中考数学 第二编 中档题突破专项训练篇 中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题

中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究

圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．

圆的切线性质与判定

【例1】(2016天水中考)如图，点D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判断直线CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由；

(2)过点B 作⊙O 的切线BE 交直线CD 于点E ，若AC ＝2，⊙O 的半径是3，求BE 的长．

【思路分析】(1)连接OD ，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC ，由切线长定理得出DE ＝EB ，在Rt △CBE 中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

【学生解答】解：(1)直线CD 和⊙O 的位置关系是相切．理由是：连接OD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠DBA＝90°.∵∠CDA ＝∠CBD，∴∠DAB ＋∠CDA＝90°.∵OD ＝OA ，∴∠DAB ＝∠ADO，∴∠CDA ＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD 是⊙O 的切线，即直线CD 和⊙O 的位置关系是相切；

(2)∵A C ＝2，⊙O 的半径是3，∴OC ＝2＋3＝5，OD ＝3.在Rt △CDO 中，由勾股定理得CD ＝4.∵CE 切⊙O 于点

D ，EB 切⊙O 于点B ，∴D

E ＝EB ，∠CBE ＝90°，设DE ＝EB ＝x ，在Rt △CBE 中，由勾股定理，得CE 2＝BE 2＋BC 2

，则

(4＋x)2＝x 2＋(5＋3)2

，解得x ＝6，即BE ＝6.

1．(2016毕节中考)如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交B C 于点F ，AC ＝FC.

(1)求证：AC 是⊙O 的切线；

(2)已知圆的半径R ＝5，EF ＝3，求DF 的长．

解：(1)如图，连接AE ，AO.∵BE 为半圆，∴∠BAE ＝90°.∵BD ︵＝ED ︵

，∴∠BAD ＝∠EAD＝45°，∴∠AFC ＝∠B ＋45°，∴∠CAF ＝∠EAC＋45°.∵AC ＝FC ，∴∠AF C ＝∠CAF，∴∠B ＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B ＝∠EAC.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B，∴∠EAC ＝∠OAB，∴∠OAC ＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC ⊥OA ，∴AC 为⊙O 为切线；

(2)如图，连接OD.∵BD ︵＝DE ︵

，∴∠BOD ＝∠DOE＝90°.在Rt △OFD 中 ，OF ＝5－3＝2，OD ＝5，∴DF ＝OF 2＋OD 2

＝29.

2．(2016承德二中一模)已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF.

(1)求证：EF 是⊙O 的切线；

(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长．

解：(1)连接FO ，易证OF∥AB.∵AC 是⊙O 的直径，∴CE ⊥AE ，∵OF ∥AB ，∴OF ⊥CE.又∵OE＝OC ，∴OF 是线段CE 的垂直平分CE ，∴FC ＝FE ，∴∠FEC ＝∠FCE.∵OE＝OC ，∴∠OEC ＝∠OCE.∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，即∠OCE＋∠FCE＝90°，∴∠OEC ＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴EF 为⊙O 的切线；

(2)∵⊙O 的半径为3，∴AO ＝CO ＝EO ＝3.∵∠EAC＝60°，OA ＝OE ，∴∠EOA ＝60°，∴∠COD ＝∠EOA＝60°.∵在Rt △OCD 中，∠COD ＝60°，OC ＝3，∴CD ＝3 3.∵在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，CD ＝33，AC ＝6，∴AD ＝37.

圆与相似

【例2】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.

(1)弦长AB ＝________；(结果保留根号) (2)当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数；

(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

【思路分析】(1)结合垂径定理过点O 作BC 的垂线，再由特殊直角三角形得12AB ＝3

2

OB ＝3，则AB ＝23；

(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时，∠BOC ＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴△

DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝1

2AB ＝ 3.

【学生解答】解：(1)23；(2)连接OA.∵OA＝OB ＝OD ，∴∠BAO ＝∠B＝30°，∠D ＝∠DAO＝20°，∴∠DAB ＝∠BAO＋∠DAO＝50°，∴∠BOD ＝2∠DAB＝100°；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC ，∠BCO>∠D ，∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴△

DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝1

2AB ＝ 3.

3．(2016黄冈中考)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接

AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P.求证：(1)∠BCP＝∠BAN；(2)AM MN ＝CB

BP

.

证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°，∴∠NAC ＋∠ACN＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠BAN ＝∠CAN，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP ＝90°，∴∠ACN ＋∠PCB＝90°，∴∠BCP ＝∠CAN，∴∠BCP ＝∠BAN；(2)连接MN ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，又∵四边形AMNC 为⊙O 的内接四边形，∴∠ACB ＋∠AMN ＝180°，又∵∠CBP＋∠ABC＝

180°，∴∠PBC ＝∠AMN，由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC ∽△MNA ，∴AM MN ＝CB

BP

.

4．(2016广东中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点F.

(1)求证：△ACF∽△DAE;

(2)若S △AOC ＝3

4

，求DE 的长；

(3)连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线．

解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，又∠ABC＝30°，∴∠ACB ＝60°，又OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF 为⊙O 的切线，∴∠OAF ＝90°，∴∠CAF ＝∠AFC＝30°，∵DE 为⊙O 的切线，∴∠DBC ＝∠OBE＝90°，∴∠D ＝∠DEA＝30°，∴∠D ＝∠CAF，∠DEA ＝∠AFC，∴△ACF ∽△DAE ；