随机过程 (2)

F(x;t) P(X (t) x), x R : t T＝ˆ F1
称为一维分布函数族。
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分布函数
二维分布函数
对任意两个 t1,t2 T, (X (t1), X (t2 ))是二维随机变量。
的分布函数为
F(x1, x2;t1,t2 ) P(X (t1) x1, X (t2 ) x2 ),(x1, x2 ) R2
的，这些现象通常称为过程。可分为两类： (1)确定性的变化过程 (2)不确定的变化过程：
例：如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形成） 的作用下，那么质点的运动也是随机的。
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在概率论中，我们研究了用一个或有限多个随机变量来描 述的随机现象。然而对有些现象还需要研究它的发展变化 过程，这类现象若仅用一个或有限多个随机变量描述它， 就不能揭示其全部统计规律性，于是出现了随机过程的理 论。
±2…},此时随机序列常记成{Xn,n=0,1,…}或 {Xn,n0}。
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2．按分布特性分类：
依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。例 如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。
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随机过程的应用
例1
一个生物群体的大小（例如我国存活大熊猫
的总数）是随机的。设 X (t) 表示 t 时刻时该生物
V1(t),如图.
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如何描述这样的变化过程：
1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位
置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又得到函数 x2(t ),… ,因而得到一族函数. 2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机 变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t ),于 是我们就得到一族随机变量{X(t),t≥0},（最初始时刻 为t=0）,它描述了此随机的运动过程.
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例6 (热噪声电压)电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，
在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪 声电压要对信号产生持续的干扰，为要消除这种干扰（假 设没有其他干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变 化的过程，现以电阻的热噪声电压为例说明这种变化过程 的描述方法，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压 进行长时间的测量，并把结果记录下来，作为一次试验结 果，便得到一个电压-时间函数（即电压关于时间t的函数） V1(t),如图.
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相关概念

t 给定一个随机过程 X (t),t T，对任意一个固定的
, 随机变量 X (t) 所取的值称为随机过程X (t),t T 在时刻
所处的状态。随机过程X (t),t T中所有随机变量可能取
值的全体称为随机过程X (t),t T的状态空间，记作 E。
称为随机过程 X (t),t T 的 n 维分布函数族。
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分布函数
有限维分布函数族
F＝ F n＝1n NhomakorabeaF(x1,...xn;t1,...tn) : t1,...tn
T,n
1
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密度函数
一维密度函数
假定随机过程X (t),t T是一个连续状态的

如果 E 是由有限个或可列无限个元素组成的集合，
则称X (t),t T为离散状态的随机过程，如果 E 是一个
区间，则称X (t),t T为连续状态的随机过程。
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相关概念
当 t 固定时，X (t) 是一随机变量；
当试验后即
确定后，X (0,t)是一个普通函数，x(t)＝X (0，t)
随机过程。对任意一个t T ，X (t) 通常是连续
型随机变量，它的密度函数作 f (x;t) 。
f (x;t)称为随机过程的一维密度函数。
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密度函数
一维密度函数族 全体一维密度函数组成的集合称为随机过程
X (t),t T 的一维密度函数族 。
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密度函数
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(3).离散时间连续状态: T是可列集,且tT,X(t)是连
续型随机变量，则称过程{X(t),tT}为连续型随机序
列.
(4).离散时间离散状态:T是可列集, 且tT, X(t)为 离散型随机变量, 则称过程{X(t),tT}为离散型随
机序列。通常T取为T ={0,1,2…}或T ={0, ± 1，
n 维密度函数族
一般地，称 (X (t1),...X (tn )) 的密度函数 f (x1,...xn;t1,...tn )
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定义
给定概率空间 (,A,P) 与集合 T （－，）
如果对每一个 T t，X (t) 是一个随机变量，
那么称随机变量族 X (t),t T 为随机过程。
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相关概念
定义中的 T 称为参数集，称 t 为参数。
若 T 是由有限个或可列无限个元素组成的集合，则
随机过程的定义的理解
1 设E是一随机试验,样本空间为Ω={}，参数
T(-,+),如果对每个 ,总有一个确定的时间函数 X(,t)与之对应,这样对于所有的 ,就得到一族时间t的 函数,我们称此族时间t的函数为随机过程,而族中每一个函数 称为这个随机过程的样本函数。
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例如：产品检验问题中抽样出现的废品数；电话问题中某段 时间中的话务量与呼叫次数及各次呼叫与用交换设备的时间 长短有关等。还有初看起来与数值无关的随机现象：抛硬币 出现的正面（‘1’）与反面（‘0’）。这些都引入了随机变 量的概念。
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现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与发展
群体的大小。X (t),t T是一个随机过程。对这个
随机过程的研究有助于了解该生物群体的数量遗 传规律，进而对该生物群体的灭种现象有所防范。
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例2
设 X (t)表示在时间段0,t 内到达某无线寻呼 台的呼叫次数，X (t),t 0 是一个随机过程。在交通 工程中，X (t) 可以表示在时间0,t 内到达某路口的
称 X (t),t T 为离散时间的随机过程。若 T 是一
个区间，则称 X (t),t T 为连续时间的随机过程。
离散时间的随机过程，记参数 T {t1,t2, }
通常称它为随机序列，X (t n ),n 1记作Xn,n 1
10
随机过程{X(t),t∈T}中参数t通常解释为时 间集，便于理解，符合实际。但参数t可以 表示为其它的量，例如序号，距离等等
车辆数，X (t),t 0也是一个随机过程。对这类随机
过程的研究有助于了解等候时间的数量变化规律等 随机现象。这些构成了排队论的主要内容。排队论 是随机过程的一个重要的应用分支。
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例3 (分支过程)一个个体（第0代）可能生产
0,1,2……个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他 们合在一起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为 Xn，则{Xn, n=0,1,2….}是随机过程。
称 F(x1, x2;t1,t2 ) 为随机过程的二维分布函数。
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分布函数
二维分布函数族 全体二维分布函数组成的集合
F(x1, x2;t1,t2 ),(x1, x2 ) R2 : t1,t2 T＝ˆ F2
称为随机过程X (t),t T 的二维分布函数族
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函数，因此可以从两个角度去理解。

