第1章 部分习题解答

第一章 部分习题解答
（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播） 1.1 序列)(n x 示意如图T1-1，请用各延迟单位脉冲序列的幅度加权和表示。

)(n
图T1-1
解： )3(2)1(3)()3(2)(−+−+−+−=n n n n n x δδδδ
1.3 判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期性的，试确定其周期。

（1）873cos(
)(ππ−=n A n x （2）)3
13
sin()(n A n x π=
（3）)6
()(n j e
n x −=π
(4) )18/sin()12/cos()(ππn n n x += 解 (a) 8
73cos(
)(ππ
−=n A n x
314
7
22,7
31
1==
=
πωπ
πω为有理数 所以该序列为周期序列，其周期1433
14
=×=
N （b ）)3
13sin(
)(n A n x π=
136
3
1322,3
132
2==
=
ππωπ
π
ω为有理数 所以该序列为周期序列，其周期61313
6
=×=N （c ）)6
()(n j e n x −=π
ππ
ωπ
ω21
22,
13
3==
=为无理数 所以该序列为非周期序列。

1.12有一连续正弦信号)2cos(ϕπ+ft ，其中6
,20π
ϕ=
=Hz f 。

（1） 求其周期0T ；
（2） 在nT t =时刻对其采样，s T 02.0=，写出采样序列)(n x 的表达式； 求)(n x 的周期N 。

解： 6
,20π
ϕ=
=Hz f
（1）其周期ms s s f T 5005.020
110====
（2）s T 02.0=，)6
8.0cos()2cos()(π
πϕπ+=+=n fnT n x
（3）2
52,
8.00
0=
=ωπ
πω 则)(n x 的周期522
5
=×=
N 1.13 今对三个正弦信号t t x πα2cos )(1=，t t x πα6cos )(2−=，t t x πα10cos )(3=进行理想
采样，采样频率为π8=Ωs ，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出)(1t x α、)(2t x α、)(3t x α的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。

解：s s s f ππ2,8=Ω=Ω，则Hz f s 4= s f T s 25.04
1
1===
∑∑+∞−∞
=+∞
−∞
=−=−⋅=n n nT t nT x nT t t x t x
)()()()()(ˆ1
11δδααα
)()2cos(nT t nT n −⋅=
∑+∞
−∞=δπ
∑
+∞
−∞
=−=
n n
t n )4
()2cos(
δπ 或)2cos(
)()(11π
αn nT x n x == 同理可得：∑
+∞
−∞
=−−=n n
t n t x
)4
(23cos
)(ˆ2δπα 或2
3cos
)(2n n x π−=
及∑+∞
−∞
=−=n n
t n t x
)4
(25cos
)(ˆ3δπα 或2
5cos )(3n n x π= 因为221s
Ω<
=Ωπ（折叠频率） 2
10,2
632s
s
Ω>
=ΩΩ>
=Ωππ 所以)(ˆ1t x
α的频谱不会发生混淆，)(ˆ2t x α与)(ˆ3t x α的频谱将出现混淆现象。

1.14 一个理想采样系统，如图T1-2所示，采样频率为,8π=Ωs 采样后经理想低通)
(Ωj G 还原。

⎩
⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ
4,04,4/1)(j G
今有两输入t t x πα2cos )(1=，t t x πα5cos )(2=，问输出信号)(1t y α，)(2t y α有没有失
真？为什么失真？
图T1-2
解：,8π=Ωs 则折叠频率
π42
=Ωs
，而)(Ωj G 的截止频率等于2s Ω
2
22cos )(11s
t
t x Ω<
=Ω=ππα则 故)(t x α经采样后的)(ˆ1t x α经过低通滤波器)(Ωj G 后能不失真地还原信号，即可得)()(11t x t y αα=。

2
5,5cos )(22s
t t x Ω<
=Ω=ππα 则)(ˆ2t x
α经过截止频率为折叠频率的理想低通滤波器后会产生失真即)()(22t x t y αα≠
1.22 若)(n h 与)(n x 都是有限长序列，那么，响应)(n y 也必然是有限长序列。

具体说，若
)(n h 和与)(n x 的非零区间分别是10N n N ≤≤与32N n N ≤≤，则)(n y 必然对应着某个非零区间54N n N ≤≤，试用10,N N ，32,N N 表示出54,N N 来。

