2-2焊接温度场
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1.作用于半无限体上的移动点热源
连续作用的移动热源的温度场的数学 表达式可从迭加原理获得，迭加原理的应 用范围是线性微分方程式，而线性微分方 程式则应建立在材料特征值均与温度无关 的假设基础上，这种线性化在很多情况下 是可以被接受的。
2.2.2、连续热源作用下的温度场
1.作用于半无限体上的移动点热源 现假定：有不变
由于散热使微元体hdxdys的温度下降了dT， 则此 时失去的热能应为dQ:
dQ dT c dV dT c h dx dy
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
上两式相等，整理得：
2 (T T0 )dxdydt c h dTdxdy
t t
T t
Q
c(4at)3 2
exp( R2 ) ( 4at
R2 4a
)
(
1 t2
)
exp(
R2 4at
)
c
Q
(4a)3
2
(
3 2t 5
2
)
Q
c (4at )3
2
exp(
R2 ) ( 4at
R2 4at 2
3) 2t
T t
( R2 4at
3) 2
L为细杆的周长[mm]；
A为细杆的截面积[mm2] 。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
3.作用于无限长杆的瞬时面热源
在热源作用处（X=0），温度升高为
T
T 0
Q
Ac(4at)1 2
exp( b*t)
热流单向，在X=0处，温度随1/t1/2沿双曲线下降，而 趋势更缓和。
T 1 t T 1 t T 1 t3
式中；Q—焊件瞬时所获得的能量[J]；
R—距热源的距离，R2=X2+Y2+Z2[㎜]；
t—传热时间[s]；
c—焊件的容积[J/mm2℃]；
a—导温系数[mm2/s]。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
特解的证明：
由导热微分方程式
T t
c
2T ( x2
的。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
在这种情况下，热量Q在时间t=0的瞬间作用于半 无限大立方体表面的中心处，热量呈三维传播，在 任意方向距点热源为R处的点经过时间t时，温度增 加为T-T0。
求解导热微分方程，可有特解：
Q
R2
T
c (4at )3
2
exp(
) 4at
) 4at"
如果忽略焊接热过程的起始和收尾阶段（即不考虑
起弧和收弧），则作用于无限体上的匀速直线运动
的热源周围的温度场，可认为是准稳态的温度场。
如果将此温度场放在运动坐标系中，就呈现为具有
固定场参数的稳态温度场。
2.2.2、连续热源作用下的温度场
下面，我们考虑极限状态t∞，并设
R2 u2,
vR m,
dT dt
2 ch
(T
T0 )
bT
式中，b=2/ch被称为散温系数[s-1]。
因此，焊接薄板时如考虑表面散热、 则导热微分方程式中应补充这一项，即：
T
2T 2T
t a( x2 y2 ) bT
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
此微分方程的特解为：
同理
2T T y2
y 2
( 1), 2at 2at
2T T z 2
z 2
( 1) 2at 2at
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
特解的证明：
将上面个式代入导热微分方程：
T ( R2 3) [ T ( x2 1 y2 1 z2 1)] t 4at 2 c 2at 2at 2at 2at
由于 4at
2a
0
exp(u 2
m2 u2
)du
exp(2m)
2
exp( vR)
上式属于固定是坐标系(o0,x0,y0,z0)， 对于运 动坐标系(o,x,y,z)来说，由于
x x0 vt,
y y0,
设tt-t,带入上式，得
z z0
2q
vx t dt"
v2t" x2 y2 z2
T (x, y, z,t) c(4a)3 2 exp( 2a )0 t"3 2 exp( 4a
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源 特解的证明：
同样，求 ，T 即在ox方向上的温度梯度：
x
T T R
Q
exp( R2 ) ( 2R ) R ) T R x T ( x )
x R x c(4at)3 2
4at 4at x
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
当 薄 板 表 面 的 温 度 为 T0 时 ， 在 板 上 取 一 微 元 体 hdxdy，在单位时间内微元体损失的热能为dQ:
dQ 2 (T T0 )dxdydt
