矩阵对角化方法及相关应用

摘要

矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。

本文尝试通过阐述对角矩阵性质及其应用，体现对角矩阵作为一个有效工具在矩阵理论研究中的重要地位。进而提出了矩阵对角化的一些方法，并通过实例说明矩阵对角化方法在矩阵研究中的作用。更进一步的，介绍了矩阵对角化方法的在其他领域可能的应用。

关键词：对角矩阵,矩阵对角化,特征值,特征向量

Abstract

Matrix, as an important basic concept in Higher Algebra, is one of the major study of algebra. Diagonal matrix is meaningful in the theory researching and the promoting of matrix properties, for its special quality.

This paper attempts to eexpound the properties of the diagonal matrix and the applications of it, to reflect the vital situation of Diagonal matrix, as a useful tools, in theory researching. Then it presentes some methods of matrix diagonalization, and examples the roles in the study of matrix diagonalization. Furthermore, it introduces the possibility applications to the method of matrix diagonalization.

Keywords：Diagonal matrix, Matrix diagonalization, Eigenvalue, Eigenvector

目录

摘要......................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................... II 目录...................................................................................................................... III 1 绪言. (1)

1.1 课题背景 (1)

1.2 课题研究的目的和意义 (3)

1.3 国内外概况 (3)

2 对角矩阵 (5)

2.1 对角矩阵 (5)

2.2 对角矩阵运算及性质 (5)

2.3 方阵与对角矩阵相似的充要条件 (6)

3 可对角化矩阵的应用 (7)

3.1 利用特征值求解矩阵 (7)

3.2 探究矩阵性质 (10)

3.3 求特殊矩阵的特征值 (13)

3.4 可对角化矩阵在其他方面的应用 (14)

4 矩阵对角化条件 (16)

4.1 常用的充要条件 (16)

4.2 最小多项式法 (16)

4.3 几种特殊矩阵的对角化方法 (17)

4.4 两个矩阵同时对角化的条件 (21)

5 矩阵对角化方法的应用 (23)

5.1 计算n阶行列式 (23)

5.2 利用矩阵对角化求实递推式的通项 (24)

5.3 Fibonacci数列的可对角化矩阵解法 (25)

5.4 一种三对角矩阵的特征值及应用 (26)

6 总结与展望 (28)

致谢 (29)

参考文献 (30)

1绪言

高等代数是数学及相关专业最主要的基础课之一，它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充，并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。

根据矩阵的相似理论，一类矩阵相似意味着其有相同或者近似的性质；又由于矩阵的对角化是矩阵论中的一个重点内容，使得其成为解决矩阵各种问题的一种极为有效的方法和工具，更在其他学科，如电子信息工程，量子力学等方面有着重要的应用，为其研究提供了理论依据及方法。

随着现代科学技术的发展，特别是电子计算机的计算技术的发展，为矩阵理论的研究进一步开辟了更加广阔的前景，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。因此学习和掌握矩阵论的基本理论与方法，对于工程技术人员、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的，有着重要的意义和应用价值。

本文尝试通过对角矩阵及其应用，以及矩阵对角化的方法及应用，体现对角矩阵在矩阵研究中的作用；并通过实例说明可对角化矩阵的应用；更进一步的，介绍了矩阵对角化方法的在其他领域可能的应用。

1.1课题背景

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行代数运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统，比如群、环、域等。

代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也