解：
⎩⎨
⎧≤≤≠=其它,
0,0)()(1
0N n N n h n h
⎩
⎨⎧≤≤=其它,0),()(3
2N n N n x n x
∑+∞
−∞
=−=
=m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(
由)(m x 已知条件知，)(m x 的非零区间为：
32N m N ≤≤ ①
)(m n h −处于非零区间的m n −值为
10N m n N ≤−≤ ② ①与②相加得)(n y 为非零的区间 3120N N n N N +≤≤+ 即315204,
N N N N N N +=+=
1.24 判断下列系统的线性和时不变性。

3)(2)()(+=n x n y a
)6
72
sin()()()(ππ+⋅=n n x n y b
2
)()()(n x n y c = ∑+∞
−∞
==
m m x n y d )()()(
解：线性系统的条件是满足叠加原理，即 )]([)]([)]()([2121n x bT n x aT n bx n ax T +=+ 时不变系统具有以下特性即
)()]([),()]([00n n y n n x T n y n x T −=−=
)]([3)(2)()(n x T n x n y a =+=
令 )]([3)(2)(,3)(2)(22211n x T n x n y n x n y =+=+= 则 3)]()([2)]()([2121++=+n bx n ax n bx n ax T
b a n x bT n x aT n x b n x a 333)]([)]([3)(2)(22121−−++=+⋅+⋅= )]([)]([21n x bT n x aT +≠
也即不满足叠加原理，故系统是非线性的。

)(3)(2]([000n n y n n x n n x T −=+−=− 所以系统是时不变系统。

)()6
72
sin()]([)()(n x n n x T n y b ⋅+==ππ
)]()()[6
72
sin()]()([2121n bx n ax n n bx n ax T ++=+ππ
)()6
72
sin()()672sin(21n x n b n x n a ⋅++⋅+=ππππ
)]([)]([21n x bT n x aT += 满足线性叠加原理 故系统是线性的。

)()()6
72
sin()]([000n n y n n x n n n x T −≠−+=−ππ 所以系统是时变的。

)(c 根据线性系统及时不变系统的条件，同理可判断
2
)()(n x n y = 为非线性时不变系统 )(d 同理可判断∑+∞
−∞
==
m m x n y )()(为线性，时不变系统。

1.25 判断下列各系统是否为：（1）稳定系统；（2）因果系统；（3）线性系统。

并说明理由。

（1）);()()]([n x n g n x T = 这里)(n g 有界。

（2）∑==
n
n k k x n x T 0
)()]([
（3）∑+−==
)()]([n n n n k k x n x T （4）)()]([0
n n x n x T −=
（5）)
()]([n x e n x T = （6）b n ax n x T +=)()]([
解：稳定系统定义为对于每个有界输入产生一个有界输出的系统。

因果系统是指当前时刻的输出值只取决于当前时刻及当前时刻以前的输入值的系统。

线性系统是指满足线性叠加原理的系统。

（1）);()()]([n x n g n x T = 这里)(n g 有界。

a 、若∞<≤M n x )(，则M n g n x T )()]([≤，所以当)(n g 有界时，则该系统为稳定系统。

b 、若)()()(11n x n g n y =及)()()(22n x n g n y = 当0n n <时，)()(21n x n x =则)()(21n y n y = 因此该系统是因果系统
（或：)(n y 只与当前输入)(n x 有关，因而是因果系统） c 、由于)]()()[()]()([2121n bx n ax n g n bx n ax T +=+
)]([)]([)()()()(2121n x bT n x aT n x n bg n x n ag +=+= 该系统满足叠加原理，所以是线性系统。

（2）∑==
n
n k k x n x T 0
)()]([
a 、若M n x ≤)(，则∑=⋅+−=≤n
n k M n
n k x n x T 0
)1()()]([0
当∞→∞→)]([,n x T n ，所以该系统不是稳定系统。

b 、当0n n <时，)]([n x T 取决于)(n x 的将来值，所以该系统不是因果系统。

c 、∑=+=
+n
n k k bx
k ax n bx n ax T 0
)]()([)]()([2
1
21
∑∑==+=n
n k n
n k k x
b k x a
)()(2
1
)]([)]([21n x bT n x aT += 所以该系统是线性系统。

