高等数学第四章微分方程

第四章 常微分方程

§4．1 基本概念和一阶微分方程

甲 内容要点 一．基本概念 1．常微分方程

含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶

微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解

满足微分方程的函数称为微分方程的解；

通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解；

不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件

要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。

5．积分曲线和积分曲线族

微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。

6．线性微分方程

如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。

二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：

()()()()0≠=y Q y Q x P dx

dy

通解()()⎰

⎰

+=C dx x P y Q dy

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解

()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221 ()()()0,012≠≠y N x M

2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程

⎪⎭

⎫

⎝⎛=x y f dx dy 令

u x

y

=， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x

dx

u u f du +=+=-⎰⎰

||ln

（2）

()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx

dy

令u c by ax =++， 则

()u bf a dx du

+= ()c x dx u bf a du

+==+⎰⎰

（3）

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy

①当022

1

1≠=

∆b a b a 情形，先求出⎩⎨

⎧=++=++00

222111c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ，β-=y v

则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 2

2112211属于齐次方程情形 ②当02

2

11==

∆b a b a 情形，

令

λ==1212b b a a 则()⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛++++=211111c y b x a c y b x a f dx dy

λ 令y b x a u 11+=， 则

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++=+=211111c u c u f b a dx dy

b a dx du λ 属于变量可分离方程情形。

三．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程

()0=+y x P dx

dy

它也是变量可分离方程，通解公式()⎰-=dx x P Ce y ，

（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程

()()x Q y x P dx

dy

=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dx

x P e x C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]

⎰+=⎰⎰-C dx e

x Q e

y dx

x P dx

x P

3．贝努利方程

()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx

dy

令α

-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx

dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：

()()x

y P y Q dx dy -=1 可化为

()()y Q x y P dy

dx

=+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 四．全微分方程及其推广（数学一） 1．全微分方程

()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，满足

y

P

x Q ∂∂=∂∂ 通解：()C y x u =,， 其中()y x u ,满足()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+= 求()y x u ,的常用方法。 第一种：凑全微分法

()()()y x du dy y x Q dx y x P ,,,==+

把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。

（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+222y x d ydy xdx ； （2）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-222y x d ydy xdx ；

（3）()xy d xdy ydx =+； （4）

()xy d xy

xdy

ydx ln =+；

（5）

()

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++2222ln 21y x d y x ydy xdx ； （6）()

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=--2222ln 21y x d y x ydy xdx ； （7）

⎪⎭⎫

⎝⎛=-x y d x ydx xdy 2； （8）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y x d y xdy ydx 2； （9）

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+-y x d y x xdy ydx arctan 22； （10）⎪⎭

⎫

⎝⎛

=+-x y d y x ydx xdy arctan 22； （11）

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--y x y x d y x xdy ydx ln 2122； （12）⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=+-y x y x d y x ydx xdy ln 2122； （13）

()

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++222

2

2

121y x d y x

ydy

xdx ； （14）()

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=--222

22121y x d y x ydy xdx ； （15）

(

)

()

⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++222

22

arctan 211y x d y

x ydy xdx ； （16）()

()

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-22222arctan 211y x d y

x ydy xdx ；

第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）

()()()()(

)

()

⎰++=y x y x dy y x Q dx y x P y x u y x u ,,0000,,,, ()()()⎰⎰++=y

y x x dy y x Q dx y x P y x u 0

,,,000

第三种：不定积分法 由

()y x P x

u

,=∂∂得 ()()()⎰+=y C dx y x P y x u ,, 对y 求导，得()()[]()y C dx y x P y

y u y x Q '+∂∂=∂∂=

⎰,,求出()y C '积分后求出()y C

2．全微分方程的推广（约当因子法）

设()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程。 不满足

y

P

x Q ∂∂=∂∂ 但是存在()y x R , 使得()()()()0,,,,=+dy y x Q y x R dx y x P y x R 为全微分方程， 也即满足

[][]y

RP x RQ ∂∂=∂∂