小学五年级奥数 第七讲 行程问题

复习回顾二（追及问题）



1、A、B两地相距20千米，甲乙两辆汽车分别 从A、B两地同时出发，同向而行，甲车在乙 车后面；如果甲车的速度是60千米/小时，乙 车的速度是50千米/小时。 （1）出发几小时后甲车可以追上乙车？ （2）追上乙车时，甲车行驶的路程是多少千 米？
一 、简单的相遇问题

例1、甲乙两人分别从两地出发，相向而行， 距离是5千米。甲每小时走4千米，乙每小时走 6千米，乙带有一只小狗，小狗每小时跑10千 米。甲、乙和小狗同时出发，小狗遇到甲时就 掉头往回跑，遇到乙又往甲这边跑，直到两人 相遇，问小狗一共跑了多少千米路？
练习：一列慢车车身长120米，车速是每秒15米； 一列快车车身长132米，车速是每秒30米。两 列火车相向行驶，从相遇到完全分离需要多少 秒？ 我们看动画来分析一下： 两车相遇又分离，所行的路程和是车长的和， 速度和是车速的和， 需要的时间=车长和÷速度和
慢车路程
快车路程
过桥过涵洞


复习和回顾一（相遇问题）



1、甲乙二人分别从A、B两地同时出发，相向 而行，已知，甲每小时走6千米，乙每小时走4 千米。如果两人出发后2小时相遇，求A、B两 地的距离。 解：根据 速度和×相遇时间＝总路程 可得：（6＋4）×2＝10×2＝20 （千米） 答：AB两地的距离是20千米。
复习和回顾一（相遇问题）
三、综合运用举例
（分层次考虑的问题）

例5、（课本例2） 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每 分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙 和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后， 乙 过了15分钟，又和丙相遇。求 A、B两地的距 离 C D B
A 甲 甲 15分钟 E 丙 乙 丙
解（1）甲和乙相遇时乙比丙多走的路程也就是甲和 丙15分钟的相遇路程 （60+40）×15=1500 （米） （2）乙和丙的速度差是 50－40=10 （米/分钟） （3）甲乙相遇时间是 1500÷10=150 （分钟） （4）A、B两地间的距离是 （60+50）×150=16500（米）=16.5（千米） 答：A、B两地间的距离是16.5千米
甲车6分钟的路程 1000×6＝6000 米 2分钟 2分钟 你能求出长跑者2分钟的 路程和他的速度吗？
乙车8分钟的路程800×8＝6400 米
丙车10分钟的路程

第11题的线段图：
80×5 60×5
5分钟时
追及时
爸爸追上小明需要多少分钟？爸爸一个走了多少分钟？


3、甲乙两车分别从A、B两地同时出发，如果 两车相向而行，4小时相遇；如果同向而行， 甲车20小时追上乙车，已知，乙车每小时行40 千米，求A、B两地的距离。 参考课本例5或者单击 例4


Hale Waihona Puke 4、小容和小华在周长为600米的场地玩，两人从同一 点出发，同向而行30分钟又走到一起，背向而行，4 分钟相遇。问两人每分钟各走多少米？（小容快） 解：同向而行时，小容与小华的速度差是 600÷30＝20（米/分钟） 背向而行时，小容与小华的速度和是 600÷4＝150（米/分钟） 所以，小容每分钟走（150＋20）÷2＝85（米） 小华每分钟走（150－20）÷2＝65（米）


例6（课本例5）、甲乙二人分别从A、B两地 同时出发，如果同向而行，甲26分钟赶上乙； 如果二人相向而行，6分钟可以相遇，又已知 乙每分钟走50米，求A、B两地的距离。
甲26分钟的路程 两地间的路程怎样算？
A
乙26分钟的路程 甲6 分钟 的路 程 C 乙 6 分 钟 B 你能看出，C、D 间的路程是乙走 了多少分钟、甲 又是走了多少分


7、甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千 米，甲车从A地、乙车从B地同时出发，相向 而行，两车相遇后，4.5小时，甲车道德B地。 A、B两地相距多少千米？（你能画出线段图 甲车4.5小时的路程 吗？）
甲车相遇时的路程 40×4.5＝180千米
乙车相遇时的路程
乙车需要行几小时？

第8题的线段图，你能看懂吗？
D
（设参数法


例7 、甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲 到终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有 25米，如果三人的速度都不变，那么当乙到达 终点时，丙离终点还有多远？ 解：设甲跑完200米用了40秒，则乙的速度是 （20020）404.5 （米/秒）
本课小结


1、掌握基本的数量关系 2、认真审题，明白题意，借助线段图分析题 中的数量关系 3、在解决问题时，首先应分清是相遇问题、 还是追及问题，若既有相遇又有追击问题，应 当将问题分为几个层次，弄清相互关系，逐层 考虑，然后再根据公式进行解答
四、有趣的环形跑道


环形跑道中的路程关系 背向而行相遇时： （两人的路程和等于跑道的长） 即：速度和×相遇时间=跑道一圈的长度 同向而行相遇时： （两人的路程差等于跑道的长） 即：速度差×相遇时间=跑道一圈的长度





