全面的计算机2016组合数学—新第一章绪论

（二） 幻方的构造性问题
（1）奇数阶幻方的构造 连续摆放法（de la Loubè re法）。 规则为：假定构造n阶（n为奇数）幻方。
首先将1放在(n+1)/2列第1行的方格中， 然后按照副对角线方向（即行号减1， 列号加1）依次把从小到大的各个数字放 入相应的方格中。
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如果行号变成0（第1行上面一行）， 则改成第n行相应列对应的方格。 如果列号变成n+1（第n列右面一列）， 则改成第1列相应行对应的方格。 如果轮到的方格已经填有数字或者 到了第0行第n+1列对应的方格，则退 到前一个方格正下方的方格。
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把2(2k+1)2＋1～3(2k+1)2放在C中 成第三个幻方。 把3(2k+1)2＋1～4(2k+1)2放在D 中成第四个幻方。 然后，在A的各行从第1列开始向 右取m个(m=(n-2)/4)方格，但中间 一行（k+1行）从第2列开始。
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把这些方格中的数字与D中相应位 置的数字对换。 在C中各行最后一列右起向左各取 m－1个方格，把这些方格中的数字与 B中相应位置的数字对换。最后，就 得到了幻方。
第一章 引言
组合数学(简称组合学）是数学的一个分支, 它 起源于古代的娱乐和休闲游戏。在其他领域： 生物学、化学、心理学及基因工程等的应用。
广义的组合数学就是离散数学， 离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、 数理逻辑等的总称。
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组合数学中的著名问题
如何构造幻方，循环赛的场次，课程表等。 计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列 、组合和整数分拆的。 地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。 如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？ 中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要 穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？
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3 10 6 15
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当n=4k+2,所谓的单偶数的情况。 首先把n×n的方阵分成上、下、左、 右四个(2k+1)×(2k+1)的方阵,为了表达 方便，依次把左上、右下、右上、左 下的方阵编号为A,B,C,D。 采用连续摆数法，把1～(2k+1)2放在 A中做成第一个幻方；把(2k+1)2 ＋1～ 2(2k+1)2放在B中成第二个幻方。
奇数阶幻方：连续摆数法(de La Loubère法) 双偶数（4k）阶幻方：对称法 单偶数(4k+2)阶幻方：斯特雷奇法（1918）
（一）幻方的存在性问题
•例1.1 证明了不存在2阶幻方。 •对其余的正整数n，由于n阶幻方都 能构造出来，当然就证明了（正整 数）阶幻方的存在性。
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例 1.1 证明不存在2阶幻方
证明：反证法。假定存在2阶幻方，如 图所示： a a
1 2
a3 a4
根据幻方的定义，它的幻和是5，于是 a1+ a2= a1+ a3=5，可得a2= a3，因为a1 ，a2，a3， a4必定彼此不同，所以不可 能，矛盾。因此不存在2阶幻方。
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(n 1) / 2
本学期涉及到的内容（组合分析）
鸽巢原理和Ramsey定理（存在性问题） 基本计数方法 容斥原理 生成函数 计 数 递推关系 Pólya定理
§1.1 幻方问题
幻方问题——有趣的数学游戏 幻方在娱乐数学中的地位以及它的意义 非同一般，它是中国人的首创。
公元前2200年《易经》提到洛书与河图
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•一个n阶幻方是由整数1，2，3…，n2按下述 方式组成的n×n方阵：该方阵每行上的整数 的和、每列上的整数的和以及两条对角线中 每条对角线上的整数的和都等于同一个数s
6 7 2 33 34 29
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• 3阶幻方 • 基本形式只有一种 • 若经过旋转和翻转 • 一共有8种变形 8 3 1 6 5 7 6 7 1 5
（三）幻方的计数问题
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4阶幻方 分类枚举 基本形式有880个 变形有7040个
组合数学的起源
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我 国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元 130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方 ； 公园1275年（宋代），杨辉的著作中出现10阶幻方问题和杨辉三角的记 载； 1666年，莱布尼茨发表《组合的艺术》(De Art Combinatoria)，这是 组合数学的第一部专著。书中首次使用了组合论（Combinatorics）一 词。标志组合数学的诞生。
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例1.4 构造6阶幻方
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A C D B m=1
2k+1=3
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35 3 31 8 30 4
1 32 9 28 5 36
组合数学的主要问题
（1）存在性问题 满足一定条件的安排的存在性. 如果 某种安排不一定总存在，我们就需要 研究存在的条件。
存在性是数学研究最重要的问题之一. 许多 问题的存在性至今也无法解决？ 例如数论中很多难题：哥德巴赫猜想…
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（2）安排的枚举、分类和计数
如果所要求的安排存在，则可能有多种 不同的安排。此时，需要计数不同的方 案数，并将它们进行枚举和分类。
莱布尼茨：德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天 才，和牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。
组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和 普遍应用之后。
一方面，当我们研究的组合问题规模很大的 时候，计算量会很大，计算机为求解这些问题 提供了有力手段。 另一方面，在计算机科学的算法研究中
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3
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每一行（或列或对角线）数字的和称为
幻方的和（幻和）： 2 S= n (n +1)/2 。
3阶幻方的所有整数和为15；
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关于幻方的问题归结为 （一）存在性问题 对任意的正整数n，n阶幻方存在吗？ （二）组合计数问题 如果存在，那么应该有多少个不同的 n阶幻方。 （三）构造问题
所谓的常规方法：二项式定理、容斥、ploya原理等 其他： 数学归纳法 组合模型的转换（一一对应技术） 数论 殊途同归法 反证法
要学好组合数学并非易事，既需要一定的数学修养，也要进行相当的训 练。 计数时的合理分类，可从规模小的模型着手，从中找到规律性的东西， 再推及一般。 你解决的问题越多，那么你能够解决下一个问题的可能性也越大。
当实际问题比较复杂的时候，必须有好的数 学方法来解决.
