排队系统分析全

排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C及其他排队模型
第三节 M/M/1 排队模型
一、标准的M/M/1模型（M/M/1/ ∞ / ∞）
1.问题的一般提法
设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn；
（2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。
⎪N
⎪⎩ 2
Lq = Ls − (1− P0 )，
Ws
=
Ls
λe
，
Wq
=
Lq
λe
。
其中λe = λ(1 − PN )为有效到达率。
ρ ≠1 ρ =1
例3 某修理站只有1个修理工，且站内最多只能停
放3台待修理的机器。设待修理的机器按泊松流到 达，平均每小时到达1台；修理时间服从负指数分 布，平均每1.25小时可修理1台。
编组系统中列车的平均数
ρ=λ =2 μ3
Ls
=ρ 1− ρ
2
=3
1
−
2 3
=2
列车的平均停留时间
Ws
=
Ls
λ
=
2 2
=1
等待编组的列车平均数
Lq
=
Ls
−ρ
=
2−
2 3
=
4 3
每天由于列车站外等待而造成的费用损失：
24λWs
(1
−
P0
−
P1
−
P2
)a
=
24
×
2×
⎛ ⎜⎝
2 3
⎞3 ⎟⎠
a
=
14.2a
二. 排队模型的表示 火车站排队.flv
（X/Y/Z/A/B/C）
X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
二. 排队模型的表示
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS）表示：
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，1 个服务台，系统容量也无限，顾客源无限，先到先服务。
= 0.122;
(2) P4 = ρ 4P0 = 1.254 × 0.122 = 0.298;
(3) λe = λ(1 − P4 ) = 1× (1 − 0.298) = 0.702;
(4)
Ls
=ρ 1− ρ
−
(4 + 1)ρ 1− ρ5
5
=
1
1.25 − 1.25
−
5 1
× −
1.255 1.255
——因为是均值。
（2）Ws与Wq
逗留时间WS 服从参数为μ − λ 的负指数分布，而负指数
分布的均值等于其参数的倒数，故平均逗留时间
Ws
=
μ
1 −
λ
平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即
Wq
= Ws
−
1
μ
（3）上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls = λWs
Lq = λWq
Ls
−
Lq
到达的规律
描述顾客到达规律可从两方面
⎧⎪到达间隔（时间） ⎨⎪⎩到达数（数量）
现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有下述特征： （1）无后效性：不想交的时间区间内到达顾客数相互独立； （2）平稳性：增量与时间起点无关； （3）稀有性：瞬时内只可能有1个顾客到达。
到达的规律
称具有上述特征的输入为泊松流，其在 t 时段内到达 n个顾客的概率为
Pn，表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为Ls。
排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为Lq。
三.排队问题的求解
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间：
一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为Ws。
等待时间：
一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为Wq 。
第二节 到达与服务的规律
（M / M / C / N / ∞ / LCFS）表示：
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，C 个服务台，系统容量为N，顾客源无限，后到先服务。
若只讨论先到先服务的情况，可略去第6项。
三.排队问题的求解
描述系统运行状态的指标： 1. 队长和排队长
队长：系统中的顾客数；其概率分布称状态概率，记为
试求：（1）站内空闲率； （2）顾客损失率； （3）有效到达率； （4）站内平均队长； （5）机器为修理而需等待的平均时间。
解：此为(M / M / 1/ 4 / ∞)排队系统，
λ = 1，μ = 0.8，
ρ = 1 = 1.25。
0.8
(1)
P0
=
1− ρ 1 − ρ 4+1
= 1 − 1.25 1 − 1.255
注：由于系统稳态时应达到统计平衡，即进入速率应等于
离 去 速 率 ， 故 λ (1 − PN ) = μ (1 - P0 ) 。
2. 状态转移图
λ
λ
λ
λ
λ
0
1
2 ... n-1
n
n+1 ... N-1
N
μ
μ
μ
μ
μ
由此列出平衡方程：
⎧ ⎪ ⎨
λ λ
P0 Pn
=
−1
μ P1 + μPn
+1
=
(λ
+
μ ) Pn , n
∞
∑ ∴ Ls = nPn n=0 ∞ = ∑ nρ n (1− ρ) = n=0 =ρ= λ 1− ρ μ −λ
