中国古代数学思想与方法(一)

杨辉的“纵横图”
洛书和九宫图，到了南宋，数学家杨辉（公元13世 纪）把它命名为“纵横图”，并且把它当作数学对象来 进行研究。
N 阶纵横图的要求是：
把 n 个连续自然数排成n行、n列，使每行、
每列、每条对角线上的n个数之和都相等。
2
杨辉创编出了四阶、五阶，以至十阶纵横图，以 及其他形式的连环图。如
三变成爻的框图表示
２．《历书》干支记日法 在中国古代，怎样来记载历史上某年某月某日发生 了某事呢？这实在是个难题。我们的祖先却想出了一个 绝好的办法——干支记日法。 天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥 用10个天干和12个地支搭配起来，成为甲子、乙 丑、…、癸亥，共60个不同的干支名，称为六十甲子。用 这60干支给每一日起一个名字，依次为甲子日、乙丑 日、…，癸亥日，然后又从头以甲子命名，周而复始，循 环使用。
八卦的二进制原理
卦是由两种符号组成的： 阳爻“—” 阴爻“— —“
这两种符号重复抽取三次， 那么就有八种可能的结果， 把每种结果起一个名字，就形成了八个经卦（简称八卦）： 乾、巽（音：迅）、离、艮、兑、坎、震、坤
再给每一卦配一个方位，围绕太极排列起来，就构成了 太极八卦图。
太极八卦图
如果将 阳爻 — “ 1” 表示，阴爻— — “ 0” 表示， 那么上述八卦正好是二进制数的头八个数： 111， 110， 101， 100，011，010， 001， 000
它的九分之一为1寸，10寸为1尺。于是长度标准就决 定下来了。
因为编钟、竹笛的声音是否一致，是大家都能辨别 出来的，所以这样决定出来的长度单位能够得到公认。
定出长度单位之后，再用下法来确定体积（容积） 单位和重量单位： 体积（容积）单位： 黄钟竹管的容积，定为l龠（音 月），2龠为1合， 10合为1升，10升为 1斗。 重量单位： 取籽粒均匀的粟，使黄钟竹管（l龠）恰好容 1200粒，其重量定为12铢，24铢为 1两，16两为1 斤（古制）。 于是，由黄钟之竹，就将长度、容积、重量的标准 单位完全确定了。
３．《河图》、《洛书》的数学奥秘
相传伏羲时代，黄河有龙马负图出水，是谓“河图”；
大禹治水时，洛水有神龟负图登岸，是谓“洛书”。
《周易》：河出图，洛出书，圣人则之。 这图和书是圣人一切知识的源泉，治理国家的策略 据明代程大位《算法统宗》所载，河图、洛书如下图所示：
河图
洛书
其实河图、洛书都是由小圆点排列而成的数阵图。 若把点子改写成数字，洛书就变成“九宫图”：
度量衡标准单位如何来制定呢？中国古代智者想出 了一个绝妙的方法 ．
黄钟起度 相传黄帝时代，伶伦和荣将受命制乐律。他俩取来昆 仑山山阴之竹，选两节之间均匀者，截取9寸长、3分径的 一节竹管。用它吹出的声调，定为基准音——黄钟。
然后，用“三分损益”的办法，得到不同长度的竹管， 吹出高低不同的Байду номын сангаас六吕”与“六律”共12个音调，构成一 个音阶．古代乐器，如铜编钟、石磐等，都是按此规定确 定的音调。
历史现象往往有惊人的相似之处，今天我们和世界 上大多数国家共同使用的长度单位——米，就是利用 “黄钟起度”的科学思想制定出来的。 开始，人们制定一个标准长度的实物——米原器，保 存在法国，作为各国制定长度单位的参照标准。但这既不 方便，又不精密。随着科技的进步，对长度精确程度的要 求越来越高。
1960年国际计量大会通过决定：
干支年号与公元年号的推算
给公元前的每一年取一个干支名。以公元４年是甲 子年为参照。 由此得到计算公元年的干支年号的方法。
设公元年数为N，令 b ＝ N－60q－3 这里q是自然数，0≤b＜ 60。b就是最近的一个甲子周 期所剩的年数，在甲子表中第b个干支名，就是所要计算的 那一年的干支名。
例如，求1937年的干支名。 b＝ 1937－ 60×32－3＝14 甲子表中第14个干支名为丁丑，所以1937年是丁丑年。
科学家们从中国的洛书得到启示，提出用一个四阶 幻方来传达地球人智慧的信息——一个用点子数表示的