在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际测量
和处理中往往采用样本函数族的描述方式。
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(2)通常将随机过程X(t),t T 解释为一个物理系统， X(t) 表示系统在时刻t所处的状态,X(t)的所有可能状态所构成
的集合称为状态空间，记为E，对于给定的 t0 T，及x E ,X(t0)=x 说成是在时刻t0，系统处于状态x.
称 F(x1,...xn;t1,...tn ) 为随机过程 X (t),t T 的 n 维
分布函数 。
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n
分布函数
n维分布函数族 全体 n 维分布函数组成的集合
{F(x1,...xn;t1,...tn ),(x1,...xn ) Rn : t1,...tn T}＝ˆ Fn
2：设E是一随机实验，样本空间为Ω={}，参数T(-
,+),如果对任意t T ，有一定义在Ω上的随机变量
X(,t)与之对应,则称{X(,t),t T}为随机过程，简记为 X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
注释：(1) 随机过程X(t),t T是定义在Ω×T上的二元
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它在任一确定时刻的值是随机变量.
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§2.2 随机过程的分布
给定一个随机过程 X (t),t T
一维分布函数
对任意一个 t T ，X (t) 是一维随机变量。X (t) 的分布函
数为F(x;t) ， 称 F(x;t) 为一维分布函数 。
全体一维分布函数 组成的集合
称函数x(t)为随机过程的一个样本函数，它的图像 称为样本曲线
例随机相位正弦波 X (t) a cos(t ），－ t , a与是正常 ， 服 [0, 2 )上的均 分布R(0, 2 ),T R，E [-a, a].
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我们称这种随时间的进展而变化与发展的随机现象为随机过程。
第二章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程定义 2.2 随机过程的分布 2.3 随机过程的数字特征 2.4 二维随机过程 2.5 复值随机过程 2.6 常用随机过程
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§2.1随机过程基本概念
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引言
随机过程，顾名思义，它是研究随机现象的一门学科。而研 究随机现象，我们已有了初等《概率论》与《数理统计》工 具。在随机现象中有很大一部分问题与数值发生关系。
(3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的推广.
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随机过程的分类 1按状态空间和参数集是可列集还是连续集分类：
(1).连续时间连续状态:T是连续集,且tT,X(t)是连续 型随机变量,则称过程{X(t),tT}为连续时间连续状态 随机过程.
(2).连续时间离散状态:T是连续集，且tT,X(t)是离 散型随机变量，则称过程{X(t),tT}为连续时间离散 状态随机过程。
例4 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设Xn是第n次（n≥1）
抛掷的点数，对于n=1,2……的不同值,Xn是不同的随机变 量，因而{Xn, n ≥1}构成一随机过程，称为贝努利过程 或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大 点数，{Xn,n≥1}也是一随机过程。
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例5 某寻呼台在时间段[0,t]内接到的呼唤次数是与t有 关的随机变量X(t )，对于固定的t, X(t )是一个取非负整 数的随机变量，故{X(t ),t≥0}是随机过程。
分布函数
n 维分布函数
一般地，对任意 n个t1,...tn T,(X (t1),...X (tn )) 是 n
维随机变量。(X (t1),...X (tn )) 的分布函数为
F(x1,...xn;t1,...tn) P(X (t1) x1,...X (tn) xn),(x1,...xn)Rn
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例
一个生物群体的大小（例如我国存活大熊
猫的总数）是随机的。设 X (t) 表示 t 时刻时该
生物群体的大小。
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例:(热噪声电压)电子元件或器件由于内部微观粒子（如
电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，在
无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声 电压要对信号产生持续的干扰，为要消除这种干扰（假设 没有其他干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化 的过程，现以电阻的热噪声电压为例说明这种变化过程的 描述方法，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进 行长时间的测量，并把结果记录下来，作为一次试验结果， 便得到一个电压-时间函数（即电压关于时间t的函数）