化曲为直,巧解平抛运动遇到斜面问题

化曲为直，巧解平抛运动遇到斜面问题

作者：谭程

来源：《广东教育·高中》2012年第09期

在学习平抛运动时经常会遇到平抛运动与斜面相遇的问题，这类问题主要有两种：一是物体的起点在斜面外开始做平抛运动，最后落点在斜面上，二是物体的起点就在斜面上开始做平抛运动最后落点均在斜面上．而这两类问题主要聚焦在三个识点上:分别是求物体的速度、时间和位移．解决这类问题可通过化曲为直的思想进行求解，下面我们来具体分析一下这两类问题中的三个知识点：

第一类：物体的起点在斜面外开始做平抛运动，最后落点在斜面上

1．求物体从斜面外平抛到斜面的初速度．

【例1】如图1所示,一个物体以υ0的初速度水平抛出,恰好垂直碰到一个倾角为的斜面，此时物体的速度大小为20m/s，则物体做平抛( )

A． 0m/s

B． 15m/s

C． 20m/s

D． 25m/s

解析：当物体垂直打在斜面上时设其速度为υ，竖直方向的速度为υy，根据平行四边形定则可做出速度的矢量合成图，如图2所示，根据几何关系有：υ=■=20m/s．由此可解得物体做平抛运动的初速度为：v0=

v·sin300=10m/s．

答案：A

2．求物体从斜面外平抛到斜面的时间．

【例2】如图3所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α =53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8m，重力加速度g=10m/s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，求：

（1）小球水平抛出的初速度υ0是多少？

（2）小球从平台运动到斜面顶端的时间 t是多少？

（3）斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？

解析：（1）由题意可知小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，如图4所示，否则小球会弹起，根据图2有vy=v0tan53°

在竖直方向根据匀变速直线运动的规律有v2y=2gh

代入数据解得υy＝4 m/s，υ0＝3 m/s．

（2）设小球从抛出到刚运动到斜面的时间为t1，在竖直方向根据自由落体运动的规律由υy＝gt1解得t1＝0.4 s．

（3）面顶端与平台边缘的水平距离为s＝υ0t1＝3×0.4 m＝1.2m．

[学法指导]以上两题都采用了化曲为直的巧妙方法,将平抛运动化解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,从而巧妙地解决了斜面以外的物体平抛运动到斜面上的时间以及做平抛运动的初速度.

3．求平抛物体的落地点．

【例3】如图5，斜面上有a、b、c、d 四个点，ab=bc=cd．从a点正上方的O点以速度υ水平抛出一个小球，它落在斜面上b点．若小球从O点以速度2υ水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（）

A． b与c之间某一点

B． c点

C． c与d之间某一点

D． d点

解析：假设这个小球分别以υ0、2υ0的初速度从同一点O处水平抛出，且落在同一水平面上，由于两次平抛出的高度是相同的，设以2υ0水平抛出后的水平位移为s2，以υ0水平抛出后的水平位移为s1，根据匀速直线运动运动的规律可知s2=2s1，于是我们可以这样做：过b 点做垂直于直线Oa的直线eb交Oa于C，再连接ce，由相似三角形的规律可知ce垂直于Ce．可见当水平速度变为2υ0时，小球将落在c的正下方的直线上一点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点，故A正确．

[学法指导]此题的关键是要构造出水平面，再根据从同一高度平抛出去的物体，让它们落在同一水平面，然后再根据水平射程与初速度成正比的规律作出平抛速度以2υ0的平抛落点，从而很巧妙地找到了平抛速度为2υ0时的运动轨迹与斜面的交点．

第二类：物体的起点在斜面上开始做平抛运动，最后落点在斜面上

此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角．一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解．

1．求小球落在斜面上的速度及在斜面上的位移．

【例4】如图6，在倾角为α的斜面上A点，以初速υ0水平抛出一小球，小球落在斜面上的B点，不计空气阻力，求：

（1）小球落到B点的速度多大？

（2）求小球从A点运动到B点的位移．

解析：（1）水平方向做匀速直线运动，则水平位移为：

x=υ0t．

竖直方向做自由落体运动，则竖直方向的位移为：y=■gt2．

根据几何关系有：■=■=tanα．

由上式可求得小球在空中的运动时间为：

t=■．

小球在竖直方向的速度为：υy=gt=2υ0tanα．

根据平行四边形定则小球落到斜面上的速度为：

υ=■=υ0■．

（2）AB两点的位移为：

sAB=■=■2=■■．

[学法指导]此题问题求解的关键是将小球在竖直方向的位移与水平方向的位移、小球的合位移构成一个三角形，再利用该三角形与斜面的相似性进行求解是解决这类问题的突破口．

2．求平抛时距离斜面的最大高度．

【例5】如图7，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度υ0水平抛出一小球，小球落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？这个最大距离是多少？

解析：从抛出开始计时，设经过t时间小球离斜面的距离达到最大，此时小球的速度与斜面平行，设最大距离为H，如图8所示，设此时小球竖直方向的速度为υy，速度为υ，根据平行四边形定则有：

υy=gt=υ0tanθ．

所以小球运动的时间为：t1=■．

此时水平方向的位移为：x=υ0t=■．

竖直方向的位移：y=■gt2=■．

在图8中根据几何关系有：■+y=xtanθ．

解得最大距离为：H=■．

[学法指导]本题中要抓住题目的隐含条件，小球瞬时速度υ与斜面平行时小球离斜面最远，再应用运动的合成与分解求解．还要结合几何知识，找出水平位移、竖直位移小球离斜面最大高度之间的关系：■+y=xtanθ，才能解出最终结果．

三、对一个有用结论的推导

【例6】如图9所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（）

A．tanφ=sinθ

B．tanφ=cosθ

C．tanφ=tanθ

D．tanφ=2tanθ

解析：竖直速度与水平速度之比为：tanφ =■，竖直位移与水平位移之比为：tanθ =■，故tanφ =2 tanθ ，D正确．