用初等变换求逆矩阵
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有 E ~ A 。那么，把E变为A的初等变换所对应的初等矩阵为
P 1P 2P l ,即有：P 1 P 2 P r E P r 1 P l A ，所以 A P 1 P 2 P l
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（3）→（4） ，由 A P 1 P 2 P l
有 P l1LP 21P 11AE 由于 Pl1,L,P21,P 11仍是初等矩阵，上式说明对A
AX = B 的解 X = A–1B. 特别, 若 (A E ) r (E A 1 )
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例1：设
A
1 1
3 2
1 2 7 5
0 0 2 1
0
0 3 2
，试用初等变换法求
A1.
解： 11
1 2
0 0
0 0
3 2
7 5
2 1
3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。 （4）→（1） 设A可经有限次初等行变换可化为E，
则存在初等矩阵 Q1,Q2,L,Ql ，使
Q 1Q 2LQ lAE
由于 初等矩阵 Q1,Q2,L,Ql 可逆， 所以A可逆。证毕。
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给定n 阶可逆方阵 A 及 n×s 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ?
0 0
1 1Biblioteka Baidu
1 2
2 1
3 2
所以
2
A1
1 1 1
1 1 1 2
0 0 2 1
0 0
23
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1 2 1 2
例2若. 设可逆B， 求142其115逆阵142
1 B1–11。
问B是否可逆？
解法1.
1 4
2 1
1 2
2 1
1 0
0 1
0 0
0 0
2 1
5 1
4 1
1 0 10
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r3(1) 00
1 0
1 1
0 2
1 1
03
00 1213
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r2 r3 r12r2
0 1 1 0 002 2 0 2 63 0 0 1 2 1 3
注意：这个 r2 是新的结果
可见 A – E 可逆, 且
X(AE)1A
2 2
2 0
63
2 1 3
注: 若要求 解YAC
方法一：由YAC,有YCA 1
0 0
0 1
1 1
r 2r 4r1 ,2r3 r1 3r1 000
1 4 3
0 0 2 1
0 0 3 2
1 1 3 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0
0 1
1 0 0 0 2 1 0 0
1 0 0 0 2 1 0 0
r 1rr42 ,r33 r 42r2 000
1 0 0
0 2 1
0 3 2
2. 用初等变换法求矩阵的逆 : (A E ) r (E A 1 )
3. 用初等变换法求 AX = B 的解 X =A–1B : (A B ) r (E A 1 B )
解 YA = C 转化为解 A YC 4. 与任意矩阵A 等价的三种简单矩阵
作业 P64. 25(1), （2）
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1 1 1
1 4 3
0 1 0
0 0 1
r 3r4 000
1 0 0
0 1 2
0 2 3
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0 0 1
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r 4 2r3 000
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1 3 2
0 0 1
0
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1 0 0 0 2 1 0 0
方法二：由YAC,有Y（ A ） C ,即A 有 Y C
(A C) r
思考: 设 A, B 可逆, AXB=C ?
(E (A ) 1C )
如何解矩阵方100程Y102
0 1 1
2 0 2
2 1 1
003
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内容小结
1. 矩阵的初等变换与初等矩阵 注意: 初等矩阵可逆, 其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵左乘 A ↔ 对A 作行变换 用初等矩阵右乘 A ↔ 对A 作列变换
即如何求 X = A–1B ?
分析: A 可逆
AP 1P 2P l (P i为初)等矩
左侧的意义：
对A、B 作相
同的行变换
A 1P l 1P 1 1 Q l Q 1(Q i为初)等
QlQ1AE即有 QlLQ1A1
QlQ1BA1B Q l Q 1 ( A B ) ( E A 1 B )
上式表明: 若 (A B ) r( E X ), 则 A 可逆, 且 X 即为
r 4 2r3 000
1 0 0
0 1 0
0 1 21 1 1
1 3 2
0 0 1
0
1 2
( 1 )r4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
2 1 1 1
0 0
0 0
1 1
3 2
0 1
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r 3 2r4
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 1 0 1 1 0
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例3. 求解 AX AX,其A 中 0 2 21 1 20 0 3. 解: 原方程变形为(AE)XA
(AE A)102
2 0 1
0 3 1
2 2 0
2 1 1
103
r2 2r1 r2 r3
1000
2 14 4
0 31 3
2 02 2
2 13 3
0303
r34r2 1 2 0 2 2 0
§2.6 用初等变换求逆矩阵
一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程
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一、等价定理
定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价： （1）A是可逆的 ； （2）A~E，E是n阶单位矩阵；
（3）存在n阶初等矩阵 P1,P2,L Pl,使 AP 1P 2LP l.