（3）∑+−==
)()]([n n n n k k x n x T
a 、若M n x ≤)(，则∑+−=⋅+≤≤0
12)()]([0
n n n n k M n
k x n x T
所以该系统为稳定系统。

b 、因为)]([n x T 取决于)(n x 的将来值，所以该系统不是因果系统。

c 、由于∑+−=+=
+0
)]()([)]()([2
1
21n n n n k k bx
k ax n bx n ax T
∑
∑+−=+−=+=+=00
)]([)]([)()(212
1n n n n k n n n n k k x bT k x aT k x
b
k x a
所以该系统是线性系统。

（4）)()]([0n n x n x T −=
a 、若,)(M n x ≤则M n n x n x T ≤−=)()([0，所以该系统是稳定系统。

b 、因为),()]([0n n x n x T −=当)]([,00n x T n ≥不取决于)(n x 的将来值，所以当
00≥n 时，该系统是因果系统；00<n 时是非因果系统。

c 、由于)]([)]([)()()]()([21020121n x bT n x aT n n bx n n ax n bx n ax T +=−+−=+所以该系统是线性系统。

（5）)
()]([n x e
n x T =
a 、若M n x ≤)(，则M n x n x e e
e n x T =≤=)
()
()]([
所以该系统是稳定系统。

b 、因为)]([n x T 不取决于)(n x 的将来值，所以该系统是因果系统。

c 、由于b n x a n x n bx n ax e e e n bx n ax T ][][)]()([)()()
()(212121⋅==++
)]([)]([21n x bT n x aT +≠
故系统不满足叠加原理，所以是非线性系统。

（6）b n ax n x T +=)()]([
a 、若M n x ≤)(，则
b M a b n ax n x T +⋅≤+=)()([ 因此当a 和b 为有限值时，该系统是稳定系统。

b 、因为)]([n x T 不取决于)(n x 的将来值，所以该系统是因果系统。

c 、由于)]([)]([)()()]()([212121n x T n x cT b n ax n acx n x n cx T +≠++=+ 该系统不满足叠加原理，所以是非线性系统。

1.30 讨论一个输入为)(n x 和输出为)(n y 的系统，系统的输入输出关系由下列两个性质确
定：
（1） )()1()(n x n ay n y =−− （2） 1)0(=y
（a） 判断该系统是否为时不变的； （b） 判断该系统是否为线性的；
（c） 假设差分方程保持不变，但规定)0(y 值为零，（a）和(b)的答案是否改变？ 解（a）令)1()(1−=n n x δ由已知条件 )1()1()(11−+−=n n ay n y δ 1)0(1=y
得 a ay y +=−+−=1)11()11()1(11δ
2
11)1(0)12()12()2(a a a a ay y +=++=−+−=δ
3
2211)()2()2()3(a a a a a ay y +=+=+=δ
#
同样可得：,)2(,)1(211
1−−=−=−a y a y …
因此： n n a n u a
n y +−=−)1()(1
1
若令 )()(2n n x δ=，由已知条件 )()1()(22n n ay n y δ=−− 1)0(2=y
得： a ay y =+=)0()1()1(22δ 2
22)12()2()2(a ay y =−+=δ 3
22)2()3()3(a ay y =+=δ #
同样可得： ",0)2(,0)1(22=−=−y y 因此： )()(2n u a n y n
=
因为：)1()(21−≠n y n y 即)(2n y 与)(1n y 不是非移变关系，所以该系统不是非移变系统。

(b)令)()1()()()(213n n n x n x n x δδ+−=+= 由已知条件：
)()1()1()(33n n n ay n y δδ+−=−− 1)0(3=y
推得：a ay y +=−++−=1)11()1()11()1(33δδ
2
33)1()12()2()12()2(a a a a ay y +=+=−++−=δδ 32
2
33)()13()3()13()3(a a a a a ay y +=+=−++−=δδ # 同样可得：,,0)2(,
0)1(33"=−=−y y
因此： )()1()(31
3n u a n u a
n y n +−=−
利用（a）的结果：)()1()()(1
21n u a a n u a n y n y n n n ++−=+−
可以看出：)()()(213n y n y n y +≠
该系统不满足叠加原理，所以不是线性系统。

（c）假设差分方程保持不变，但0)0(=y ，可以按照和（a）、（b）同样的方法进行推导。

令),1()(1−=n n x δ则)1()(1
1−=−n u a
n y n
若令 ),()(2n n x δ=则)1()(2−−−=n u a n y n
因为)(2n y 与)(1n y 不是非移变关系即)1()(21−≠n y n y ，所以该系统不是非移变系统。