完美幻方
这个幻方之所以称为“完美”的，是因为它具有更多、 更美妙的性质 ：
（1）它每行、每列、两条对角线（主对角线）各数之 和（幻和）皆等于34。
（2）四角上四个数之和等于 34。
（3）中间四个数之和等于34。 （4）四角上四个田字格的四个数之和等于34 （5）每边相邻二数与对边相应二数之和， 皆等于34。
（6）每条次对角线各数之和，也等于34，也就是说， 若将两个拚在一起，每条斜对角线各数和，都等于34。
正像洛书向今人展示中华民族的祖先们的高度智慧 一样，这个四阶完美幻方，也可以向宇宙人告示我们地 球人今日的智慧程度。
4. “量”从何出？
人们常说：数是数出来的，但数出来的数，只能是 正整数。分数、小数，是数不出来的。这些数是“量出 来的量数。 一个物体的长度、重量（质量）和体积（容积）， 是三种最重要的量。怎样才能知道其量的多少（量数） 呢？这就须要有一个同类的标准量。
九宫图
规律：每行、每列、两条对角上三个数字之和均为15。 这绝对不是可以随便写得出来的。它是人类高度智慧 的产物，是古人数学思维的结晶。
最早记载这个九宫图的，是写于东汉初年的《大戴 礼记》（成书于公元80年）。但关于河图、洛书的传说， 却远在公元前5世纪以前。
九宫图在中国发展为“纵横图”，传到中亚和西方， 称为“幻方”。九宫图本身是世界上最早的三阶幻方。
则第 b1 个天干与第 b2 个地支搭配，就是这一年的干支名。 例如，求1898年的干支名： b = 1898－60×31－3 = 35，
b1 5 b2 11
第五个天干名是戊，第十一个地支名是戊，因此 1898年是戌年，即是“戊戌变法”的那一年。
反过来，也可以用干支年号推算公元年号。
例如，甲申年李自成起义失败，甲申年是公元多少年？
《周易》试图讲述宇宙万事万物不断变化、互相转 化、化繁为简的“不易之理”。 如何说“理”？ 通过数和数表——八卦和六十四卦，来进行探究。 因此，《周易》是我国古代哲学著作，其中又包含有 不少数学知识和数学思维成果。它不仅对我国传统思想、 文化的发展起了巨大的影响和启迪作用，而且直到今天， 它仍然吸引着不少中外学者的研究兴趣。它的潜在思想内 容，实在太丰富了。
2 p10 长度的基本单位“米”：为同位素氪—86原子的 和 5d5 级之间跃迁所对应的辐射，在真空中的1650763.73 个波长的长度。
可以不查甲子表，直接进行如下推算： 在甲子表中，天干逢10一循环，凡第1、11、21、 31、41、51位的天干皆是甲，地支逢12一循环，凡第1、 13、25、37、49的地支皆是子。 因此，可求得
b1 b(mod10), 0 b1 10
b2 b(mod12), 0 b2 12
聚八图
攒九图
这影响到明清两代数学家的研究兴趣。明代程大位 （1533—1606）给出了14个纵横图，清初张潮（ 1600 一？）在《算法补图》中又造出不少新的连环图。保其 寿还造出了一个立体连环图。
张潮连环图
保其寿立体连环图
杨辉的创造性不仅表现在他把三阶纵横图推广到高 阶，而且研究了纵横图的构造法。以4阶纵横图为例：
首先判断李自成起义失败在17世纪。公元4年是甲 子，公元14年是甲戌，公元24年是甲申。因此 24＋60×27 = 1644年 是甲申年。而17世纪中只有这一个甲申年。 故李自成起义失败是在1644年。
据《春秋》记载： “鲁隐公三年春王二月己巳日有食之”， 可以推得这一次全日食，发生在公元前720年2月22日。 注意：按国际惯例，公元元年（1年）的前一年是公元 前1年（－1年），没有公元零年。因此，推算公元前某年 的干支年号，从公元4年（甲子年）往前推要减去一年。 近代史上许多重大事件，也常以该事件发生的干支年 号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战争”、“辛丑条 约”、“庚子赔款”等。
