2009年江西高考文科数学试卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
参考公式
如果事件
互斥，那么球的表面积公式
如果事件
，相互独立，那么其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率其中
表示球的半径
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题是真命题的为
A．若
,则
B．若
,则
C．若
,则
D．若
,则
2．函数
的定义域为
A．
B．
C．
D．
3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为
A．50 B．45 C．40 D．35
4．函数
的最小正周期为
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
是
上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
6．若
能被
整除，则
的值可能为
A．
B．
C．
D．
7.设
和
为双曲线
(
)的两个焦点, 若
，
是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A．
B．
C．
D．3
8．公差不为零的等差数列
的前
项和为
.若
是
的等比中项,
,则
等于
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90 9．如图，在四面体
中，截面
是正方形，则在下列命题中，错误的为
.
.
∥截面
.
. 异面直线
与
所成的角为
10．甲、乙、丙、丁
个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这
个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，一质点
在
平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在
轴上的投影点
的运动速度
的图象大致为
12．若存在过点
的直线与曲线
和
都相切，则
等于
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请把答案填在答题卡上
13．已知向量
，
，
，若
则
= ．
14．体积为
的一个正方体，其全面积与球
的表面积相等，则球
的体积等于．
15．若不等式
的解集为区间
，且
,则
．
16．设直线系
,对于下列四个命题：
．存在一个圆与所有直线相交
．存在一个圆与所有直线不相交
．存在一个圆与所有直线相切
．
中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
三.解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
设函数
．
（1）对于任意实数
，
恒成立，求
的最大值；
（2）若方程
有且仅有一个实根，求
的取值范围．
18．（本小题满分12分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是
.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一
个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
(1) 该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．
19．（本小题满分12分）
在△
中，
所对的边分别为
，
，
．
（1）求
；
（2）若
，求
,
，
．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
，
．以
的中点
为球心、
为直径的球面交
于点
．
（1）求证：平面
⊥平面
；
（2）求直线
与平面
所成的角；
（3）求点
到平面
的距离．
21．（本小题满分12分）数列
的通项
，其前n项和为
.
(1) 求
;
(2)
求数列｛
｝的前n项和
.
22．（本小题满分14分）如图，已知圆
是椭圆
的内接△
的内切圆, 其中
为椭圆的左顶点.
（1）求圆
的半径
;
（2）过点
作圆
的两条切线交椭圆于
两点，
证明：直线
与圆
相切．
G ．。