课时分层作业2 正弦定理(2)

课时分层作业(二) 正弦定理(2)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．在△ABC 中，b ＋c ＝2＋1，C ＝45°，B ＝30°，则( ) A ．b ＝1，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝1 C ．b ＝

22，c ＝1＋22 D ．b ＝1＋

22，c ＝2

2

A [∵b ＋c

sin B ＋sin C ＝b sin B ＝c

sin C ＝2＋1sin 45°＋sin 30°＝2，∴b ＝1，c ＝ 2.]

2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝1

3，则sin B ＝( ) A ．15 B ．59 C ．53

D ．1

B [在△AB

C 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝5×13

3＝5

9.] 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( )

A ． 3

B ．33

C ．63

D ．－6

3

B [由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B ＝3

3.]

4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C 等于( )

A ．833

B ．2393

C ．2633

D ．2 3

B [由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin

C 得a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a

sin A

＝13sin 60°

＝2393.] 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π

2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )

A ．3

2 B ．

3 C ．6 D ．6 B [由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π

2，所以a 2＋c 2＝b 2.②

联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝1

2×6×6＝3.] 二、填空题

6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．

④ [①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．]

7．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 23 [在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以4sin B ＝23sin 60°，解

得sin B ＝1.因为B ∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以C ＝30°，所以△ABC 的面积S △ABC ＝1

2·AC ·BC ·sin C ＝2 3.]

8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝5

13，a ＝1，则b ＝________．

21

13

[在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝21

13.]

三、解答题

9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .

[解] 由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，

又∵sin A ＝cos C ，

∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ， 又A ，B ，C 是△ABC 的内角，

故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)，所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°.所以C ＝15°.

10．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝4

3，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．

[解] 由正弦定理知sin B sin A ＝b

a ， ∴cos A cos B ＝sin B sin A

. 即sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .

又∵a ≠b 且A ，B ∈(0，π)， ∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π

2.

∴△ABC 是直角三角形且C ＝π

2，

由 ⎩⎨⎧a 2＋b 2＝102

，b a ＝43，

得a ＝6，b ＝8.

∴内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－10

2

＝2.

[能力提升练]

1．在△ABC 中，A ＝π

3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是( )

A ．[33，6]

B ．(2，43)

C ．(33，43)

D ．(3，6]

D [∵A ＝π3，∴B ＋C ＝2

3π. ∴AC ＋AB ＝BC

sin A (sin B ＋sin C ) ＝332⎣

⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－B

＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋3

2cos B

＝6sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫B ＋π6， ∴B ∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，23π，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π，

∴sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，

∴AC ＋AB ∈(3，6]．]

2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )

A ．π6，π3

B ．2π3，π6