式中；2—考虑双面散热 —表面散热系数[J/mm2sK] T—板表面温度[℃] T0—周围介质温度[℃]
T
T
0
Q
hc (4at )
exp(
r2 4at
bt)
此为薄板瞬时线热源传热计算公式，可见， 其温度分布是平面的，以r为半径的圆环。
在热源作用处（r=0），其温度增加为：
Q
T T 0 hc(4at) exp( bt)
温度以1/t双曲线趋势下降，下降的趋势比 半无限体缓慢。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
在厚度为h的无限大板上，热源集中作用 于某点时，即相当于线热源（即沿板厚方向上 热能均匀分布）。
t=0时刻，热量Q作用 于焊件，焊接初始强度 为T0。求解距热源为R的 某点，经过t妙后的温度。 此时可用二维导热微分 方程求解，对于薄板来 说，必须考虑与周围介 质的换热问题。
功率为 q的连续作用 点热源沿半无限体表 面匀速直线移动，热 源移动速度为v。在 t=0时刻热源处于o0位 置，热源沿着o0x0坐标轴运动。从热源开始作用 算起，经过t时刻，热源运动到o点，o0o的距离 为vt，建立运动坐标系oxyz，使ox轴与o0x0重合， o为运动坐标系的原点，oy轴平行于o0y0,oz轴平 行于o0z0。
2.2 焊接温度场
2.2.1、瞬时固定热源温度场
瞬时固定热源可作为具有短暂加热及随后冷却的 焊接过程（如点焊）的简化模型，其相应的数学解 还可以作为分析连续移动热源焊接过程的基础，因 此具有重要意义。
为获得简化的温度场计算分式，需要做一些假设：
• 在整个焊接过程中，热物理常数不随温度而改变； • 焊件的初始温度分布均匀，并忽略相变潜热； • 二维或三维传热时，认为彼此无关，互不影响； • 焊件的几何尺寸认为是无限的； • 热源集中作用在焊件上是按点状，线状或面状假定
2at R
2at
R2 x2 y2 z2,
2RdR 2xdx,
R x
x R
则 2T (T ) (T x ) T 1 x T
x2 x x x 2at
2at 2at x
T x (T x ) T ( x2 1) 2at 2at 2at 2at 2at
结果）。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
随着时间t延 长，温度T随 1/t3/2呈双曲线趋 势下降，双曲线 高度与Q成正比。 在中心以外的各 点，其温度开始 时随时间t的增加 而升高，达到最 大值以后，逐渐 随 t→0 而 下 降 到 环境强度T0。
图2-10
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.2.1、瞬时固定热源温度场
4.叠加原理
焊接过程中常常遇到各种情况，工件上可能有数 个热源同时作用，也可能先后作用或断续作用，对 于这种情况，某一点的温度变化可象单独热源作用 那样分别求解，然后再进行叠加。
叠加原理：假设有若干个不相干的独立热源作用在同 一焊件上，则焊件上某一点的温度等于各独立热源 对该点产生温度的总和，即
n
T T (ri ,ti ) i 1
其中；ri——第i个热源与计算点之间的距离， ti——第i个热源相应的传热时间。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
4.叠加原理
举例：薄板上，A热源作用5秒钟后， B热源开始作用，求B热源作用10秒 钟后，P点的瞬时温度。
由题意可知：tA=15s，tB=10s,则
2q
c[4a(t
t ' )]3
2
exp[
( x0
v t' ) 2 4a(t
y02 t')
z02
]
t
T (x0, y0, z0,t)
0
2qdt'
c[4a(t t')]3
2
exp[
( x0
vt')2 4a(t
y02 t')
z02
]
2.2.2、连续热源作用下的温度场
TA
QA
hc(4a 15)
exp[ ( AP)2 4a 15
b 15]
TB
QB
hc(4a 10)
exp[ (BP)2 4a 10
b 10]
TP TA TB
有了迭加原 理后，我们就可 处理连续热源作 用的问题，即将 连接热源看成是 无数个瞬时热源 迭加的结果。
2.2.2、连续热源作用下的温度场
焊接过程中，热源一般都是以一定的速度运动并连 续用于工件上。前面讨论的瞬时热源传热问题为讨论连 续热源奠定了理论基础。
在实际的焊接条件下，连续作用热源由于运动速度 （即焊接速度）不同，对温度场会产生较大影响。一般 可分为三种情况。
①热源移动速度为零，即相当于缺陷补焊时的情况， 此时可以得到稳定的温度场。
3.作用于无限长杆的瞬时面热源
热量Q在t=0时刻作用于横截面为A 的无限长杆上的X=0处的中央截面， Q均布于A面积上，形成与面积有关 系的热流密度Q/A，热量呈一维传播。
同样考虑散热的问题，求解一维导热微分方程，
可得：
T
T 0
Q
Ac(4at)1 2
exp(
x2 4at
b*t)
