关系模式的规范化理论

⑤ 判断是否X(i+1)= X(i)，显然X(2)≠X(1)。
⑥在F中找所有满足条件V X(2)=CDEGH的函数依赖V→W，结
果 为 C→A ， CH→D ， CG→DH ， CE→AG ， 则 B=ADGH ， 于 是 X(3) ＝
X(2)∪B=CDEGH∪B=ACDEGH 。
⑦判断是否X(i+1)= X(i)，这时虽然X(3)≠X(2)。但X(3)已经包含了全
第6章 关系模式的规范化理论
关系模式的规范化理论
6.1 关系模式设计中的问题 6.2 函数依赖 6.3 函数依赖的公理系统 6.4 关系模式的分解及其问题 6.5 关系模式的规范化 6.6 多值函数依赖与4NF 本章小结
6.1 关系模式设计中的问题
假设需要设计一个学生学习情况数据库StuDB。
（给定条件）
∴ A→E
（A3传递律）
证毕。
定理6.1：若Ai(i=1，2，…,n)是关系模式R的属性， 则X→(A1，A2，…,An)成立的充分必要条件是X→Ai均成立。
属性集闭包
定 义 6.8 （ 属 性 集 闭 包 ） : 设 有 关 系 模 式 R(U),U={ A1 ， AX2关，于…函,A数n}依,X赖是集U的F的子闭集包,FX是F U定上义的为一：个函数依赖集，则属性集
X F＝｛Ai｜Ai∈U，且X→Ai可用阿氏公理从F推出｝
例：设关系模式R(A,B,C)的函数依赖集为F=｛A→B,B→C｝， 分别求A、B、C的闭包。
解：若X＝A，
∵ A→B,B→C （给定条件）
∴ A→C
（A2传递律）
∵ A→A
（A1自反律）
∴
A
F
={A，B，C}
（据定义）
若X=B
∵ B→B （A1自反律） 若X=C，
关系S
S# SN
SD
SA
0001 张华 计算机 17
0002 李明 信息管理 19
0003 刘强 计算机 18
关系S_C
S#
C＃
G
0001 C101
5
C＃ C101 C102 C103 C105
关系C
CN 离散数学 数据结构 操作系统 数据库原理
PC＃ C110 C101 C102 C102
0001 C102
解：① X(0)=X=DH
，求
X
F
。
②在F中找所有满足条件V X(0)=DH的函数依赖V→W，结果只
有D→EG，则B=EG，于是X(1)＝X(0)∪B=DEGH 。
③ 判断是否X(i+1)= X(i)，显然X(1)≠X(0)。
④在F中找所有满足条件V X(1)=DEGH的函数依赖V→W，结果
为EH→C，于是B=C，则X(2)＝X(1)∪B=CDEGH 。
部属性，所以不必再继续计算下去。
最后， X ＝F (DH)+=｛ACDEGH｝。
属性集闭包计算结束判断方法
在判断计算何时结束时，可用下面四种方法： （1）X(i+1)= X(i)。 （2）X(i+1)已包含了全部属性。 （3）在F中再也找不到函数依赖的右部属性是 X(i)中未出现过的属性。 （4）在F中再也找不到满足条件V X(i)的函数 依赖V→W。
例如，在上例的S（S＃，SN，SD，SA）、C（C＃,CN,PC＃） 、S_C（S＃，C＃，G）三个关系模式中，存在以下关键字：
S# f (S#,S,N S,D S)AC# f (C#,C,N P# C ) (S#,C#) fG
所以，S#、C#和（S#，C#）分别是关系模式S、C和S_C的关键 字 。(S #,S)N p (S #,S,N S,S D)A(S#,S)D p (S#,S,N S,S D)A
B→C
（给定条件） C→C （自反律）
∴
B
F
={B，C}
（据定义）
∴
C
F
={C} （据定义）
定理6.2:设F是关系模式R(U)上的函数依赖集,U是属性全集，X,Y
U,则函数依赖X→Y是用阿氏公理从F推出的，充分必要条件是
Y
X
F
；
反之，能用阿氏公理从F推出的所有X→Y的Y都在X
F
中。
这个定理告诉我们，只要Y
（1） A1：自反律(Reflexivity)
如果Y X，则X→Y成立，这是一个平凡函数依赖。 根据A1可以推出X→Ф、U→X等平凡函数依赖（因为Ф X U）。
（2） A2：增广律(Augmentation)
