2019-2020学年山东省青岛市胶州市高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年山东省青岛市胶州市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 已知扇形的圆心角为30∘，半径为6，则该扇形的弧长为（）
A.π
B.π
2C.π
3
D.π
4
2. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速
v（单位：m/s）可以表示为v=1
2log3Q
100
，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数．当一条
鲑鱼的游速为3
2
m/s时，则它的耗氧量的单位数为（）
A.900
B.1600
C.2700
D.8100
3. 函数f(x)=
√3−2x
lg(x+2)的定义域是（）
A.(−2, 3
2) B.(−2, 3
2
] C.(−2, +∞) D.(3
2
,+∞)
4. 角θ的终边上一点(−1,√3)，则cos(θ−π
2
)=()
A.√3
2B.−√3
2
C.1
2
D.−1
2
5. 已知θ∈(0, π)，则“θ=π
6
”的必要不充分条件是（）
A.cosθ=√3
2B.sinθ=1
2
C.tanθ=√3
3
D.sinθ=√3
2
6. 函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象的交点个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.不确定
7. 函数f(x)＝cos2x+sin x(x∈R)的最大值为（）
A.−1
B.3
4C.1 D.5
4
8. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝f(x+4)，且f(1)＝1，则f(2019)+
f(2020)＝（）
A.−1
B.0
C.1
D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
下列函数是偶函数的是（）
A.f(x)＝tan x
B.f(x)＝sin x
C.f(x)＝cos x
D.f(x)＝lg|x|
已知a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin(cos1)，则下述正确的是（）
A.a>b
B.a>c
C.b>c
D.b>0
已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) ln x,x∈(0,1)
−x2+4x−3,x∈[1,+∞)
，若函数g(x)＝f(x)−m恰有2个零点，则实数m可以是（）
A.−1
B.0
C.1
D.2
已知0<α<β<π
2
，且tanα，tanβ是方程x2−kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）
A.tanα+tanβ＝−k
B.tan(α+β)＝−k
C.k>2√2
D.k+tanα≥4
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
若tanθ＝2，则3cosθ−sinθ
cosθ+sinθ
=________．
已知幂函数f(x)的图象经过点(2,√2)，则f(4)的值为________．
求值：sin220∘(tan10∘−√3)＝________．
已知函数f(x)=log1
2x+a，g(x)＝x2−2x，对任意的x1∈[1
4
,2]，总存在x2∈
[−1, 2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知集合A＝{y|y＝2x, −1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|−1<ln x≤2}，集合C＝{x∈R|x2−x−6≥0}．
（1）求B∩C；
（2）设全集U ＝R ，求(∁U A)∩C ；
（3）若a =lg 0.05−e ln 7+272
3−lg 1
2
，证明：a ∈A ∪B ．
已知函数f(x)＝1+log a x(a >0, a ≠1)的图象恒过点A ，点A 在直线y ＝mx +n(mn >0)上．
（1）求1
m +1
n 的最小值；
（2）若a ＝2，当x ∈[2, 4]时，求y ＝[f(x)]2−2f(x)+3的值域．
已知函数f(x)=√3sin 2x +2+2cos 2x ． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f(x)在[0,π
2]上的最小值．
函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0,0<ω<16,0<φ<π
2)在R 上的最大值为√2，f(0)＝1． （1）若点(π
8,√2)在f(x)的图象上，求函数f(x)图象的对称中心；
（2）将函数y ＝f(x)的图象向右平移π
4ω个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1
2，得函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)在[0,π
8]上为增函数，求ω的最大值．
如图，长方形ABCD 中，AB ＝2，BC =√3，点E ，F ，G 分别在线段AB ，BC ，DA （含端点）上，E 为AB 中点，EF ⊥EG ，设∠AEG ＝θ．
（1）求角θ的取值范围；
（2）求出△EFG周长l关于角θ的函数解析式f(θ)，并求△EFG周长l的取值范围．
设函数f(x)的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D(x1<x2)满足f(x1)+f(x2)＝1，则称区间D为函数f(x)的V区间．
+lg x的V区间；
（1）证明：区间(0, 2)是函数f(x)=1
2
)x的V区间，求实数a的取值范围；
（2）若区间[0, a](a>0)是函数f(x)=(1
2
在区间[0, +∞)上的图象连续不断，且在[0, +∞)上仅（3）已知函数f(x)=sin x−ln(1+x)
e x
有2个零点，证明：区间[π, +∞)不是函数f(x)的V区间．
参考答案与试题解析
2019-2020学年山东省青岛市胶州市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1.
【答案】
A
2.
【答案】
C
3.
【答案】
A
4.
【答案】
A
5.
【答案】
B
6.
【答案】
C
7.
【答案】
D
8.