（1）Ls与Lq
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ Lq = (n − 1)Pn = nPn − Pn = Ls − (1 − P0 )
n=1
n=0
n=1
= Ls − ρ
问题： 为什么Ls − Lq = ρ < 1(而不是 = 1）呢？
（1）顾客源：分为 • 无限 ∞
(如电话呼唤)
• 有限 m (如车间里待修理的机器)
1. 输入过程
（2）到达规律：指到达间隔时间T 的分布
分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek
2. 排队规则
排队规则是指顾客到达系统后排队等 候服务的方式和规则。可分为三种类型： （1）损失制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则顾 客自动离去。
=
λ μ
Ws
− Wq
=
1
μ
一般的系统中需将到达率λ修改为有效到达率λe
例1 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾 客到达数服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间 服从负指数分布，平均需6分钟。
求：（1）修理店空闲的概率； （2）店内有3个顾客的概率； （3）店内至少有1个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）顾客在店内的平均逗留时间； （6）等待服务的顾客平均数； （7）平均等待修理时间； （8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
=
1,
⎪⎩ λPN- 1 = μPN
⎧ ⎪
P0
⎨
=
1− ρ 1 − ρ N +1
⎪ ⎩
Pn
=
ρ n P0
n = 1, 2,
ρ = 1 : P0 = P1 =
=
PN
=
1 N +1
,N -1 ,N
3. 系统运行指标
∑ Ls
=
⎧N
⎪⎪ ⎨
n=0
nPn
=
ρ 1− ρ
−
(N +1)ρ N +1 1− ρ N +1
(1) 求该编组系统中列车的平均数，每一列车的 平均停留时间和等待编组的列车平均数。
(2) 如果列车因站内的2股车道均被占用而停在站 外或前方站时，每列车的费用为每小时a元，求每 天由此而造成的平均费用损失。
本例可看做一个标准的M/M/1系统，λ=2 列/h,
μ = 1 列/min=3 列/h,
20
二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/ N /∞）
1.与（M/M/1/∞ / ∞）的区别
(1) 系统状态 n = 0，1， ，N;
医院排队视频 幼儿园入园视频
(2) 进入系统的速率
⎧λ, ⎨⎩0,
当 n<N 当n ≥ N
故平均到达率 λe = λ(1− PN ) + 0PN = λ(1− PN )
fv (t)
=
⎧μe −μt , t ≥
⎨ ⎩ 0,
t<
0 0
平均对每位顾客的服务时间为 1 μ
参数 μ 的含义——服务率
注：负指数分布的一般化——爱尔朗分布，可用于描
述由道程序组成的 k 个服务台的服务时间的分布。
第五章 排队系统分析
（Queuing Systems Analysis）
第一节 第二节 第三节 第四节
=
4 6
=
2 3
(人）;
(5)
Ws
=
1
λ
Ls
=
1 (小时）; 6
(6)
Lq
=
Ls
−
ρ
=
2 3
−
2 5
=
4 15
(人）;
(7)
Wq
= Ws
−
1
μ
=
1 6
−1 10
=
1 (小时）; 15
(8)
P(W
≥
1)
=1−
P(W
<
1)
=1−
F(1)
=
−(10−4) 1
e
4
=
e−1.5
=
0.223。
4
4
4
例2考虑一个铁路列车编组站，设待编列车到达 时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达２ 列；编组站的编组时间也服从负指数分布，平均 每20分钟可编一组。该编组站内共有2股车道，当 均被占用时，再来的列车只能停在站外或前方 站。
= 2.44(台)；
(5)
Wq
=
Lq
λe
=
Ls
− (1 −
λe
P0 )
=
2.44 − (1 − 0.122) 0.702
现实中的例子：
•程控电话交换系统 •知识竞赛的抢答环节
2. 排队规则
（2）等待制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则留下 来等待，直至被服务完离去。 等待的服务规则又可分为： • 先到先服务（FCFS） • 后到先服务（LCFS） • 带有优先权的服务（PS）
2. 排队规则
（3）混合制
是损失制和等待制的混合。允许排队但不允 许队列无限长；或允许等待但不允许等待时间无 限长。
>
t0
)
=
P (T > t0 + t ) P (T > t0 )
=
e−λ(t0 +t) e−λt0
=
e−λt
=
P (T
> t)
¾进一步：负指数分布的密度函数为:
fT
(t
)
=
⎧λe −λt
⎨ ⎩0,
,t t
≥ <
0 0
1
参数 λ 即其均值的倒数。因此，λ 的含义是平均间隔时间，
这与 λ 为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
Pn (t)
=
(λt)n
n!
