高中数学课时跟踪检测(十二)实际问题中导数的意义北师大版选修22

高中数学课时跟踪检测（十二）实际问题中导数的意义北师大版

选修22

课时跟踪检测（一） 归纳与类比

一、基本能力达标

1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2

，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )

A ．7 m/s

B ．6 m/s

C ．5 m/s

D ．8 m/s 解析：选C s ′(t )＝2t －1，∴s ′(3)＝2×3－1＝5.

2．某旅游者爬山的高度h (单位：m)关于时间t (单位：h)的函数关系式是h ＝－100t 2＋800t ，则他在t ＝2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )

A ．500 m/h

B ．1 000 m/h

C ．400 m/h

D ．1 200 m/h

解析：选C ∵h ′＝－200t ＋800，

∴当t ＝2 h 时，h ′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．

3．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( )

A ．6

B ．9

C ．9π

D ．6π 解析：选D ∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π×3＝6π.

4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关

于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13

t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1 s 内的位移

B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度

C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度

D ．汽车刹车后1 s 时的位移

解析：选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．

5．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝______，其实际意义是__________________________________．

答案：4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度

6．某汽车的路程函数是s ＝2t 3－12

gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是________m/s 2

.

解析：v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，

∴a (2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．

答案：14

7．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝120＋x 10＋x 2

100

(元)． (1)当x 从200变到220时，总成本c 关于产量x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(2)求c ′(200)，并解释它代表什么实际意义．

解：(1)当x 从200变到220时，总成本c 从c (200)＝540元变到c (220)＝626元． 此时总成本c 关于产量x 的平均变化率为 c (220)－c (200)220－200＝86

20

＝4.3(元/件)， 它表示产量从x ＝200件变化到x ＝220件时，平均每件的成本为4.3元．

(2)c ′(x )＝110＋x 50，于是c ′(200)＝110

＋4＝4.1(元/件)． 它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．

8．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km/h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2

L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．

(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )；

(2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．

解：(1)船的实际速度为(x －6)km/h ，

故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300×0.01x 2x －6＝3x 2x －6

(x >6)．

(2)f ′(x )＝3·2x (x －6)－x 2(x －6)2＝3x (x －12)(x －6)2， f ′(36)＝3×36×(36－12)(36－6)2＝2.88⎝ ⎛⎭

⎪⎫L km/h ， f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时耗油量增加的速度为2.88 L km/h ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.

二、综合能力提升

1.如下图，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转

(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，

则它的图像大致是( )

解析：选D 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快，选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快也与实际不符；选项C表示开始时段与最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速较慢，符合实际．

2．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少元/年(精确到0.01)．解：∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.

在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在10时的函数值．

∵p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05，

∴p′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年)，

∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．

3．某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2 000＋450q＋0.02q2.

(1)写出收入函数；

(2)写出利润函数；

(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义．

解：设收入函数为R(q)，利润函数为L(q)．

(1)收入函数为：R(q)＝490q.

(2)利润函数为：

L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2 000＋450q＋0.02q2)

＝－2 000＋40q－0.02q2.

(3)利润函数的导数为：

L′(q)＝(－2 000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q.

利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量．

4．现有一批货物由海上从A地到B地，已知轮船的最大航行速度为35 n mile/h，A地至B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．

(1)求全程运输成本y(元)表示为速度x(n mile/h)的函数y＝f(x)；