（3）构造性问题 一个组合问题，如果已经判定解是 存在的，那么将所有可能的安排构 造出来是一个关键问题。
与计算机算法密切相关
典型问题：组合设计
（4）优化问题 在给定的优化条件下从所有的安排方案中 找出最优的安排方案。
与算法分析密切相关 传统方法：动态规划 现代智能方法
幻和s 值为（ ） 不存在 2阶幻方体、 3阶幻方体、 4阶幻方体。 反证：不存在3阶幻方体
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§1.2 拉丁方问题
• 拉丁方是另一类典型的组合数学 问题 • n阶拉丁方定义为由数字1,2,…,n构 成的n×n的方阵，使得在每1行、每 1列中每个数字都恰好出现1次。
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例1.2 利用连续摆放法构造5阶幻方 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 即行号减1，列号加1
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（2）偶数阶幻方的构造
当n=4k的时候，即双偶数的情况， 对称法 先把n×n的方阵分成上、下、左、右 四个2k×2k的方阵。 然后对于左上的2k×2k方阵进行处理， 每行每列任意取一半（k个）的方格 做标记，如我们把这些方格涂成阴影。
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拉丁方存在性问题
• 2阶拉丁方是存在的
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n阶拉丁方是存在的 •构造方法如下： •第1行为（1,2,3…,n） •第2行为 ( 2,3,…,n,1)， • … •第k行为 ( k,k+1,…,n,1, …,k-1)， • … •第n行为（n, 1 , 2 , 3, …, n-1）。
1856年，哈密尔顿（Kirkman）, 旅行商问题。
任务分配问题：各个员工完成不同任务所花费的时间不同。每 个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样 分配员工与任务以使所花费的时间最少？ 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。 只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次 只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？
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例1.5 设计一个药物临床试验以测试五
种药物对人体的药效。这五种药物 编号1,2,3,4,5。然后选取5个人，并 给每人不同的药。为了消除个体对 药物的反应偏差，要求在连续5天里 进行测试，每人每天吃一种药物。 而为了消除服药时间造成药效的偏 差，要求2个人不能在同1 天吃相同 的药。
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然后按照对称轴将这种标记方式向下和向 右作对称图形。经过处理后使得n×n的方阵 的每一行和每一列都有一半（n/2）的方格被 涂成阴影。 接下来，把从1开始的数字依次往方格里 面填。第一遍：从第1行第1列的方格开始往 右，不是阴影，则填数字，如果是阴影的方 格，不填数字，但相应的数字加1。第1行填 完后，是第2行第1列的方格，依次，最后是 第n行第n列的方格。
数据结构+算法+编程语言 时间复杂性和空间复杂性
《计算复杂性理论》、 《算法设计与分析》的基础课。 组合分析 组合算法 计算方法 数值算法
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什么是组合数学
组合数学就是研究按照一定的规则来安排一些 离散个体的问题。它涉及面广，内容庞杂（涉 及到组合分析、图论、组合算法、近代密码学 、编码理论等），并且仍在很快地发展着，因 而还没有一个统一而有效的理论体系。 研究的对象是离散结构，一般可以用{1，2， 、、、，n}表示。本书仅限于讨论n是有限的 自然数的情况。 组合数学是研究离散结构的存在、计数、构造 和优化等问题的一门学科。
• 5 阶幻方 • 基本形式有275305224个 • 6 阶及以上幻方 • 即使通过大型计算机的计算仍 然难以获得精确的数字，目前只能估 计出它的取值范围
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在3维情形下的推广，n阶幻方体,是由整 数1,2,3，。。。，n3构造成一个n*n*n的 立方体阵列，其在下述每一条直线上的n 个元素之和都是相同的s： （1）平行于立方体一条边的直线。 （2）每个截面上的两条对角线。 （3）四条空间对角线。
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•最后满足要求的实验是要 形成由1,2,3,4,5构成的5×5 的方阵，其中每行每列中没 有相同的数字，即5阶拉丁 方的构造问题。
组合数学
吉林大学
计算机科学与技术学院
2016年3月
关于我
姓名：卢奕南 luyn@jlu.edu.cn 教研室：图像处理与虚拟现实研究团队 主要研究方向：图形图像、数据挖掘等
参考书：
机械工业出版社：组合数学，布鲁迪 (Brualdi R.A.) (作者), 冯舜玺 (译者) 中国科学技术出版社：组合数学引论，孙淑 玲等 清华大学出版社：组合数学，卢开澄等
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这样填完之后，有一半的方格被填 上了数字。 第二遍，从第n行第n列的方格开始 依次往左，规则同前，从1开始的数 字依次往方格里面填。第n行结束之 后，是第n-1行第n列的方格。依次， 最后是第1行第1列的方格。 最后就得到了幻方。
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例1.3 利用对称法构造4阶幻方 2 5 9 14 15 3 8 12

习题（网上查）
组合数学（姜建国等），西安电子科技大学
本学期涉及到的内容（组合分析）
鸽巢原理和Ramsey定理 基本计数方法 容斥原理 生成函数 递推关系 Pólya定理
组合计 数
组合优化 组合设计 组合矩阵
组合矩阵
考试形式：作业+笔试 作业：20-40% 共5-8次作业（也许有小考）
组合数学问题的求解方法