式中，b*=L/cA,为细杆的散温系数[1/s],=c+r
2T y 2
2T z 2 )
Q
R2
我们只要证明
T
c (4at )3
2
exp(
) 4at
是上面微分
方程一个特解即可。
在此令 u
Q
c (4at )3
2
,v
exp(
R2 ), 4at
R2
x2
y2
z2
T uv, T (uv) u v v u
则 t t
2.2.2、连续热源作用下的温度场
现考察开始加热之 后的时刻t’，热源位于 o’（vt’,0,0）点，在时 间微元dt’内，热源在o’ 点发出热量dQ=qdt’。 经过t-t’时期的传播， 到时间t时，在A点(x0,y0,z0)引起的温度变化为 dT(t’) 。在热源移动的整个时间t内，把全部路径 o0o上加进的瞬将热源和所引起的在A点的微小 温度变化迭加起来，就得到A点的温度变化T(t)
②当热源移动速度较慢时，即相当于手工电弧焊的条 件，此时温度分布比较复杂，处于准稳定状态，理论上 虽能得到满意的数学模型，但与实际焊接条件有较大偏 差。
③热源稳动速度较快时，即相当于快速焊接（如自动 焊接）的情况，此时温度场分布也较复杂，但可简化后 建立教学模型，定性分析实际条件下的温度场。
2.2.2、连续热源作用下的温度场
焊件为半无限体，热量只在半球中传播，则可对温
度场计算公式进行修正，即认为热量完全为半无限
体获得：
T
2Q
c (4at )3
2
exp(
R2 ) 4at
T0为初始温度。
在热源作用点（R=0）处，其温度为
(T
T0 )R0
2Q
c (4at )3
2
在此点，当t=0时，T-T0→∞，这一实际情况不符合 （电弧焊时，Tmax约为2500℃，这是点热源简化的
t
T (t) dT(t')
0
2.2.2、连续热源作用下的温度场
应用瞬时点热源的热传播方程:
dT
2q
c (4at )3
2
exp(
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R2 )
4at
此时
R2 (o' A)2 (x0 vt')2 y02 z02
热源持续时间是t-t0，则有
dT (x0,
y0 ,
z0 , t )
a c
T R2 3 T R2
T R2 3
( ) ( 3) ( )
t 4at 2 2t 2at
t 4at 2
等式两端完全相等，说明特解正确。因此， 只要确定常数项，即可得到通解。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
此时温度场是一个半径为R的等温球面，考虑到
连续作用的移动热源的温度场的数学 表达式可从迭加原理获得，迭加原理的应 用范围是线性微分方程式，而线性微分方 程式则应建立在材料特征值均与温度无关 的假设基础上，这种线性化在很多情况下 是可以被接受的。
2.2.2、连续热源作用下的温度场
1.作用于半无限体上的移动点热源 现假定：有不变
由于散热使微元体hdxdys的温度下降了dT， 则此 时失去的热能应为dQ:
dQ dT c dV dT c h dx dy
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
上两式相等，整理得：
2 (T T0 )dxdydt c h dTdxdy
t t
T t
Q
c(4at)3 2
exp( R2 ) ( 4at
R2 4a
)
(
1 t2
)
exp(
R2 4at
)
c
Q
(4a)3
2
(
3 2t 5
2
)
Q
c (4at )3
2
exp(
R2 ) ( 4at
R2 4at 2
3) 2t
T t
( R2 4at
3) 2
L为细杆的周长[mm]；
A为细杆的截面积[mm2] 。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
3.作用于无限长杆的瞬时面热源
在热源作用处（X=0），温度升高为
T
T 0
Q
Ac(4at)1 2
exp( b*t)
热流单向，在X=0处，温度随1/t1/2沿双曲线下降，而 趋势更缓和。
T 1 t T 1 t T 1 t3
式中；Q—焊件瞬时所获得的能量[J]；
R—距热源的距离，R2=X2+Y2+Z2[㎜]；
t—传热时间[s]；
c—焊件的容积[J/mm2℃]；
a—导温系数[mm2/s]。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
特解的证明：
由导热微分方程式
T t
c
2T ( x2
的。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
在这种情况下，热量Q在时间t=0的瞬间作用于半 无限大立方体表面的中心处，热量呈三维传播，在 任意方向距点热源为R处的点经过时间t时，温度增 加为T-T0。
求解导热微分方程，可有特解：
Q
R2
T
c (4at )3
2
exp(
) 4at
) 4at"
