。

尤拉更尝试着找出奇完美数是否存在？后来尤拉利用在1638年Descartes 写给Mersenne信中所提的结论，证明了每一个奇完美数，当4n+1是质数时，其型式必是
(4n+1)4k+1 b2。

他也提出了当p=41和p=47时， 2P-1(2P–1)是完美数，但是在1753年，他发现了自己错误的性质并修正之。

对于完美数的研究，已经变成企图去检验，Mersenne在他Cogitata physica mathematica书中证明的是否正确了。

而尤拉更留下了将近150年来，最大的完美数230(231–1)。

其它数学家像Peter Barlow，于1811年在他Theory of Numbers书中写着─…………………完美数230 (231–1)，是已发现的完美数中最大的。

于1876年，Lucas发现了Mersenne证明中，第一个错误。

虽然他的方法无法找出267–1的任何因子，但他却能证明2 67–1不是质数。

同时，当Lucas证明2127–1是Mersenne的质数，和2126 (2127–1)是一个完美数时，也就是说Lucas发现了Mersenne质数中，有一个是正确的。

Lucas另有一项重大贡献，利用电子计算器找寻Mersenne质数，也就是找完美数。

当Lucas证明2127–1是Mersenne质数之后，紧接着Catalan猜测，如果m=2P–1是质数，则2m–1也是质数。

当p=3，7，127，170141183460469231731687303715884105727时，Catalan数列就是2P–1。

当然如果这项猜测是正确的，就可以解决是否有无限个Mersenne质数，这个至今仍未解决的问题。

但不管用什么方法验证，当
p=170141183460469231731687303715884105727时，第四组Catalan数列2P–1是不是质数，已超出我们能力范围。

于1883年，Pervusin证出260 (261 –1)是完美数。

于1903年，Col发现了，Lucas曾证明2 67-1是合成数，并找出该数的因子。

于1903年10月，Col参加the American Mathematical Society会议时，发表一篇论文提出
267–1=147573952589676412927=761838257287*193707721
获得观众热烈掌声。

更多Mersenne证明中的错误逐一被发现。

1911年，Power找出288(289–1)是完美数，几年后他又找出2101-1是质数，因此2100 (2101–1)是一个完美数。

于1922年，Kraitchik 发现了，关于Mersenne质数最大为257之证明是错误的，因他证出2257 –1不是质数。

我们已逐一找出偶完美数，但我们更希望证明奇完美数不可能存在。

目前研究的主要方法，是找出奇完美数的最少相异质因子,而且奇完美数是存在的。

于1888年，Sylvester 发现任一奇完美数，至少有4个相异质因子。

不久，Sylvester自己修正这项结论，认为任一奇完美数，至少有5个相异质因子。

直到今天我们已知，至少需有8个相异质因子，或至少有29个不一定相异的质因子，方能构成奇完美数。

至今已找出37个完美数，其中288 (289–1)是最后一个经由人工计算而获得的完美数，其余都是利用电子计算器找出的。

事实上电子计算器，对Mersenne质数和完美数的发现，带来一项新趣味。

1998年九月，笔者写这篇文章时，已知最大Mersenne质数是23021377 -1，也就是说最大完美数是23021376 (23021377 –1)。

此最大完美数共有1819050位数。