完美数

完美数

究竟人类从何时开始研究完美数，我们并不知道。但埃及人，已经很自然的用它来计算了。而毕达哥拉斯〈Pythagoras〉和他的门徒研究完美数的神秘色彩却多于数的理论性质。

比较早对完美数的定义是关于整除的部份，当某数等于其所有因子和时，它即是完美数。例如 1=10/10，2=10/5，5=10/2

但是 10≠1+2+5，

所以 10不是完美数。

而最早找出的四个完美数是 6，28，496和8128，发现者已无法考证。 6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

公元前300年，在欧几理得几何原本是数学史上最早有关于完美数的记录。因它是记录在几何原本中，所以让人感到相当惊讶！其记录在几何原本第九册性质36，叙述如下：从1开始一直2倍的相加，直到总和为质数时，此质数再乘以最后相加的数，即为完美数。例如：1+2+4=7，因为7是质数，所以〈总和〉‧〈最后一个数〉=7*4=28，28就是完美数。又如1+2+4+8+16=31，因为31是质数，所以31*16=496，496就是完美数。因此综合得公式如下：1+2+4+8+……+2k-1 =2k–1

若k>1，2k–1是质数时，则2k-1(2k–1)就是完美数。

于公元100年，希腊的Nicomachus是第二位严谨地讨论完美数者，在他的名著Introductio Arithmetica中，将数分成三类─

第一类：过剩的数─整除部分的和超过自己。

第二类：不足的数─整除部分的和小于自己。

第三类：完美的数─整除部分的和等于自己。

后来Nicomachus虽未经证明，仍推论出关于完美数的部分性质。以现代的定义叙述如下─

(1)第n个完美数有n位数。

(2)所有完美数皆为偶数。

(3)所有完美数的尾数都是6或8这二数交替。

(4)以欧几里得生成完美数之公式，即可得所有完美数。换句话说，当 k > 1，而2k–1

是质数时，每一个完美数的型态都是2k-1(2k–1)。

(5)完美数有无限多个。

接下来我们将说明后来有哪些人证明(1)和(3)是错误的，而(2)，(4)和(5)仍是问题。虽然(1)~(5)项很多人当成真理，事实上并未被证实，如完美数6，28，496，8128使人们误以为(3)是正确的。Saint Augustine(354-430)在其名著The City of God中更写道─６这个数本身即是完美数，并不是因为在６天内上帝就创造了万物；相反的是因为６这个数是完美的，所以上帝才在6天内创造万物。

阿拉伯数学家对完美数亦相当着迷，其中Thabit ibn Qurra验证出，当p是质数时，2n p的型式必是完美数。而Ibn al-Haytham不但提出欧几里得性质的逆命题，并证明了当

2k–1是质数时，型如 2k-1(2k–1)必是完美数。

1500年来欧洲数学家皆认为Nicomachus的推论是正确的，甚至有数学家相信另一未被证实而且错误的结论─当k是奇数时， 2k-1(2k–1)是完美数。

1461年第五个完美数被发现，过不久第六个完美数也被发现了，但未能确定发现者是谁。直到1536年，Hudalrichus Regiusg是第一位推翻对于后来数学家认为是常识的Nicomachus性质，在他的著作Utriusque Atithmetics中指出211–1=2047=23*89。由此发现第一个质数p，使得2P(2P–1)不是完美数。他又证明了213–1=8191是质数，所以发现第五个完美数212(213–1)=33550336。而第五个完美数却有8位数，证明了Nicomachus的第一个推论是错误的。

到了1603年，Cataldi利用它的质数表，发现217 –1=131071是质数，所以发现第六个完美数216(217–1)=8589869056。而第五个及第六个完美数的尾数是6，这项结果证明了Nicomachus的第三个推论是错误的。Cataldi又利用它的质数表，发现219 –1=524287是质数，所以发现第七个完美数218(219–1)=137438691328。而第五个及第六个完美数的尾数是6，这项结果证明了Nicomachus的第三个推论是错误的。Cataldi虽然具有发现二个完美数的重大成就，但他仍下错结论。在其著作Utriusque Arithmetices中写着指数p=2，3，5，7，13，17，19，23，29，31，37时，使得2P-1 (2P–1)是完美数。当然，因为他已经利用他的质数表证明了当指数p=2，3，5，7，13，17，19时，是正确的；但是他另外四个证明23，29，31，37中，却只有一个是对的。

许多数学家对完美数相当有兴趣，并尝试着提出理论。如在1638年，Descartes曾写信给Mersenne，写着─

我想我可以由欧几里得的公式证明，没有不是偶数的完美数；但奇数的完美数必是，某一质数乘以一完全平方数，且其平方根为质数的合成。如22021是质数，9018009的平方根是由质数3，7，11，13的合成，所以22021*9018009=198585576189是完美数。…………………

下一个对完美数有重大贡献的是Fermat。1640年6月他写信给Mersenne告诉他关于完美数他的发现，写着─

…………我已经发现以下三项性质，首先定义完美数的根数，由指数所形成如下，其中1，2，3，4，5，6等是指数，下一行则为根数。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191

(1)当指数是合成数时，他的根数即是合成数。如63的指数6是合成数，所以我们就说63

是合成数。

(2)当指数是质数时，他的根数减1可以被指数的两倍整除。如127的指数7是质数，126

可以是14的倍数。

(3)当指数是质数时，他的根数不能被任何其它的质数整除。

以上三项漂亮性质，我将他称为完美数的基本定理。

Fermat于1640年10月写信给Frenicle de Bessy，信中证明对于任一质数p，如果有一整数a不能被p整除，则a P–1可以被p整除，也就是我们所知道的Fermat’s Little