高中数学经典解题技巧和方法：平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量

一、向量的有关概念及运算

解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。

（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻

（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。

例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=

（，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ）

A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0=

B. a ⊙b = b ⊙a

C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b

D. (a ⊙b )2222()a b a b +⋅=

>

【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决

问题的能力.

【思路点拨】根据所给定义逐个验证.

【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙

b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B.

【方法技巧】自定义型信息题

1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.

2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相

似性和一致性

二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥⇔=⇔+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。

2．求长度问题：2||a a a =，特别地2211221212(,),(,),||()()A x y B x y AB x x y y =-+-则。

@

3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据

1212

2

22

21122cos(,).||||a b a b a b x y x y ==++

例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于（ ）

A 、-16

B 、-8

C 、8

D 、16

【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.

【思路点拨】由于C ∠=90，因此选向量CA ，CB 为基底.

【规范解答】选D .AB AC ⋅=(CB-CA)·(-CA)=-CB ·CA+CA 2=16.

【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.

2. （2010·广东高考文科·Ｔ5）若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a —b )·c =30，则x=( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

`

【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.

【思路点拨】 先算出8a b -，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x

【规范解答】选C . 8a b -8(1,1)(2,5)(6,3)=-=，所以(8)(6,3)(3,)a b c x -⋅=⋅

30=. 即：18330x +=，解得：4x = ，故选C .

三、向量与三角函数的综合

例3．在直角坐标系

)..20)(,sin (),0,8(),2,1(,R a ∈≤≤-=t t k B A xOy π

θθ又点已知向量中

（I ）若OB AB OA AB 求向量且|,|||,=⊥a ；

（II ）若向量a 与向量AB 共线，当.,4sin ,4OB OA t k ⋅>求时取最大值为且θ

【解析】（1）028sin ,),,8sin (=++-∴⊥-=t k t k θθa …………2分

* 又22)8sin (64|,|||t k +-=∴=θ 解得4016540165

sin sin 5

5,8585

k k t t θθ⎧⎧+-==⎪⎪⎪⎪⎨⎨

⎪⎪

==⎪⎪⎩⎩或 ………………4分

4016585()OB +∴=或40165

85

OB -

= …………6分

（II ）16sin 2,+-=∴θk t 共线与向量a ………………8分

k k k k t 32)4(sin 2sin )16sin 2(sin 2+--=+-=∴θθθθ k t k k k 32sin ,4sin ,140,4取最大值为时又θθ=∴<<∴> …………10分 )8,4(,6

,8,432====OB k k πθ此时得由 (8,0)(4,8)32OA OB ∴⋅=⋅= ………………12分

注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。

例4．（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量a ，b 满足0,1,2a b a b •===，则2a b -=（ ）

#

A ．0

B ．22

C ．4

D ．8

【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.

【思路点拨】根据公式2

a a =进行计算，或数形结合法，根据向量的 三角形法则、平行四边形法则求解.

【规范解答】选B （方法一）222242a b a b a a b b -=-=-⋅+2() 40422=-+=；（方法二）数形结合法：由条件0a b •=知，以向量

a ，

b 为邻边的平行四边形为矩形，又因为1,2a b ==，所以2=2a ，

则2a b -是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为22，如图所示.

【方法技巧】方法一：灵活应用公式2a a =

， ；

方法二：熟记向量0a b a b ⊥⇔•=及向量和的三角形法则

例5．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）△ABC 中，点D 在

边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a ,

CA = b , 1,2a b ==， 则CD =（ ）

（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35

b 【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。

【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2

这样可以用向量a , b 表示CD 。