例3、学校操场的环形跑道一圈长400米，甲在这里练 习骑自行车，乙在这里练习长跑。一旁的丙同学发现， 当两人同向而行时，3分20秒相遇一次，当他们背向 而行时，40秒就能相遇一次。求甲乙二人的速度各是 多少？ 这是一个和差问题， 解：3分20秒＝200秒 背向而行时，甲乙的速度和是 以下就简单了，你能 完成吗？ 400÷40＝10（米/秒） 同向而行时，甲乙的速度差是 400÷200＝2（米/秒）
乙 乙地 C E 面包车 D 甲地 小轿车 大客车 30分钟
解（1）面包车和小轿车相遇时小轿车比大客车多走 的路程也就是面包车与大客车30分钟（0.5小时）的 相遇路程 （48+42）×0.5=45 （千米） （2）小轿车与大客车的速度差是 60－42=18 （千米/小时） （3）甲乙相遇时间是 45÷18=2.5 （小时） （4）A、B两地间的距离是 （60+48）×2.5=270（千米） 答：A、B两地间的距离是270千米
中点
B
相遇时甲车比乙车多行驶25×2＝50千米。




2、一辆汽车和一辆摩托车分别同时从相距800 千米的两地出发，相向而行，汽车每小时行45 千米，摩托车每小时行65千米，6小时后，两 车相距多少千米？ 解：两车6小时的路程和是 （45＋65）×6 ＝110×6 ＝660（千米）＜800（千米） 所以，这时两车相距800－660＝140（千米）
引入参数法（分析问题时，可以假设
出一个需要的数量来解决）


例4、环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时， 每12分钟相遇一次；如果两人速度不变，其中 一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一 次。问两人各跑一圈需要多少分钟？ 分析；这里，路程和速度都不知道，因此，可 以设出路程，例如设环形跑道的长是1200米。 就转化为前面的问题了
一、简单的相遇问题

分析：这是一道典型的相遇问题， 其中的数量关系有：总路程=速度和×时间 小狗的路程=小狗的速度×相遇的时间

解：两人从出发到相遇用的时间是 5÷（4+6）=0.5（小时） 小狗走的路程是 10×0.5=5（千米） 答：小狗一共走了5千米。
简单的相遇问题，会车问题
一列长230米的火车，每秒钟行30米，完全通 过一座长5800米的大桥，需多长时间？ 你能自己画出线段图吗？
桥长 车长
开始
总路程 过完
过桥时路程=桥长＋车长 过桥时间=（桥长车长）÷车速
二、简单的追及问题
例2、练习册24页第9题：一列慢车车身长120米， 车速是每秒15米；一列快车车身长132米，车 速是每秒30米。慢车在前面行驶，快车与它同 向行驶，从后面追上它到完全超过需要多少秒？ 分析：从线段图上可以看出，后面追上它到完 全超过快车多走的路程是（快车+慢车的车长）




2、甲乙二人分别从相距30千米的A、B两地同 时出发，相向而行，已知，甲每小时走6千米， 乙每小时走4千米。 （1）两人出发后几小时相遇？ （2）相遇时，甲比乙多走了几千米？ （3）如果点C是A、B的中点，相遇时甲已经 过了点C多少千米？
复习和回顾一（相遇问题）



3、甲乙二人分别从相距30千米的A、B两地出 发，相向而行，已知，甲每小时走6千米，乙 每小时走4千米。 （1）如果甲先出发2小时，那么，两人在乙出 发后几小时相遇？ （2）如果乙先出发2小时，那么，两人在甲出 发后几小时相遇？
75×2

60×（30－5）1500（米） 上学时间的路 程差 答：晶晶到学校的路程是1500米。
课后练习

1、甲、乙两车分别同时从A、B两地出发，相 向而行，甲车每小时行55千米，乙车每小时行 45 千米，两车在距离中点25千米处相遇。求 AB两地相距多少千米？
25千米
相遇点
由图可有看出：
A

6、小轿车，面包车和大客车的速度分别是60 千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大 客车从甲地，面包车从乙地同时出发，相向而 行，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车， 问：甲乙两地相距多远？（像不像书上的例2）
（分层次考虑的问题）

6、小轿车，面包车和大客车的速度分别是60 千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大 客车从甲地，面包车从乙地同时出发，相向而 行，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车， 问：甲乙两地相距多远？（像不像书上的例2）
第七讲 行程问题
因为还没有学习分数的运算，故 删去了部分内容
行程问题中的基本数量关系

速度=路程÷时间
1、路程=速度×时间
时间=路程÷速度 2、相遇：总路程=速度和×时间 3、追及：路程差=速度差×时间

行程问题的解题思路

1、掌握基本的数量关系 2、认真审题，明白题意，借助线段图分析题中的数 量关系 3、依据数量关系，正确解答相向、背向和追及问题 4、解答行程问题最有效、最直接的方法就是用线段 图来表达题意，图要画的清晰、成比例， 5、在解决问题时，首先应分清是相遇问题、还是追 及问题，若既有相遇又有追及问题，应当将问题分为 几个层次，弄清相互关系，逐层考虑，然后再根据公 式进行解答

1、晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60 米，就要迟到5分钟，如果每分钟走75米，则 可以提前2分钟，求晶晶到学校的路程
60×5 75×2
上学时间的路 程差



1、晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60 米，就要迟到5分钟，如果每分钟走75米，则 可以提前2分钟，求晶晶到学校的路程 解：晶晶计划的上学时间是 路程差 ÷ 时间差 ＝ 时间 （60×5＋75×2）÷（75－60） ＝450 ÷15 ＝30（分钟） 60×5