如果X→Y，且ZW，则XW→YZ成立。
根据A2可以推出XW→Y、XZ→YZ或XW→YW、X→XY、XY→X等。
所以，(S#，SN)和(S#，SD)都不是关键字，而是超关键字。
6.3 函数依赖的公理系统
6.3.1 函数依赖的逻辑蕴涵 6.3.2 Armstrong公理系统 6.3.3 函数依赖集的等价与覆盖
6.3.1 函数依赖的逻辑蕴涵
例如在上述的传递函数依赖中，由X→Y，Y→Z，推导出X→Z， 这可以表示为： ｛X→Y，Y→Z｝⊨ X→Z 其中: ⊨表示逻辑蕴涵。
一般地讲，函数依赖的逻辑蕴涵定义如下：
定义6.6（逻辑蕴涵）：设F是由关系模式R(U)满足的一个函数 依赖集，X→Y是R的一个函数依赖，且不包含在F，如果满足F中 所有函数依赖的任一具体关系r，也满足X→Y，则称函数依赖集F 逻辑地蕴涵函数依赖X→Y，或称X→Y可从F推出。可表示为：
F⊨X→Y
函数依赖集F的闭包F+
3
0002 李明 信息管理 19
C103
操作系统
C102
3
0002 李明 信息管理 19
C105 数据库原理
C102
3
0003 刘强
计算机
18
C107
汇编语言
C110
4
（1）冗余度大
（2）操作异常
由于数据的冗余，在对数据操作时会引起各种异常：
➢插入异常
➢删除异常
➢修改异常
关系模式的分解
我们采用分解的方法，将上述S_C_G分解成以下三个模式： S（S＃，SN，SD，SA） C（C＃，CN，PC＃） S_C（S＃，C＃，G）
F
XZ
XYZ
XZZ
XYZZ YYZ
XXY XYXY XZXY XYZXY YZ
XXZ
XYXZ
XZXZ
XYZXZ
YZY
XYZ XYYZ XZYZ XYZYZ YZZ
XXYZXYXYZXZXYZXYZXYZYZYZ
6.3.2 Armstrong公理系统
1）独立推理规则
即下面给出的Armstrong公理的三条推理规则是彼此独立的。
则称X函数决定Y，或Y函数依赖于X。记为X→Y。
在上述的关系模式S（S＃，SN，SD，SA）中，存在以下函 数依赖：
S #→SD S＃→SN S＃→SA （S＃,C＃）→G
2）几种类型的函数依赖
定义6.2（非平凡函数依赖、平凡函数依赖）：一个函数依赖 X→Y如果满足Y⊈X，则称此函数依赖为非平凡函数依赖，否则 称之为平凡函数依赖。
定义6.4（传递函数依赖）：设X、Y、Z是关系模式R (U)中的 不同的属性集，如果X→Y，Y→X，Y→Z，则称Z传递依赖于X， 否则，称为非传递函数依赖。
3）关系的关健字和超关键字
定义6.5（关键字）:在关系模式R(U)中，若K U，且满足K f，U 则称K为R的关键字。
一个包含了关键字的属性集合也能够函数决定（但不是完全函 数决定，而是部分决定）属性全集，我们把这种包含了关键字的 属性集合称为超关键字(Super Key)。
例如X→Φ, X→X , XZ→X等都是平凡函数依赖。 定义6.3（完全函数依赖、部分函数依赖）：设X、Y是关系R的 不同属性集，若X→Y （Y函数依赖于X），且不存在X’⊂X ，使 X’→Y，则称Y完全函数依赖于X，记为 X fY； 否则则称Y部分函数依赖于X，记为 X pY。
例如，在上例关系S中, S# fSD是完全函数依赖; (S,#SN ) pSD、(S#,SA ) pSD是部分函数依赖。
则F G+。如若有X→Y∈F,则计算 ,如X G果Y
, 则X→X YG ∈G+;
➢第二步：同第一步，检查是否G F+;
➢第三步：如果F G+，且G F+ ，则F与G等价。
由此可见,F和G等价的充分必要 条件是：FG+，且G
下面我们以模式S_C_G（S#，SN，SD，SA，C＃，CN，G，PC ＃）为例来说明该模式存在的问题。下表是其一个实例。
S#
SN
SD
SA
C＃
CN
PC＃Fra Baidu bibliotek
G
0001 张华
计算机
17
C101
离散数学
C110
5
0001 张华
计算机
17
C102
数据结构
C101
5
0001 张华
计算机
17
C105 数据库原理
C102
