矩阵分析在通信中的应用-中国科学技术大学

矩阵分析在通信中的应用

•在过去的15年左右，矩阵分析这一工具在通信理论与系统中得到了广泛应用•为什么？

“传统”通信（~before 2000）“现代”通信(~after 2000)

•本质上，现代通信系统必须处理高维信号

侧重于单点对单点

强调多用户单载波

多载波单天线多天线

多维线性参数估计应用：信道估计与符号估值

•考虑如上图所示的一个多径信道

•首先发送长度为N的已知训练序列：{s(1),…,s(N)}；接收端收到{y(1),…, y(N)}

•如何对收到的长度为N的接收向量进行线性矩阵运算，获得对信道向量c的“最优”估值？

•在获得信道向量c的估值后，发送端继续发送长度为M的未知数据序列：{x(1),…,x(M)}；接收端收到{y(1),…,y(M)}

•如何对收到的长度为M的接收向量进行线性矩阵运算，获得对数据向量x 的“最优”估值？

多维线性参数估计应用：线性均衡

•继续考虑上一页提到的数据估值问题，但是…

•加入一个限制：接收端必须符合上图所示的“线性均衡器”

•如何决定线性均衡器各个“分支”的系数，获得对数据向量x的“最优”估值？

多天线系统（MIMO）

•从单天线系统（SISO）演进到多天线系统（MIMO），是过去20多年通信领域的最重要技术发明之一

•对MIMO系统的研究，使得矩阵分析理论在通信界成为“必备”的知识•下面的这个信号模型是“无数”MIMO论文的基础

Y=HX+Z

多天线系统（MIMO）：单用户信道容量

Y=HX+Z

•考虑一个单用户MIMO信道

–发送端M根天线，接收端N根天线

–信道矩阵H的维数是N*M

–发送端总功率受限或各根天线功率受限

•若信道矩阵H给定，信道容量如何获得？

–收端精确知道H，发端不知道H

–收发端均精确知道H

–收发端均不知道H

•若信道矩阵H服从某一分布，信道容量如何定义，如何获得？

多天线系统（MIMO）：多用户信道容量

Y=[H1, H2] [X1;X2]+Z

•上行多用户MIMO信道

–2个用户

–每个用户发送端M根天线

–基站接收端N根天线

–发送端总功率受限

[Y1;Y2]=[H1;H2] X+Z

•下行多用户MIMO信道

–2个用户

–基站发送端M根天线

–每个用户接受端N根天线

–发送端总功率受限

多天线系统（MIMO）：接收机设计

Y=HX+Z

•考虑一个单用户MIMO信道

–发送端M根天线，接收端N根天线

–信道矩阵H的维数是N*M

–发送端总功率受限或各根天线功率受限

–接收端精确知道信道矩阵H

•接收端如何获得对X的“最佳”估值？

•接收端如何获得对X的“最佳”线性估值？

•什么样的接收机估值处理能够做到不损失信道容量？

多天线系统（MIMO）：ZF与ZF-SIC接收机

Y=HX+Z

•ZF接收机

–在对每个符号估值的时候，确保其它符号对其的干扰为零（zero-forcing）–通过对矩阵H做QR分解

Y=HX+Z=QRX+Z

Q H Y=RX+Q H Z

R-1Q H Y=X+R-1Q H Z

–X的每个符号可以独立做估值

•ZF-SIC接收机

–也叫作V-BLAST

–对每一个符号做ZF

–随后将此符号在Y中的贡献减掉，再对下一个符号做ZF

多天线系统（MIMO）：MMSE与MMSE-SIC接收机

Y=HX+Z

•（线性）MMSE接收机

–寻找一个M*N维的矩阵G，使得GY最小化均方误差

–推导过程需要利用到正交准则

•MMSE-SIC接收机

–对每一个符号做MMSE

–随后将此符号在Y中的贡献减掉，再对下一个符号做MMSE

–MMSE-SIC接收机与信道容量的关系

多天线系统（MIMO）：码间串扰信道Revisit

•接收端符号表示

•在发端做一个cyclic prefix处理（增加的长度为L-1）

•在收端，将前L-1个符号丢掉，只保留随后的N个符号

•可以证明，对于这个系统，发端的傅里叶逆变换与收端的傅里叶变换一起，可以对角化任何信道，从而达到完全消除码间串扰的目的

–OFDM系统

•不需要做时域均衡

多天线系统（MIMO）：预编码矩阵设计

Y=HX+Z

•发送端知道信道H

•如何设计一个线性矩阵F，来“预编码”需要发送的符号向量s？•随着优化目标的不同，对应的预编码矩阵也不同

–保留信道容量

–对角化信道

–优化成对出错概率

–单用户vs多用户

•向量信道的最大比（MRT）发送预编码

•ZF预编码

•其它预编码

多天线系统（MIMO）：最优空时分组码设计

Y=HX+Z

•发送端不知道信道H

•如何设计一个线性矩阵X，来“预编码”需要发送的符号向量s？–X必须与H无关，仅与s有关

•最早的空时分组码：Alamouti Code(1998)

•随后出现了多种基于矩阵代数的空时分组码

•着重讨论最优设计准则与在有反馈情况下的分组码设计