Young不等式

0
,
（2）
由 f (x) 在 [0, a]上是严格单调增加的连续函数，得 x = g( y) = f −1 ( y) 在 [0, f (a)] 上是严格单调增加
[ ] 的 连 续 函 数，故（2）式 中 积 分 有 意 义，将 区 间 0, a 做 n 等 分 划，记 分 点 为 0 = x0 < x1 < x2 < " < xn = a ，相应的点 yi = f (xi ) , (i = 0,1,2,", n) ,构成区间 [0, f (a)] 的一个分
∫ ∫ a f (x)dx +
b f −1 ( y)dy
0
0
∫ ∫ ∫ =
x0 f (x)dx +
a
f (x)dx +
b f −1 ( y)dy
0
x0
0
∫ ∫ ∫ = a f (x)dx + ( x0 f (x)dx + f (x0 ) f −1 ( y)dy)
x0
0
0
> f (x0 ) ⋅ (a − x0 ) + x0 ⋅ f (x0 ) = a ⋅ f (x0 ) = a ⋅ b ;
证明 (1) 微分法:
①：此时我们只要考虑到函数
f
(x)
=
1 p
xp
+
1 q
−
x ， (x
≥
0) ,
f ′(x) = x p−1 −1 ,显然 f ′(1) = 0 ,
当 0 < x < 1 时, f ′(x) < 0 , f (x) 在 [0,1] 上严格单调减少; 当 x > 1时, f ′(x) > 0 , f (x) 在 [1,+∞) 上严格单调增加;
注1 p和q也称为共轭指数，这种说法我们在下面的讨论中将会经常用到,显然 p + q = pq ,
file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm
2009-6-13
Young不等式的证明及应用
页码，4/13
( p − 1)(q − 1) = 1 , ( p − 1)q
Young不等式的证明及应用
页码，1/13
Young不等式的几种证明及应用
邢家省
（北京航空航天大学数学系，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100083；
摘 要:Young不等式及与之相关的Hölder不等式和Minkowski不等式都是非常重要的不等式，在分析数 学中有着广泛的应用，对于促进现代数学的发展起到了非常重要的作用。本文主要给出Young不等式的几 种证明方法及Young逆不等式的几个常见应用。 关键词: Young不等式；Hölder不等式；Minkowski不等式 中图分类号:O177.2 文献标识码:A
从曲线 y = f (x) 与 x 轴和 y 轴所围的面积 S1 , S2 ,并与矩形面积相比较得到
a ⋅ b ≤ S1 + S2 ，
∫ ∫ 注意到 S1 =
a x p−1dx = a p
0
p
， S2 =
b y q−1dy = b q
0
q
,
故证得结论。 (3) 代数法
注意到当 y > 0 ， 0 < m < 1时，有 y m −1 ≤ m( y −1) ，等号成立当且仅当 y = 1 。
于是 f (x) 仅在 x = 1取得最小值，从而成立不等式 f (x) ≥ f (1) ,
1 xp + 1 −x≥0
即p q
, (x ≥ 0)
在此不等式中取
x
=
a⋅b bq
，并注意
p
+
q
=
pq ,即可导出成立不等式
a⋅b ≤ ap + bq p q,
( a > 0,b > 0 )
x
且等号成立当且仅当
Young不等式和与之相关的Hölder不等式和Minkowski不等式是在现代分析数学中应用非常广泛的不 等式，具有各种不同的形式。原始的Young不等式是数学家W.H.Young在1912年给出的，并以其名字来命名 它。
由Young不等式可以得到Hölder不等式，进而得到Minkowski不等式。虽然O.Hölder于1889年便在 其著作中证明了Hölder不等式，但是在现在的绝大部分书籍中都是用Young不等式做为引理来证明它的。 Minkowski不等式是由H.Minkowski于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至 关重要的作用。
从事偏微分方程研究和数学课的教学工作.