再令)()1()()()(213n n n x n x n x δδ+−=+= 则)1()1()(1
3−−−−=−n u a n u a
n y n n
因此：)()()(213n y n y n y +=
该系统满足叠加原理，故是线性系统。

1.33 (a)对下列序列，画出其z 变换的零极点图，并指出其收敛域。

（1）)()2
1()(n u n n
+δ （2）)3(8
1
)(−−n n δδ （3）)(3
1(n u n
− （4）n
)2
1( （5）⎩
⎨
⎧<≤=其它08
01)(n n h
（b ）根据(a)的结果，判断哪些序列对应着稳定系统的单位脉冲响应。

解：（1）令)()2
1
()()(n u n n h n
+=δ （a ） ∑
∑∞
−∞
=+∞
−∞
=−−+=
=
n n n n
n
z n u n z
n h z H )]()21()([)()(δ ∑∞
=−+
=0
)21(1n n
n z ∑∞
=−+
=01)2
1(1n n z
当
2
1
,1211><−z z 即时，)(z H 收敛 2
1
,21121221111)(111>
−−
=−+=−−−z z z
z z H 其极点为21=z ，零点4
1
=z 。

（b ）由于)(z H 的收敛域包含单位圆，故该序列对应着稳定系统的单位脉冲响应。

（2）令)3(8
1
)()(−−
=n n n h δδ （a ）n
n n n
z n n z
n h z H −+∞
−∞
=+∞
−∞
=−−−=
=
∑∑)]3(81)([)()(δδ 0,8
113>−=−z z
其零点2
1
=
z （三阶），极点0=z （三阶） （b ）因)(z H 的收敛域包含单位圆，故该序列对应着稳定系统的单位脉冲响应。

（3）令)(3
1()(n u n h n
−= （a ）∑∑∑+∞
−∞
=∞
=+∞
−∞=−−−−===
n n n n n n n
z z z
n h z H 0)3
1
()31()()( 当
3,13
1
>>z z 即时，)(z H 收敛。

则 3,3311)
3
1(11)(11>−=−=−=
−−z z z
z z z H 其零点为,0=z 极点3=z 。

（b ）由于)(z H 的收敛域不包含单位圆，故该序列对应着非稳定系统的单位脉冲响应。

（4）令n
n h 2
1
()(=
（a ）∑∑+∞
−∞
=+∞
−∞
=−−=
=
n n n n
n
z z
n h z H )
21
()()(
∑∑−−∞=∞=−−−+=1
0)2
1()21(n n n
n n n z z
∑∑−−∞=∞
=−−==1
11)2
1()21()(n n n
n n z z z H
2,2
1121<−=z z z
∑∞
=−−>
−=
=
122
1,2
111
)
21
()(n n n
z z z z H 则221,211121121)(1<<−+−=−z z z z
z H
221,)
2
1)(211(43)(<<−−=
z z z z
z H 其零点为,0=z 极点为：2,2
1
21==z z 。

（b ）由于)(z H 的收敛域包含单位圆，故该序列对应着稳定的单位脉冲响应。

（5）⎩⎨
⎧<≤=其它0
8
01)(n n x
（a ）∑∑+∞
−∞
==−−−−−−===
n n n
n
z
z z
z
n x z X 7
1
8
11)()( 0,
)
1(1
78>−−=z z z z
其极点为：0=z （7阶）
，零点为7,,1,8
2"==k e z k j k π
（b ）由于其收敛域包含单位圆，故该序列对应着稳定的单位脉冲响应。

1.34分别用围线积分、部分分式展开和长除法，各求一次下列各式的z 反变换。

（1）21,2
111
)(1>+=
−z z
z X （2）2
1
,2111)(1<
+=
−z z z X
（3）2
1,81431211)(211>++−
=−−−z z z z z X （4）2
1,4
11211)(2
1>
−−
=
−−z z z
z X 解：（1）21
,2
111)(1
>+=
−z z z X (a) 围线积分法（或留数定律法）
因)(z X 的收敛域为2
1
>z ，故)(z X 对应的序列为因果序列。