定义6.7：函数依赖集F所逻辑蕴涵的函数依赖的全体称为为F 的闭包（Closure），记为F+，即F+＝｛X→Y｜F⊨X→Y｝
例如，有关系R（X，Y，Z），它的函数依赖集F＝｛X→Y， Y→Z｝，则其闭包F+为：
X XY XZ XYZ Y Z
XX
XYX
XZX
XYZX
YY ZZ
XY XYY XZY XYZY YZ
5
0001 C105
3
0002 C103
3
0002 C105
3
0003 C107
4
C107 汇编语言 C110
6.2 函数依赖
1）函数依赖(Functional Dependency，简称FD)
定 义 6.1 （ 函 数 依 赖 ） ： 设 有 关 系 模 式 R(U) ， 其 中 U ｛ A1 ， A2，…，An｝是关系的属性全集，X、Y是U的属性子集，设t和u是 关系R上的任意两个元组 ，如果t和u在X的投影t[X]=u[X]推出 t[Y]=u[Y]，即：t[X]＝u[X] => t[Y]＝u[Y]
6.3.3 函数依赖集的等价和覆盖
定义6.9（函数依赖集的等价、覆盖）：设F和G是关系R（U） 上的两个依赖集，若F+=G+，则称F与G等价，记为F=G。也可以 称F覆盖G，或G覆盖F；也可说F与G相互覆盖。
检查两个函数依赖集F和G是否等价的方法是：
➢第一步：检查F中的每个函数依赖是否属于G+，若全部满足，
(4)判断X(i+1)= X(i)吗？
(4)若X(i+1) ≠ X(i)，则用i+1取代i,返回(2)；
(5)若X(i+1)
=
X(i)，则
X
F
=X(i)，结束。
算法6.1的求解过程
例 ： 设 F ＝ ｛ AH→C ， C→A ， EH→C ， CH→D ， D→EG ，
CG→DH，CE→AG，ACD→H｝，令X＝DH
X
F
。
方法：根据下列步骤计算一系列属性集合X(0)，X(1)，…
(1) 令X(0)=X，i＝0；
(2) 求属性集 B { A |( V ) W () V W F V X ( i ) A W )}
/*在F中寻找满足条件V ⊆ X(i)的所有函数依赖V→W,并记属性W的并集为B*/
(3) X(i+1)＝X(i) ∪B
X
F
，则必有X→Y。于是，一个函
数依赖X→Y能否用阿氏公理从F推出的问题，就变成判断Y是否为
X
F
子集的问题。
下面介绍一下计算
X
F
的算法。
属性集的闭包计算
算法6.1：求属性集X(X
U)关于U上的函数依赖集F的闭包X
F
。
输入：属性全集U,U上的函数依赖集F,以及属性集X U。
输出：X关于F的闭包
几种类型的函数依赖
在属性Y与X之间，除了完全函数依赖和部分函数依赖关系等 直接函数依赖，还存在间接函数依赖关系。如果在关系S中增 加系的电话号码DT，从而有S #→SD,SD→DT，于是S#→DT。 在这个函数依赖中，DT并不直接依赖于S#，是通过中间属性 SD间接依赖于S#。这就是传递函数依赖。
例 6.2 ： 设 有 关 系 模 式 R(A,B,C,D,E) 及 其 上 的 函 数 依 赖 集 F= ｛AB→CD,A→B,D→E｝，求证F必蕴涵A→E。
证明：∵ A→B
（给定条件）
∴ A→AB
（A2增广律）
∵ AB→CD
（给定条件）
∴ A→CD
（A3传递律）
∴ A→C，A→D （分解规则）
∵ D→E
（3） A3：传递律(Transitivity) 如果X→Y且Y→Z，则X→Z成立。
2）其他推理规则
推论1：合并规则(The Union Rule) ｛X→Y，X→Z｝⊨ X→YZ
推论2：分解规则(The Decomposition Rule) 如果X→Y，Z Y，则X→Z成立
推论3：伪传递规则(The Pseudo Transitivity Rule) ｛X→Y，WY→Z｝⊨ XW→Z
证：（1）X→Y⊨ X→XY X→Z⊨ XY→YZ 由上可得X→YZ
（2）Z Y⊨ Y→Z
X→Y 由上可得X→Z
（3）X→Y⊨WX→WY WY→Z 由上可得XW→Z
（A2增广律） （A2增广律） （A3传递律）
（A1自反律） （给定条件） （A3传递律）
（A2增广律） （给定条件） （A3传递律）
一个重要定理