1 原始 Young不等式的定义及证明
定理1 [2] （原始Young不等式）设 f (x) 是严格单调增加的连续函数（ x ≥ 0 ）， f (0) = 0 ，又设 g (x) 为 f (x) 的反函数，则对任意 a ≥ 0, b ≥ 0 ,成立不等式：
∫ ∫ a
2009-6-13
Young不等式的证明及应用
页码，6/13
f (λx1 + (1− λ)x2 ) ≤ λf (x1) + (1− λ) f (x2 ) , (0 < λ < 1)
（4）
等号成立当且仅当 x1 = x2 .
令 f (x) = − ln x ，显然 f (x) 是凸函数，将它带入式（4）中得
→0
,
故
∫ ∫ a f (x)dx +
f (a) f −1 ( y)dy
0
0
n
n
∑ ∑ = lim( n→∞ i=1
f (xi )Δxi
+
i =1
f
−1 ( yi−1 )Δyi )
∑[ ] n
= lim n→∞ i=1
f (xi )(xi − xi−1 ) + f −1 ( f (xi−1 ))( f (xi ) − f (xi−1 ))
∫ ∫ ∫ a
b
b
S1 =
0
f (x)dx , S2
=
g( y)dy =
0
0 g(x)dx ,
∫ ∫ a
b
比较矩形面积与 S1 + S2 ,便知成立 ab ≤ S1 + S2 = 0 f (x)dx + 0 g(x)dx .
(2) 分析法：
(a)我们先证明
∫ ∫ a f (x)dx +
0
f (a) f −1 ( y)dy = a ⋅ f (a)
1
1
所以 f (x) 在 x = b p−1 处为最小，但 f (b p−1 ) = 0 ，故 f (a) ≥ 0 ，即成立不等式
file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm
2009-6-13
Young不等式的证明及应用
页码，5/13
a⋅b ≤ ap + bq p q,
设
A, B
>
0
，令
y
=
A B ，代入上式，且同乘以
B
>
0；
得 Am B1−m − B ≤ m( A − B) ，即得 Am B1−m ≤ mA + (1 − m)B ；
m
在上式中取
=
1 p
<1
，
A
=
ap,B
=
bq
a⋅b
，于是得到
≤
ap p
+
bq q
。
(4) 分析法
∫ ∫ 在 原 始 Young 不 等 式 a ⋅ b ≤
首先我们给出Jensen不等式:设 ϕ : R → R 是凸的，
∫ ∫ ϕ⎜⎛ 1
则 ⎝b−a
b f (t)dt ⎟⎞ ≤ 1
a
⎠ b−a
bϕ(
a
f
(t ))dt
对有限区间 [a,b]及可积函数
f
: [a,b] → R 均成立。
下面应用Jensen不等式来求Young不等式。定义
f
(t)
=
⎪⎧ p ln a,0 ≤ t ≤
(e)：联系(b),(c),(d)可知（1）式成立，（1）中的等号成立当且仅当 f (a) = b .
2 常用Young不等式的定义及几种证明方法
定理2（Young不等式）设
p
>
1, q
>
1,
1 p
+
1 q
= 1,
则
∀a, b
≥
0
，必有
a⋅b ≤ ap + bq p q,
（3）
上式中等号成立的充要条件是 a p = b q .
(d)：当 b > f (a) 时,
∫ ∫ a f (x)dx +
b f −1 ( y)dy
0
0
∫ ∫ ∫ a
= [ f (x)dx +
f (a) f −1 ( y)dy] +
b
f −1 ( y)
0
0
f (a)
> a ⋅ f (a) + f −1[ f (a)] ⋅ (b − f (a))
= a ⋅ f (a) + a(b − f (a)) = ab ,
a
f (x)dx +
0
b
0 g(x)dx 中 , 令
f (x) = x p−1 ( p > 1) ，因 为
1 + 1 =1 p q ，则
1
g ( y) = y p−1 = y q−1 ，代入即得结论。
(5) 凸函数对数法
设 f (x) 是凸函数， f ′′(x) > 0 ,则有
file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm
b
a ⋅ b ≤ f (x)dx + g(x)dx
0
0
,
（1）
file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm
2009-6-13
Young不等式的证明及应用
页码，2/13
式中等号当且仅当 b = f (a) 时适用。
证明 (1) 面积法：
根据函数 y = f (x) 和其反函数 x = f −1 ( y) = g( y) 的图形特性,及曲线与 x 轴和 y 轴所围的面积,
=
a⋅b bq
= 1 ,即 a p
= bq
.