（4）A可经过有限次初等变换化为E. 证明1 （1）→（2）易证明(见书上证明) （2）→（3） 因为A ~ E，再由矩阵 等价的对称性，
1 0
0 1
r24 rr41,r3r12r1
1 0 0 0
2 9 9 3
1 2 69 63 23
1 4 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0
0 1
不可能化为
r4 13r2
1 0
2 9
1 6
2 9
0 0
9 0
6 0
3 0
1
4
2
1 3
0
1
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1 3
0 0 1 0
0 0
0 1
单位阵 可见B不可逆
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解法2. 利用 “A可逆 A ”
1 2 1 2
B
4 2
1 5
21 4 1
B 1124
2 1 5 1
1 2 4 1
12 11
11 1 1
1 3 2 3 c2c1,c3r1 4 3 2 3
c4 c1
2 3 2 3 10 0 0
3 2 3 3 2 3
3 2 3
一、二两行相同 ！
0 B不可逆
P 1P 2P l ,即有：P 1 P 2 P r E P r 1 P l A ，所以 A P 1 P 2 P l
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（3）→（4） ，由 A P 1 P 2 P l
有 P l1LP 21P 11AE 由于 Pl1,L,P21,P 11仍是初等矩阵，上式说明对A
AX = B 的解 X = A–1B. 特别, 若 (A E ) r (E A 1 )
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例1：设
A
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，试用初等变换法求
A1.
解： 11
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实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。 （4）→（1） 设A可经有限次初等行变换可化为E，
则存在初等矩阵 Q1,Q2,L,Ql ，使
Q 1Q 2LQ lAE
由于 初等矩阵 Q1,Q2,L,Ql 可逆， 所以A可逆。证毕。
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给定n 阶可逆方阵 A 及 n×s 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ?
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所以
2
A1
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例2若. 设可逆B， 求142其115逆阵142
1 B1–11。
问B是否可逆？
解法1.
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注意：这个 r2 是新的结果
可见 A – E 可逆, 且
X(AE)1A
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注: 若要求 解YAC
方法一：由YAC,有YCA 1
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r 2r 4r1 ,2r3 r1 3r1 000
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2. 用初等变换法求矩阵的逆 : (A E ) r (E A 1 )
3. 用初等变换法求 AX = B 的解 X =A–1B : (A B ) r (E A 1 B )
解 YA = C 转化为解 A YC 4. 与任意矩阵A 等价的三种简单矩阵
作业 P64. 25(1), （2）
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方法二：由YAC,有Y（ A ） C ,即A 有 Y C
(A C) r
思考: 设 A, B 可逆, AXB=C ?
(E (A ) 1C )
如何解矩阵方100程Y102
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2 0 2
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内容小结
1. 矩阵的初等变换与初等矩阵 注意: 初等矩阵可逆, 其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵左乘 A ↔ 对A 作行变换 用初等矩阵右乘 A ↔ 对A 作列变换
即如何求 X = A–1B ?
分析: A 可逆
AP 1P 2P l (P i为初)等矩
左侧的意义：
对A、B 作相
同的行变换
A 1P l 1P 1 1 Q l Q 1(Q i为初)等
QlQ1AE即有 QlLQ1A1
QlQ1BA1B Q l Q 1 ( A B ) ( E A 1 B )
上式表明: 若 (A B ) r( E X ), 则 A 可逆, 且 X 即为
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例3. 求解 AX AX,其A 中 0 2 21 1 20 0 3. 解: 原方程变形为(AE)XA
(AE A)102
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r2 2r1 r2 r3
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0303
r34r2 1 2 0 2 2 0
§2.6 用初等变换求逆矩阵
一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程
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一、等价定理
定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价： （1）A是可逆的 ； （2）A~E，E是n阶单位矩阵；
（3）存在n阶初等矩阵 P1,P2,L Pl,使 AP 1P 2LP l.
（4）A可经过有限次初等变换化为E. 证明1 （1）→（2）易证明(见书上证明) （2）→（3） 因为A ~ E，再由矩阵 等价的对称性，
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r24 rr41,r3r12r1
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单位阵 可见B不可逆
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解法2. 利用 “A可逆 A ”
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B
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一、二两行相同 ！
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