专题四 第1讲 运动的合成与分解

【触类旁通】 1．(2011 年汕头模拟)质点做曲线运动从 A 到 B 速率逐渐增 加，如图所示．有四位同学用示意图表示 A 到 B 的轨迹及速度 方向和加速度的方向，其中正确的是( )
解析：曲线运动的轨迹夹在合外力与速度方向之间，故 B、 C 项错误．由于质点从 A 到 B 速率逐渐增加，则加速度与速度 的夹角应小于 90°，只有 D 项正确． 答案：D
图 19
d 100 最短时间 tmin＝v ＝ 4 s＝25 s 2
图 20
2 2 2 船的合速度 v＝ v2 ＋ v ＝ 3 ＋ 4 m/s＝5 m/s 1 2
船的位移 s＝vtmin＝5×25 m＝125 m.
(2)欲使船航行距离最短，由于 v2＞v1，所以船的实际位移
可以垂直河岸，到达正对岸．最小距离为 d＝100 m. 如图 20 所示，设船头与河岸成θ角，有
强度方向与电场力方向相反． 答案：D
备考策略：这一类问题在近年来的高考中频繁出现，怎样 快捷正确的判断呢？根据做曲线运动的物体所受的合力总是指 向物体运动轨迹曲线的凹侧，物体的加速度也指向曲线的凹侧， 而速度方向是沿轨迹线的切线方向，我们也可以简单地总结出： 曲线运动的轨迹夹在合外力与速度方向之间．根据这一规律， 可以帮助我们比较快捷的判断速度、合外力(加速度)和轨迹线 的空间关系．
共同产生的效果相同，则这一物体实际发生的运动叫做这两个
运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动． 2．合运动与分运动之间的关系 合运动与分运动之间有等效性、等时性，分运动之间还有 独立性． 3．运动的合成与分解 (1)运动的合成是唯一的，而运动的分解是无限的，在实际
问题中通常按实际效果来进行分解．
b 点的切线)(
)
解析：做曲线运动的物体，速度沿轨迹线的切线方向，所 受的合力总是指向物体运动轨迹曲线的凹侧，且当合力方向与 速度方向的夹角大于90°时，物体运动的速率减小．所以该题中 电场力方向是指向轨迹曲线的凹侧，并且与速度方向，即虚线
方向夹角要大于 90°.这里还需要注意的是，质点带负电，电场
d 短，最短时间为 t＝ . v船
图 4－1－2
(2)渡河的最短位移． ①若 v水<v船，最短的位移为河宽 d，此时渡河所用时间
d t＝ , 船头与河岸的夹角θ满足v船 cosθ＝v水 , 如图 v船 sinθ
4—1—3所示． ②若 v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂 直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽 d，寻找最短位移的 方法是：
速运动，必有加速度． (3)合外力一定不为零(必受到外力作用)．
2．物体做曲线运动的条件 (1)条件：物体所受合力(或加速度)的方向与它的速度方向 不在 同一直线上． ________ (2)说明：当合外力为恒力时，加速度恒定，物体做匀变速
曲线运动；合外力变化时，做非匀变速曲线运动(变加速度的曲
线运动)．
M、N 点进行分析，在 M 点恒力可能为如图 17 甲，在 N 点可 能为如图 17 乙．
图 17 综合分析知，恒力 F 只可能为如图 17丙，所以开始时恒力 与速度夹角为钝角，后来夹角为锐角，故速度先减小后增大， D 项正确． 答案：D
考点 2 运动的合成与分解 1．合运动与分运动 如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动
(2)运动的合成与分解遵从矢量合成与分解法则：平行四边 形法则或三角形法则． 4．两直线运动的合运动
匀速 直线运动． (1)两个匀速直线运动的合运动仍是________ (2)一个匀速直线运动和一个匀变速运动的合运动仍是匀