f (x) = x p + bq − b ⋅ x
②：令
pq
, (x > 0) ，则
f ′(x) = x p−1 − b
1
, f ′(b p−1 ) = 0 ,
1
1
当 0 < x < b p−1 时, f ′(x) < 0 ;当 x > b p−1 时, f ′(x) > 0 ,
在数学分析、调和函数、泛函分析和偏微分方程等学科中上述三个不等式的身影处处可见，是使用 得最为频繁，最为广泛的知识工具.本文的目的就是通过对Young不等式，Hölder不等式和Minkowski不等 式及它们的逆不等式的相关内容的归纳整理，使人们能够更加清楚的认识到它们的重要作用。
收稿日期： 作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,北京航空航天大学副教授,
2009-6-13
Young不等式的证明及应用
页码，3/13
=
lim[a ⋅
n→∞
f
(a) − 0 ⋅
f (0)]= a ⋅
f
(a) ,
(2) 式获证。
(b)：由（2）式可知，若 f (a) = b ，则（1）式中等号成立。
(c)：若 0 < b < f (a) ，则由 f (x) 的连续性可知， ∃x0 ∈ (0, a) ，使 f (x0 ) = b ，于是
划
0 = y0 < y1 < y2 < " < yn = f (a) ,
因 f (x) 在 [0, a]上连续，故在 [0, a]上一致连续，故 n → ∞ 时，对于此分划来讲，有
[ ] max
1≤i≤n
Δy
i
=
max(
1≤i≤n
yi
−
yi−1 )
=
max
1≤i≤n
f (xi ) −
f (xi−1 )
பைடு நூலகம்
( a > 0,b > 0 )
1
且等号成立当且仅当 a = b p−1 ,即 a p = b q .
(2) 定积分方法
设 y = f (x) = x p−1 ,则 f (x) 在 [0,+∞) 上是严格单增的连续函数, f (0) = 0 ,
1
其反函数为 x = f −1 ( y) = y p−1 = y q−1 ,
=
p,
q
=
p p −1 ,
1 = q −1
p −1
.
由 于 Young 不 等 式 的 重 要 性，关 于 它 的 证 明 方 法 有 很 多，下 面 我 们 给 出 7 种 不 同 的 证 明 方 法，由 于
a ⋅ b = 0 的情况下，结论显然，在下面的讨论中，我们不妨均设 a > 0, b > 0 .
⎨ ⎪⎩
q
ln
b,
1
p
<
t
1 p
≤1
,
∫ ∫ 对 ϕ(x) = e x 在 [0,1]上应用Jensen不等式，得 ϕ⎜⎝⎛
1 0
f
(t)dt
⎟⎠⎞
≤
1ϕ(
0
f
(t))dt
,由此即得所要证的不等式。
(7) Legendre变换与Young不等式
设 y = f (x) 是一个凸函数, f ′′(x) > 0 .对任意给定 p ,定义函数
n
∑[ ] = lim n→∞ i=1
f (xi )(xi − xi−1 ) + xi−1 ⋅ ( f (xi ) − f (xi−1 ))
∑[ ] [ ] n
= lim n→∞ i=1
xi ⋅ f (xi ) − xi−1 ⋅ f (xi−1 )
=
lim
n→∞
xn
⋅
f
(xn )
−
x0
⋅
f
(x0
)
file://E:\教学\数学分析\数学分析网站\教学论文\jxlw1.htm
λ ln x1 + (1− λ) ln x2 ≤ ln(λx1 + (1− λ)x2 ) ,
从而成立 x1λ ⋅ x12−λ ≤ λx1 + (1 − λ)x2
, (0 < λ < 1)
令
x1
=
1
a λ , x2
=
1
b1−λ , λ
=
1 p
，代入上式即得结论。
(6) 应用凸函数的Jensen不等式法