e−λt , n
=
0,1,
即参数为 λt 的泊松分布。
; λ>0
¾ 讨论： λ的含义？
单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。
¾ 问题：当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间T
是服从什么分布呢？
因为到达为泊松流，所以 t 时段内没有来顾客的概率为
P0
(t)
=
( λt )0
+
μ )Pn,
n
≥
1
可解得状态概率：
⎧ ⎪⎪
P0
=
1
−
λ μ
⎨
⎪ ⎪⎩
Pn
=
(
λ μ
)n (1
−
λ μ
),
n
≥
1
（2）由平衡方程解得状态概率
记
λ μ
=
ρ
，称为服务强度，规定 ρ
< 1，则
⎧P0 = 1 − ρ
⎨ ⎩ Pn
=
ρ nP0
系统运行指标 （1）Ls与Lq
∵ Ls表示系统中的平均顾客数，由期望定义，
到达的顾客
不能运转的机器 修理技工 电话呼唤 病人 驶入港口的货船 来到路口的汽车 进入餐馆的顾客
要求服务内容
修理 领取修配零件 通话 就诊 装货或卸货 通过路口 就餐
服务机构
修理技工 发放零件的管理员
交换台 医生 码头(泊位) 交通警或红绿灯 餐位的服务员
1. 输入过程
输入过程是指顾客到达排队系统的过程，对 此我们主要讨论两方面内容：
服从负指数分布的情形：
高度耐磨损的电子元器件
假若 T 表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了t0 时
间后估计它还能再使用时间的概率，与它全新时估计用 时间的概率一样，即它对已使用了的 t0 时间无记忆。说 明这种元件是高度耐磨损的。
二. 服务的规律
主要是采用系统对顾客服务时间v的分步。主要
讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，即
解：
此为标准的 M/M/1 模型，
λ = 4人 / 小 时 ， μ = 1 人 / 分 钟 = 10人 / 小 时 ，
6
ρ = λ = 2。 μ5
(1)
P0
=
1−
ρ
=
3 5
;
(2)
P3
=
ρ 3(1−
ρ)
=
( 2 )3 ( 3) 55
=
0.0384;
(3) 1 −
P0
=
2 5
;
(4)
Ls
=
λ μ −λ
• 系统容量有限制：码头的泊位
• 等待时间有限制：医院的专家号
3.服务机构
对服务机构的研究内容主要有服务设 施（称为服务台⎧）=的1 数量和服务的规律。
（1）服务台个数 C ⎩⎨> 1 (并列多台)
（2）服务规律：指服务时间 v 的分布
分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek • 一般分布 G
0!
e−λt
=
e−λt
所以，t 时段内有顾客到来（即间隔 T ≤ t ）的概率为
FT
(t)
=
P(T
≤
t)
=
⎧1− e−λt ⎨ ⎩0
t≥0 t<0
到达数为泊松流 到达间隔服从负指数分布（同参数）
负指数分布满足无后效性
证：由条件概率公式得
P (T
>
t0
+
t
TБайду номын сангаас
>
t0
)
=
P (T
> t0 + t ) ∩ (T P (T > t0 )
第五章 排队系统分析
（Queuing Systems Analysis）
第一节 第二节 第三节 第四节
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C及其他排队模型
第一节 排队的基本概念
一.排队系统的组成
顾 到达 客 源
队列
服 务 离去 机 构
第一节 排队的基本概念
现实世界中形形色色的排队系统
献血排队
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程
λ
λ
λ
λ
0
1
2 ... n-1
n
n+1 ...
μ
μ
μ
μ
由此列出平衡方程：
⎩⎨⎧λλPP0n−=1
μP1 + μPn+1
=
(λ
+
μ )Pn ,
n
≥
1
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程：
⎩⎨⎧λλPP0n−=1
μP1 + μPn+1
=
(λ