第二步，将这所剩蓍草再随意分成左、右两把，如前 再数一次，去掉零头，谓之“二变”。二变后剩下的根数， 为40、36、32这三种情况之一。 第三步，将剩下的蓍草再进行“三变”, 最后所剩根 数为36、32、28、24这四种情况之一。 第四步，将所剩蓍草用4除，所得的商为6、7、8、9 四个数之一，谓之一爻：奇数为阳爻，偶数为阴爻。
中国古代数学思想与方法（一）
邓鹏
西华师范大学
一、神奇的发明－－中华数学之光
１．《周易》的数学思想
《周易》又称《易经》-------为“五经”之首 （《尚书》、《礼记》、《诗经》、《春秋》） 《周易》分为两大部分：易经和易传。《经》包括卦、 爻两种符号和卦辞、爻辞两种说明。相传伏羲画卦，文 王作辞。大约西周初年（公元前11世纪）成书，后经春 秋、战国以至西汉人陆续写成。
得三爻即成一经卦，得六爻即成一别卦。
演卦包含的数学思想：
其一，把正整数分成奇数和偶数两大类； 其二，“三变”反复用4除的带余除法，且余数多少 决定卦象；余数相同则卦象相同，含有“同余”思想。
其三，在演卦过程中，每变对最后结果——阴爻和阳 爻——的影响是机会均等的。亦就是说，三变成爻，阴 爻和阳爻是等概率的。
注：
“三分损益”包含“三分损一”、“三分益一”两层 含义。 三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即： 原有长度×(3-1)/3＝生得长度；而三分益一则是指将原 有长度作3等分而增添其1份，即：原有长度×(3+1)/3＝ 生得长度。两种方法可以交替运用、连续运用，各音律 就得以辗转相生。
用黄钟的音调来确定长度： 选长度与直径为30：1的均匀竹管，若吹出的声音与黄 钟相合（共鸣），那么就定此竹管长度为9寸。
将l～16顺次排成4行、4列。先外四角对换，再内四 角对换，便得到一个4阶纵横图。它的每行每列各数之和 都是34，两条对角线之和也是34。
向宇宙人展示智慧 我们人类居住的地球，是宇宙中一个普通星球。茫 茫宇宙之中有无穷无尽的大小星球，其中有没有第二个 地球？有没有像我们地球人一样的宇宙人？
假如真有这样的宇宙人，那么又怎样沟通彼此之间 的信息呢？双方语言不通，电讯密码不同，如何能把地 球上的人类的信息传递出去呢？用什么方式向宇宙人告 示我们人类的智慧呢？
人生“八字” 用干支记日、记年的同时，我国还用于支记月、记时。 每个人出生的时间由年、月、日、时来决定，年、月、日、 时的干支名分别用两个字表示，总共八个字，这就是旧时 人们常说的人生“八字”。
这个人生“八字”，只是记录一个人出生的年、月、 日、时的干支名，起了记时的作用，并没有更多的意义。 宿命论者认为“八字”决定人的一生命运，是一种毫无 根据的。
演卦中的数学原理
演卦并不是简单地从两种不同的符号中随意抽取三次 或六次而得到的。演卦有一个复杂的既定程序。大致过程 是这样： 首先，取长短大致相同的蓍草（蓍：音诗 ，一种野 草茎杆）50根，去掉一根，实用49根。 第一步，将一堆蓍草随意分为两把，从右手中抽一根 夹于左手小指与无名指之间。左、右两把蓍草分别四根一 数，最后将所剩余的四根或不足四根的、连同左手夹的一 根除去。这称之为“一变”。一变剩下的蓍草要么是40根， 要么是44根。
六十甲子表
中国早在商代就已创造了干支记日法。甲骨文中 的卜辞就是用干支记日的，还发现有比较完整的甲子 表。殷商的帝王们也大多用其出生的那一天的干支日 名来命名，如 帝辛就是商纣王的名字。
我国干支记年从东汉《四分历》颁发实行的那一 年——东汉章帝元和二年（公元85年）开始的，自那以 来，直至今天都连续使用这种干支记年法，从未间断， 也从未混乱过。这是世界上使用时间最长的记年法。
从阳爻、阴爻中重复抽取六次，就得到64个别卦， 正好是二进制数的头64个数。
只须要两个记数符号 1和0，或者是阳爻和阴爻，就能 将任意大的正整数表示出来。 17世纪末，德国数学家莱布尼兹（1646－1716）就醉 心研究二进制记数法。当他从来华传教士域明我那里了解 到中国《周易》里的八卦时，欣喜若狂，他认为中国古老 的八卦就是二进制记数制的证明。 他还写信给中国的康熙皇帝，赞扬中国古代的科学成 就，建议建立中国科学院（德国科学院就是他倡导成立 的）。