直 线运动；两者不共线时为 变速运动；两者共线时为匀变速____ 曲 线运动． 匀变速____ (3)两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动，当合初 直 线运动；当合初速度与合 速度与合加速度共线时为匀变速____ 曲 线运动． 加速度不共线时为匀变速____
正确．
2．(双选)关于曲线运动的说法正确的是( AB )
A．曲线运动是一种变速运动
B．做曲线运动的物体所受合外力一定不为零 C．做曲线运动的物体速度方向不断改变，加速度方向不 断改变 D．曲线运动不可能是一种匀变速运动 解析：曲线运动中速度的方向是时刻改变的，所以曲线运 动是一种变速运动，曲线运动具有加速度，由 F＝ma 知合外力 不为零，所以选项 A、B 正确．合外力变化，则是变加速运动， 合外力不变，则是匀变速运动．故 C、D 错误．
几年高考题中都有所体现，在近两年的
考题中考查得较少，但仍要引起注意．
续表
考点内容 6.万有引力定 要求 Ⅱ 热点考向 3．匀速圆周运动及其重要公式，特别是匀速圆周
律及其应用 7.环绕速度
8.第二宇宙速
运动的动力学特点要引起足够的重视，对天体运
动的考查都离不开匀速圆周运动．
Ⅱ 4．万有引力定律及利用定律解决相关的一些实际
)
B．两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是 直线运动
C．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀
加速直线运动
D．匀加速运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动
解析：两个直线运动的合成，若合加速度与合初速度不在 同一直线上，则为曲线运动，A 错误；两个匀速直线运动的合 成，合加速度为零，只有合初速度，所以为匀速直线运动，B 正确；两个初速度为零的匀加速直线运动的合成，合初速度为
问题，特别是天体运动是近几年考查的热点，几
乎年年有题，年年翻新，特别以近几年中国及世 Ⅰ 界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐．
度和第三宇宙
速度
5．本专题的一些考题常是本章内容与电场、磁
场、机械能等知识的综合题和与实际生活、新科 技、新能源等结合的应用性题，这种题难度较
9.经典时空观和
相对论时空观
尾对尾．在三角形中，哪条边都有可能表示合速度，也都有可
能表示分速度，故不能明确说明合速度与分速度的大小关系．
对速度如此，对加速度、位移也都如此．所以 A、B 错误．依
照合运动与分运动的等效性、等时性和分运动的独立性可知，
C 错误，D 正确．
答案：D
5．(双选)有关运动的合成，以下说法中正确的是( A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
v2，如图 18 所示．v 为合速度，v1、v2 为分
速度，所以 v1＝vcosα.由于 v 不变，当 B 向
图 18
右运动时，α减小，故v1 增大，且v1＜v，则物体 A 加速上升， 有向上的加速度，并且其速度始终小于B 的速度，故 A、C 不 正确．由牛顿第二定律可知B正确．当α＝90°时，地面对物体
专题四
曲线运动 万有引力定律
考点内容 1.运动的合成与分解 2.抛体运动 3.匀速圆周运动、角
要求 Ⅱ
热点考向 1.本专题是牛顿运动定律在曲线运动中 的具体应用，而万有引力定律是力学中 一个重要的独立的基本定律．运动的合 成与分解是研究复杂运动的基本方法． 2．平抛运动的规律及其研究思想在前
Ⅱ
速度、线速度、向心 Ⅰ 加速度 4.匀速圆周运动的向 心力 5.离心现象 Ⅱ Ⅰ
Ⅰ
大，学习过程中应加强综合能力的培养.
