九年级数学上册圆专题 辅助线--资料

∴

PO

PC

圆 专题一 辅助线

1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦

的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：1、利用垂径定理；

2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

4、可得等腰三角形；

5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M ， 求证：PM •PN=2PO 2.

分析：要证明 PM •PN=2PO 2，即证明 PM •PC =PO 2，

过 O 点作 OC ⊥PN 于 C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明

PM •PC=PO 2，要证明 PM •PC=PO 2 只需证明 △Rt POC ∽Rt △PMO.

证明: 过圆心 O 作 OC ⊥PN 于 C ，∴PC=

1

2

PN

∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴△Rt POC ∽△Rt PMO. 1

即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM • PN ，∴PM •PN=2PO 2.

PM

PO

2

【例 △1】如图，已知 ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

A

O

B

C

【例 2】如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB ＝8，P 是弦 AB 上一个动点，

那么 OP 的长的取值范围是_________．

【例 3】如图，弦 AB 的长等于⊙O 的半径，点 C 在弧 AMB 上，

则∠C 的度数是________.

∴ BM

2

2． 遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

例 如图，在 ABC 中，∠C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于 点 N ．

（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；

（2） 如果 CM 是⊙O 的切线，N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．

分析：要证 BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而 BN 是圆 O 的直径，所以连结 MN 可得∠BMN=90°。

（1） 证明：连结 MN ，则∠BMN=90°=∠ACB A

∴△ACB ∽△NMB

BC AB BN

M

∴AB ·BM=BC ·BN

（2） 解：连结 OM ，则∠OMC=90° ∵N 为 OC 中点

∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60° ∵OM=OB ，∴∠B= 1 ∠MON=30° ∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6

【例 4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦 BC=2,

∠B=

3． 遇到 90°的圆周角时

C

N O

C

A

O B

B

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例 5】如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，

A

AB=6，AC=8，⊙O 的半径是

B C

O

5． 遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

2、利用切线的性质定理可得 OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径

切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直

线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在

证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.

1．无点作垂线

需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.

例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.

求证：DC是⊙O的切线.

分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为

半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO ≌△DAO

证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.

又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.

∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.

∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.

∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA，OE⊥DC，

∴OA=OE=圆的半径.∴DC是⊙O的切线.

2．有点连圆心.

当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.

例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.

分析：D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，证明DO⊥DC即可.

证明：连结DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC

而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC

∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B

∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线.

【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，A C⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。