如果忽略焊接热过程的起始和收尾阶段（即不考虑
起弧和收弧），则作用于无限体上的匀速直线运动
的热源周围的温度场，可认为是准稳态的温度场。
如果将此温度场放在运动坐标系中，就呈现为具有
固定场参数的稳态温度场。
2.2.2、连续热源作用下的温度场
下面，我们考虑极限状态t∞，并设
R2 u2,
vR m,
dT dt
2 ch
(T
T0 )
bT
式中，b=2/ch被称为散温系数[s-1]。
因此，焊接薄板时如考虑表面散热、 则导热微分方程式中应补充这一项，即：
T
2T 2T
t a( x2 y2 ) bT
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
此微分方程的特解为：
同理
2T T y2
y 2
( 1), 2at 2at
2T T z 2
z 2
( 1) 2at 2at
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
特解的证明：
将上面个式代入导热微分方程：
T ( R2 3) [ T ( x2 1 y2 1 z2 1)] t 4at 2 c 2at 2at 2at 2at
由于 4at
2a
0
exp(u 2
m2 u2
)du
exp(2m)
2
exp( vR)
上式属于固定是坐标系(o0,x0,y0,z0)， 对于运 动坐标系(o,x,y,z)来说，由于
x x0 vt,
y y0,
设tt-t,带入上式，得
z z0
2q
vx t dt"
v2t" x2 y2 z2
T (x, y, z,t) c(4a)3 2 exp( 2a )0 t"3 2 exp( 4a
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源 特解的证明：
同样，求 ，T 即在ox方向上的温度梯度：
x
T T R
Q
exp( R2 ) ( 2R ) R ) T R x T ( x )
x R x c(4at)3 2
4at 4at x
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
当 薄 板 表 面 的 温 度 为 T0 时 ， 在 板 上 取 一 微 元 体 hdxdy，在单位时间内微元体损失的热能为dQ:
dQ 2 (T T0 )dxdydt
式中；2—考虑双面散热 —表面散热系数[J/mm2sK] T—板表面温度[℃] T0—周围介质温度[℃]
T
T
0
Q
hc (4at )
exp(
r2 4at
bt)
此为薄板瞬时线热源传热计算公式，可见， 其温度分布是平面的，以r为半径的圆环。
在热源作用处（r=0），其温度增加为：
Q
T T 0 hc(4at) exp( bt)
温度以1/t双曲线趋势下降，下降的趋势比 半无限体缓慢。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
在厚度为h的无限大板上，热源集中作用 于某点时，即相当于线热源（即沿板厚方向上 热能均匀分布）。
t=0时刻，热量Q作用 于焊件，焊接初始强度 为T0。求解距热源为R的 某点，经过t妙后的温度。 此时可用二维导热微分 方程求解，对于薄板来 说，必须考虑与周围介 质的换热问题。
功率为 q的连续作用 点热源沿半无限体表 面匀速直线移动，热 源移动速度为v。在 t=0时刻热源处于o0位 置，热源沿着o0x0坐标轴运动。从热源开始作用 算起，经过t时刻，热源运动到o点，o0o的距离 为vt，建立运动坐标系oxyz，使ox轴与o0x0重合， o为运动坐标系的原点，oy轴平行于o0y0,oz轴平 行于o0z0。
2.2 焊接温度场
2.2.1、瞬时固定热源温度场
瞬时固定热源可作为具有短暂加热及随后冷却的 焊接过程（如点焊）的简化模型，其相应的数学解 还可以作为分析连续移动热源焊接过程的基础，因 此具有重要意义。
为获得简化的温度场计算分式，需要做一些假设：
• 在整个焊接过程中，热物理常数不随温度而改变； • 焊件的初始温度分布均匀，并忽略相变潜热； • 二维或三维传热时，认为彼此无关，互不影响； • 焊件的几何尺寸认为是无限的； • 热源集中作用在焊件上是按点状，线状或面状假定
2at R
2at
R2 x2 y2 z2,
2RdR 2xdx,
R x
x R
则 2T (T ) (T x ) T 1 x T
x2 x x x 2at
2at 2at x
T x (T x ) T ( x2 1) 2at 2at 2at 2at 2at
结果）。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
随着时间t延 长，温度T随 1/t3/2呈双曲线趋 势下降，双曲线 高度与Q成正比。 在中心以外的各 点，其温度开始 时随时间t的增加 而升高，达到最 大值以后，逐渐 随 t→0 而 下 降 到 环境强度T0。
图2-10