第 1 讲 运动的合成与分解
考点 1 曲线运动的条件和轨迹的判断
1．曲线运动的特点 (1)曲线运动的速度方向：质点在某一点(或某一时刻)的速 切线 方向． 度方向为沿曲线上这一点的________
方向 时刻改变，因此曲线运动是变 (2)曲线运动的速度________
B 的支持力 N＝0，α减小时，N 增大，D 正确．
答案：BD
7．河宽为 d＝100 m，水流速度 v1＝3 m/s，船在静水中的 速度 v2＝4 m/s，求：
(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多
少？船的位移多大？ (2)欲使船航行的距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多 长？ 解：(1)欲使船渡河时间最短，应使船头(即船在静水中的速 度方向)垂直河岸方向行驶，如图 19 所示．由合运动与分运动 的等时性可知
2．(2011 年深圳高级中学模拟)图 4－1－6 中虚线是某一静 电场中的一簇等势线，不计重力的带电粒子从 a 点射入电场后 恰能沿图中的实线运动，b 点是其运动轨迹上的另一点，则下 述判断正确的是( )
如图 4－ห้องสมุดไป่ตู้－4 所示，按水流速度和船在静水中的速度大小
的比例，先从出发点 A 开始作矢量 v水，再以v水末端为圆心，
v 船为半径画圆弧， 自出发点 A 向圆弧作切线即为船位移最小时 v船 的合运动的方向．这时船头与河岸的夹角 θ 满足 cosθ＝ ，最 v水 d d 短位移 s 短＝cosθ，过河时间 t＝ . v船sinθ
【跟踪训练】
4．关于合运动与分运动的关系，下列说法正确的是( A．合运动的速度一定大于分运动的速度 B．分运动的位移一定小于合运动的位移 C．合运动的时间等于各分运动的时间之和 D．组成合运动的各个分运动具有独立性 )
解析：运动的合成遵循的法则是平行四边形法则或三角形 法则，由三角形法则可知，合运动的速度与两个分运动的速度 构成了三角形的三边，两个分速度首尾相连，合速度是首对首、
【跟踪训练】 1．关于物体做曲线运动的条件,以下说法中正确的是( B )
A．物体受变力作用才可能做曲线运动
B．物体受恒力作用也可能做曲线运动 C．物体不受力也能做曲线运动
D．物体只要受到合外力就一定做曲线运动
解析：物体做曲线运动的条件是所受合外力的方向与它的
速度方向不在一条直线上，不论此外力是否为变力．故选项 B
3．如图 4－1－1 所示，一物体在恒力的作用下沿光滑水平 面做曲线运动，当物体从 M 点运动到 N 点时，其速度方向恰好 改变了 90°，则物体在 M 点到 N 点的运动过程中，物体的速度 将( ) A．不断增大
B．不断减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大 图 4－1－1
解析：由曲线运动的轨迹夹在合外力与速度方向之间，对
3．做曲线运动的物体所受合力方向与轨迹的关系
做曲线运动的物体，所受的合力总是指向物体运动轨迹曲 线的凹侧，物体的加速度也指向曲线的凹侧．
4．判断做曲线运动的物体的速率变化情况 (1)当合力方向与速度方向的夹角小于 90°时，物体运动的
速率增大．
(2)当合力方向与速度方向的夹角等于 90°时，物体运动的 速率不变． (3)当合力方向与速度方向的夹角大于 90°时，物体运动的 速率减小．
v1 3 cosθ＝v ＝4 2
2 合速度 v＝ v2 － v 2 1＝ 7 m/s
d 渡河时间 t＝v＝37.7 s.
热点 1 曲线运动的轨迹判断——正确把握速度、受力和 轨迹线的空间关系 【例 1】(2011 年全国卷)一带负电荷的质点，在电场力作用 下沿曲线 abc 从 a 运动到 c，已知质点的速率是递减的．关于 b 点电场强度 E 的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在
零，只有合加速度，所以为匀加速直线运动，故 C 正确；匀加
速直线运动与匀速直线运动的合成，若合加速度方向与合初速
度方向不在一条直线上，做曲线运动，D 错误．
答案：BC
考点 3 两种典型问题——小船渡河与收绳问题 1．小船渡河问题 (1)渡河的最短时间：如图 4－1－2 所示，假定水不动，只 分析船在静水中的运动．由于河宽一定，只有当船头(即船在静 水中的速度方向)垂直河岸时，这个分运动的位移最小，时间最
)
A．物体 A 也做匀速直线运动
B．绳子的拉力始终大于物体 A 所 受的重力 C．物体 A 的速度大于物体 B 的速度 D．地面对物体 B 的支持力逐渐增大 图 4－1－5
解析：设物体 B 的速度为 v，物体 A 的 速度等于沿绳方向的速度．物体 B 水平向 右的速度可分解为沿绳子向右下方的速度
v1 和垂直于绳子指向绳子摆动方向的速度
图 4－1－3
图 4－1－4
2．收绳问题 (1)一般将物体运动分解为沿绳子方向的运动(使得绳子在
沿绳方向被拉出)和垂直绳子方向(使得绳子绕定滑轮旋转)的运
动；两个绳连接的物体沿绳子方向的速度大小相等． (2)方法：确定物体实际运动；沿绳方向分解；沿垂直绳方 向分解．
【跟踪训练】 6．(双选)如图 4－1－5 所示，物体 A 和 B 的质量均为 m， 且通过定滑轮用轻绳连接(不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩 擦)．在用水平变力 F 拉物体 B 沿水平方向向右做匀速直线运动 的过程中(