即0<n 时，0)(=n x 0≥n 时，
)()2
1
(2
1121
]2
1,2
111
[
Re )(5
.01
1
11
n u z z z z z s n x n z n n −=⋅++
=
−+=−=−−−−
（b ）部分分式展开法
)()2
1()(n u n x n
−= （c ）长除法
因为21
>
z ，故)(z X 对应的序列为右边序列，用降幂长除 "+−+−−++−−−−−−32111
1
8
1
41211212111
2
11z z z z z z 22
14
14121−−−−−z z z 3328
18141−−−−+z z z
所以)()21()(n u n x n
−=
（2）21
,2
111)(1<+=
−z z z X （a ）围线积分法
因2
1
<
z ，故)(z X 对应的序列是左边序列，故0≥n 时0)(=n x 当0<n 时，01
1]5
.0[)!1(1]0,5.0[Re )(=−−−−−+⋅−−=+=z n
n n n n z z z dz d n z z s n x )1()5.0()5.0()
1(0
1
−−−−=+−==−−n u z n z n
n
所以)1()5.0()(−−−−=n u n x n
（b ）长除法 因2
1
<
z ，故)(z X 对应的序列是左边序列，可用升幂长除 +
−+−−++−4321
168422211
12
1z z z z z z z
22
442z z z −−
3
3
2884z z z −+
故 ∑∞
=−−=
+−+−=1
4
32
)
2(16842)(n n n
z z z z z z X "
∑
−−∞
=−−−−=
1
)2(n n
n z 则 )1()2
1()(−−−−=n u n x n
（b ）部分分式展开法
∑∞
=−−−=+=+=+=11
)2(2121225.011)(n n z z z
z z z
z X ∑−−∞
=−−−=
1
)21(n n
n z 所以)1()21()(−−−−=n u n x n
（3）2
1
,
4
113211481431211)(11211
>
+−+=++−=−−−−−z z z z z z z X
（a ）围线积分法 因2
1
>
z ，所以)(z X 对应的序列)(n x 为右边序列且为因果序列，故 0<n 时0)(=n x 。

0≥n 时，
41,81431211[Re ]21,81431211[Re )(12
11
1211−⋅++−+⋅++−
=−−−−−−−−n n z z z z s z z z z s n x
411
211)
41)(21()21()41()41)(21()21()21(−=−−=−++⋅−++++⋅−+=z n z n z z z z z z z z z z z z 41)41(4341)21(n
n −⋅−+−−−=
n
n )41(3)21(4−⋅−−⋅=
所以)()4
1(3)()21(4)(n u n u n x n
n −−−=
(b) 部分分式展开法
)(4
1
(3)()21(4)(n u n u n x n n −−−=
(c)长除法 因2
1
>
z ，)(n x 为因果序列，故用降幂长除 "+−+−
−++
−−−−−−3211
21642916134512
1
18
1431z z z z z z
212
1814581431−−−−−−++
z z z z
3
232132
51613325161545−−−−−+−−−z z z z z
434
32108
1364291081364391613−−−−−−−++z z z z z
# "+−+−
=−−−32164
291613451)(z z z z X ∑∞
=−−−⋅=0)
4(324n n
n
n z )(]4
1(3)2
1(4[)(n u n x n
n
−−−⋅=∴
(4) 2
1,4
11211)(21>
−−
=−−z z z z X (a) 围线积分法
2
1,)
21)(21()
21([Re ]21,)2
1)(21()21([Re )(,011−⋅+−−+⋅+−−=≥−−n n z z z z z s z z z z z s n x n
211
)
21)(21()
21()21(0−=−⋅+−−++=z n z z z z z z )()21(n u n
−=
)(2
1
()(n u n x n −=∴
(b)部分分式法
2
1,
2111411211)(121>
+=−−
=−−−z z z z
z X 所以 )()2
1()(n u n x n
−=
(c)长除法 因2
1
>
z ，所以)(z X 对应的序列)(n x 为右边序列，也是因果序列，故可用降幂长除。

"+−+−
−−
−−−−−3
211
2
814121121
14
11z z z z z
2124
121411−−−+−−
z z z
323181418121−−−−−+−
z z z z
434216
18116141−−−−+−−z z z z #
即 ∑∞
=−−−−−=+−+−=0
321)21(8141211)(n n
n z z z z z X "
所以 )()2
1()(n u n x n
−=
1.35 下面给出四种变换表达式，指明哪几种可能是对应着因果性的系统或序列，为什么？
（1）1
2
1211)1(−−−−z z （2）2
1
)1(2
−−z z （3）
65)21()41(−−z z （4）56
)21()41(−−z z 解：若所给的z 变换表达式对应着因果性的系统或序列，则其收敛域必须包含∞+，也即在∞=z 处不能有极点。