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.2.1、瞬时固定热源温度场
4.叠加原理
焊接过程中常常遇到各种情况，工件上可能有数 个热源同时作用，也可能先后作用或断续作用，对 于这种情况，某一点的温度变化可象单独热源作用 那样分别求解，然后再进行叠加。
叠加原理：假设有若干个不相干的独立热源作用在同 一焊件上，则焊件上某一点的温度等于各独立热源 对该点产生温度的总和，即
n
T T (ri ,ti ) i 1
其中；ri——第i个热源与计算点之间的距离， ti——第i个热源相应的传热时间。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
4.叠加原理
举例：薄板上，A热源作用5秒钟后， B热源开始作用，求B热源作用10秒 钟后，P点的瞬时温度。
由题意可知：tA=15s，tB=10s,则
2q
c[4a(t
t ' )]3
2
exp[
( x0
v t' ) 2 4a(t
y02 t')
z02
]
t
T (x0, y0, z0,t)
0
2qdt'
c[4a(t t')]3
2
exp[
( x0
vt')2 4a(t
y02 t')
z02
]
2.2.2、连续热源作用下的温度场
TA
QA
hc(4a 15)
exp[ ( AP)2 4a 15
b 15]
TB
QB
hc(4a 10)
exp[ (BP)2 4a 10
b 10]
TP TA TB
有了迭加原 理后，我们就可 处理连续热源作 用的问题，即将 连接热源看成是 无数个瞬时热源 迭加的结果。
2.2.2、连续热源作用下的温度场
焊接过程中，热源一般都是以一定的速度运动并连 续用于工件上。前面讨论的瞬时热源传热问题为讨论连 续热源奠定了理论基础。
在实际的焊接条件下，连续作用热源由于运动速度 （即焊接速度）不同，对温度场会产生较大影响。一般 可分为三种情况。
①热源移动速度为零，即相当于缺陷补焊时的情况， 此时可以得到稳定的温度场。
3.作用于无限长杆的瞬时面热源
热量Q在t=0时刻作用于横截面为A 的无限长杆上的X=0处的中央截面， Q均布于A面积上，形成与面积有关 系的热流密度Q/A，热量呈一维传播。
同样考虑散热的问题，求解一维导热微分方程，
可得：
T
T 0
Q
Ac(4at)1 2
exp(
x2 4at
b*t)
式中，b*=L/cA,为细杆的散温系数[1/s],=c+r
2T y 2
2T z 2 )
Q
R2
我们只要证明
T
c (4at )3
2
exp(
) 4at
是上面微分
方程一个特解即可。
在此令 u
Q
c (4at )3
2
,v
exp(
R2 ), 4at
R2
x2
y2
z2
T uv, T (uv) u v v u
则 t t
2.2.2、连续热源作用下的温度场
现考察开始加热之 后的时刻t’，热源位于 o’（vt’,0,0）点，在时 间微元dt’内，热源在o’ 点发出热量dQ=qdt’。 经过t-t’时期的传播， 到时间t时，在A点(x0,y0,z0)引起的温度变化为 dT(t’) 。在热源移动的整个时间t内，把全部路径 o0o上加进的瞬将热源和所引起的在A点的微小 温度变化迭加起来，就得到A点的温度变化T(t)
②当热源移动速度较慢时，即相当于手工电弧焊的条 件，此时温度分布比较复杂，处于准稳定状态，理论上 虽能得到满意的数学模型，但与实际焊接条件有较大偏 差。
③热源稳动速度较快时，即相当于快速焊接（如自动 焊接）的情况，此时温度场分布也较复杂，但可简化后 建立教学模型，定性分析实际条件下的温度场。
2.2.2、连续热源作用下的温度场
焊件为半无限体，热量只在半球中传播，则可对温
度场计算公式进行修正，即认为热量完全为半无限
体获得：
T
2Q
c (4at )3
2
exp(
R2 ) 4at
T0为初始温度。
在热源作用点（R=0）处，其温度为
(T
T0 )R0
2Q
c (4at )3
2
在此点，当t=0时，T-T0→∞，这一实际情况不符合 （电弧焊时，Tmax约为2500℃，这是点热源简化的
t
T (t) dT(t')
0
2.2.2、连续热源作用下的温度场
应用瞬时点热源的热传播方程:
dT
2q
c (4at )3
2
exp(
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R2 )
4at
此时
R2 (o' A)2 (x0 vt')2 y02 z02
热源持续时间是t-t0，则有
dT (x0,
y0 ,
z0 , t )
a c
T R2 3 T R2
T R2 3
( ) ( 3) ( )
t 4at 2 2t 2at
t 4at 2
等式两端完全相等，说明特解正确。因此， 只要确定常数项，即可得到通解。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
此时温度场是一个半径为R的等温球面，考虑到