【答案】
A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
【答案】
C,D
【答案】
A,B
【答案】
A,B,C
【答案】
B,C
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
【答案】
1
3
【答案】
2
【答案】
1
【答案】
[0, 1]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】
（2）全集U＝R，∁U A＝(−∞, 1
2
)∪(4, +∞)
∴(∁U A)∩C=(−∞, −2]∪(4, +∞)
（3）∵a=lg0.05−e ln7+2723−lg1
2=lg0.05−7+9−lg1
2
=lg0.1+2＝1(1)∴1∈
A，1∈B(2)∴a∈A∪B．【答案】
∵log
a 1＝0，∴函数f(x)＝1+log
a
x的图象恒过点A的坐标为(1, 1)，
∵点A(1, 1)在直线y＝mx+n(mn>0)上，∴m+n＝1，
∵mn>0，∴n
m >0,m
n
>0
∴1
m +1
n
=(1
m
+1
n
)(m+n)=2+n
m
+m
n
≥2+2√n
m
×m
n
=4，当且仅当m＝n时，等
号成立，
∴1
m +1
n
的最小值为4；
当a＝2时，f(x)＝1+log
2x，
∴y=(1+log2x)2−2(1+log2x)+3=(log2x)2+2，
∵2≤x≤4，∴1≤log
2x≤2，
∴3≤y≤6，
∴y的值域为：[3, 6]．
【答案】
f(x)=√3sin2x+2+2cos2x=√3sin2x+cos2x+3＝2sin(2x+π
6
)+3，
T＝π，
令1
2π+2kπ≤2x+π
6
≤3π
2
+2kπ，k∈Z，
解可得，π
6+kπ≤x≤2π
3
+kπ，
即函数的单调递减区间为(π
6+kπ,2π
3
+kπ)，k∈Z，
由0≤x≤1
2π可得，π
6
≤2x+π
6
≤7π
6
，
所以−1
2≤sin(2x+π
6
)≤1即函数的最小值2．
【答案】
由题意，A=√2，
由f(0)=√2sinφ＝1，得sinφ=√2
2
，
∵0<φ<π
2，∴φ=π
4
，
则f(x)=√2sin(ωx+π
4
)．
又√2=√2sin(π
8ω+π
4
)，∴sin(π
8
ω+π
4
)＝1．
得π
8ω+π
4
=π
2
+2kπ，k∈Z．
∴ω＝2+16k，k∈Z．
∵0<ω<16，∴取k＝0，得ω＝2．∴f(x)=√2sin(2x+π
4
)．
由2x+π
4=kπ，得x=kπ
2
−π
8
，k∈Z．
∴函数f(x)图象的对称中心为(kπ
2−π
8
, 0)，k∈Z；
将函数y＝f(x)的图象向右平移π
4ω
个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到
原来的1
2
，得函数y＝g(x)的图象，
则g(x)=√2sin(4x−π
2ω+π
4
)．
由−π
2+2kπ≤4x−π
2ω
+π
4
≤π
2
+2kπ，k∈Z，
−3π
16+kπ
2
+π
8ω
≤x≤π
16
+kπ
2
+π
8ω
，k∈Z，
取k＝0，得−3π
16+π
8ω
≤x≤π
16
+π
8ω
．
由y＝g(x)在[0,π
8
]上为增函数，得
{−3π
16
+π
8ω
≤0
π
16
+π
8ω
≥π
8
，解得2
3
≤ω≤2．
∴ω的最大值为2．
【答案】
因为长方形ABCD中，AB＝2，BC=√3，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．
∴当点F在点C时，这时角θ最小，求得此时θ=π
6
；
当点G在D点时，这时角θ最大，求得此时θ=π
3
．
∴角θ的取值范围：[π
6, π
3 ]；
△EFG 周长l ＝EG +EF +FG =1cos θ
+
1sin θ
+√(
1sin θ
)2+(
1cos θ
)2；
∴ f(θ)=
cos θ+sin θ+1cos θ⋅sin θ
；θ∈[π6
, π
3
]；
设sin θ+cos θ＝t ，则sin θ⋅cos θ=t 2−12
；
∴ f(θ)=
t+1
t 2−12
=
2
t−1
由θ∈[π6
, π3]；得5π12
≤θ+π4
≤7π12
，得
√3+12
≤t ≤√2，
∴
√3−12
≤t −1≤√2−1，
从而√2+1≤1
t−1≤√3+1， 当θ=π
4时，f(θ)min ＝2(√2+1)，
当θ=π6或π
3时，f(θ)max ＝2(√3+1)，
∴ △EFG 周长l 的取值范围：[2(√2+1), 2(√3+1)] 【答案】
证明：设x 1，x 2∈(0, 2)(x 1<x 2)，若f(x 1)+f(x 2)＝1，则1
2+lg x 1+1
2+lg x 2＝1， 所以lg x 1+lg x 2＝lg (x 1x 2)＝0，即x 1x 2＝1， 取x 1=4
5，x 2=5
4，满足定义，
所以区间(0, 2)是函数f(x)=1
2+lg x 的V 区间；
因为区间[0, a]是函数f (x)＝(1
2
)x 的V 区间，
所以∃x 1，x 2∈[0, a](x 1<x 2)，使得(12)x 1+(1
2)x 2=1， 因为f(x)＝(1
2)x 在[0, a]上单调递减，
所以(12)x 1>(12)a ，(12)x 2≥(12)a ，(12)x 1+(12)x 2≥2⋅(12)a ＝(1
2)a−1， 所以(1
2)a−1<1，即a −1>0，即a >1，
故所求实数a 的取值范围为(1, +∞)； 证明：因为f(π
2)=
1−ln (1+π2
)
e π2
>0，f(π)=−
ln (1+π)e π
<0，
所以f(x)在(π2, π)上存在零点．
又因为f(0)＝0，
所以函数f(x)在[0, π)上至少存在两个零点． 因为函数f(x)在[0, +∞)上仅有2个零点， 所以f(x)在[π, +∞)上不存在零点，
又因为f(π)<0，所以∀x ∈[π, +∞)，f(x)<0，
所以∀x1，x2∈[π, +∞)(x1<x2)，f(x1)+f(x2)<0，
即因此不存在∀x1，x2∈[π, +∞)(x1<x2)，满足f(x1)+f(x2)＝1，所以区间[π, +∞)，不是函数f(x)的V区间．。