(1) 因为： 1211)1(lim
1
2
1=−−−−∞→z z z ，所以它是因果的。

(2) 因为： ∞→−−∞→21
)1(lim
2
z z z ，所以它是非因果的。

(3) 因为： 0)21
()41(lim
6
5
=−−∞→z z z ，所以它是因果的。

(4) 因为： ∞→−−∞→5
6
)2
1
()41(lim
z z z ，所以它是非因果的。

1.36 写出z 变换
11212
2
113)(−−−+
−=z z z X 对应的各种可能的序列表达式。

解： 11212
2
113)(−−−+
−=
z z z X 其极点有两个，即2
1
1=z ，22=z
其收敛域有三种可能：(1)2
1
<z ， (2)221<<z (3)2>z
(1) 当收敛域为21
<z 时，12<z
z z
z
z z X 2
11216)(−−+
−−= ∑∑∞=∞
=−−=00
)21()2(6n n n
n z z z z
∑∑∞
=+∞
=+−−=010
1
)2
1
(26
n n n n n n
z z
∑∑∞
=∞
=−−−−=1
111
)2
1
(2
6
n n n n n
n z z
∑∑−−∞=−−−−−−∞
=−−−
−=1
11
1
)2
1(2
6
n n n n
n n z z
所以 )1(2
1
()1(2
6)(11
−−−−−⋅−=−−−−n u n u n x n n
)1(22)1()2
1(3−−⋅−−−⋅−=n u n u n
n
(2)当收敛域为
22
1
<<z 时 )1(22)()2
1
(3)(−−⋅−⋅=n u n u n x n n
(3)当收敛域2>z 时
)(22)(2
1(3)(n u n u n x n
n ⋅+⋅=
1.37 画出2
11
2523)(−−−+−−=z z z z X 的零极点图，并问在以下三种收敛域下，哪一种是左边
序列，哪一种是右边序列，哪一种是双边序列？并求出各对应序列。

(1) 2>z (2) 2
1
<
z (3) 221<<z
解 )2
11)(21(2
3)2)(21(32523)(1111
11
211−−−−−−−−−−−−
=−−−=+−−=
z z z z z z
z z z z X 其极点为2
1
,2==z z ，零点为0=z 。

其零极点图如右图所示。

(1) 2>z ，其序列为右边序列，也是因果序列。

11
2
111
211
)(−−−+
−−=
z z z X 则 )()2
1()(2)(n u n u n x n
n
+−= (2) 5.0<z ，其序列为左边序列
)1(2
1()1(2)(−−−−−=n u n u n x n
n
(3)25.0<<z ，其序列为双边序列 )()2
1()1(2)(n u n u n x n
n +−−= 1.38 已知序列)(n x 的z 变换为： （1）a z az z X >−=
−,
)1(1
)(2
1
（2）a z az az z X >−=−−,)
1()(2
11
求原序列。

解：(1) a z az z X >−=
−,
)1(1
)(2
1
因收敛域为a z >，故其对应的序列为右边序列，也是因果序列，其极点a z =为二阶极点。

故
0≥n 时 a z n n z a z z a z dz d a z
z X s n x =−−−−−==])
()[()!12(1],)([Re )(12
22
1
a
z n
a
z n z n dz
dz ==++==)1(1
)()1(n u z n n +=
所以 )()1()(n u a n n x n
+=
(2) a z a z az
az az z X >−=−=−−,)
()1()(2
211
因收敛域a z >，故其对应的序列为右边序列，也是因果序列，其极点a z =为二阶极点。

0<n 时，0)(=n x
0≥n 时，a z n n z a z az
a z dz d a z z X s n x =−−⋅−−=
=])()[(],)([Re )(1221 )(1
n u a n anz dz
dz a
n a
z n a
z n
⋅====−=
所以 )()(n u a n n x n
⋅=
1.39已知序列)(n x 的z 变换为
)0(,
)(/1≠+=z e e z X z z
试求序列)(n x 。

解： )0(,)(/1≠+=z e
e z X z
z
∑∞
==+++++
+=032!!!3!2!11n n
n z
n z n z z z z e "" ∑∞=−−−−−=++++++=03211
!!!3!2!11n n
n z
n z n z z z z e "" 则 ∑∑∞
=∞=−+=00
!!)(n n n
n n z n z z X
∑
∑∞=−−∞=−+=0
!!n n
n n n z n z 所以 !
1)()(n n n x +
=δ 1.40 已知)(n u a n
的z 变换是
1
11
)(−−=
az z X ， a z >
（1） 求)(2
n u a n n
的z 变换。

（2） 求)(n u a n
−−的z 变换。

解： )()(n u a n x n
=， 1
11
)(−−=
az z X ， a z >
(1) 2
)
()]([)]([a z az
z X dz d z
z na n u na Z n n n n −=−==
∑∞
=− 322)
()
(])([)]([a z a z za a z az dz d z
n u a n Z n
−+=−−= (2) ∑∑−∞
=−−+∞
−∞
=−−−=
−=
−0
)()]([n n
n n n
n
n
z
a
z
n u a
n u a Z
∑∞
=<
−==0
1,11
n n n a
z az
z a
1.41 序列)(n x 的自相关序列)(n c 定义为∑+∞
−∞
=+=
k k n x k x n c )()()(
试以)(n x 的z 变换表示)(n c 的z 变换。

解：∑+∞
−∞
=+=
k k n x k x n c )()()(
n
n k n n
z
k n x k x z
n c z c −+∞−∞=+∞
−∞
=+∞
−∞=−+=
=∑∑∑)()()()(
∑∑+∞
−∞
=+−+∞−∞
=++=
n k n k k z
k n x z k x )
()()(
∑∑+∞
−∞
=−+∞−∞
==
k m
k k z
m x z k x )()(
)()(1z X z X ⋅=−
1.44 以下为因果序列的z 变换，求序列的初、终值)0(x ，)(∞x 。

(1) 2113.07.0121)(−−−−−+=z z z z X (2) 2
11
5.05.11)(−−−+−=z z z z X 解： (1) 2
11
3.07.0121)(−−−−−+=z z z z X
则序列的初值 13.07.0121lim )(lim )0(2
11
=−−+==−−−∞→∞→z z z z X x z z
终值1330
310)2(10lim
3.07.0121)1(lim ]1),([Re )(12111=++=−−+−==∞→−−−→z z z z z z z z X s x z z (2) 2
11
5.05.11)(−−−+−=z
z z z X 因果序列的初值： 05.05.11lim )(lim )0(2
11
=+−==−−−∞→∞→z z z z X x z z
终值：]1),([Re )(z X s x =∞ 5
.0lim
5.05.1)
1(lim 121
−=+−−=→→z z
z z z z z z 2=
1.48 求以下序列)(n x 的频谱)(jw
e
X
(1))(n δ (2))(0n n −δ (3))(n u e an
−
(4))()(0n u e
h
j a ω+− (5))(cos 0n nu e an ω− (6))(sin 0n nu e an ω−
(7))(n R N (8))()]cos(1[2N n R n N
N −+π
解：(1) ∑∑+∞
−∞
=−+∞
−∞
=−==
=
n jn n jn j e
n e
n x e
X 1)()()(ω
ω
ω
δ
(2) ωω
ω
ω
δ0)()()(0
jn n jn n jn j e e
n n e n x e
X −+∞
−∞
=−+∞
−∞
=−=−=
=
∑∑
(3) ωω
ω
jn n an
n jn j e n u e
e
n x e
X −+∞
−∞
=−+∞
−∞=−∑∑=
=
)()()(
∑∞
=−−=0
)(n n j a e e ω
当0>a 时
ω
ωj a j e e X −−−=
11
)(
(4) ωωω
ω
jn n n
j a n jn j e n u e
e
n x e X −+∞
−∞
=+−+∞
−∞
=−∑∑=
=
)()()()(0
ωωjn n n j a e e −∞
=+−∑=
)(0 当0>a 时， )(011)(ωωω
j j a j e
e X ++−−=
(5) ωω
ω
ωjn n an
n jn j e n nu e
e
n x e
X −+∞
−∞
=−+∞
−∞
=−∑∑=
=
)(cos )()(0
ωωωjn n j an n
j an n e e e e e −−−−∞
=+=
∑)(2
1000 )
()(0011
211121ωωωω+−−−+−−+−=j a j a e
e ， （当0>a 时） (6) ωω
ω
ωjn n an
n jn j e n nu e
e
n x e
X −+∞
−∞
=−∞
−∞
=−∑∑=
=
)(sin )()(0
ω
ωωjn jn jn n an
e j
e e e
−−∞
=−−=
∑200
11
11[21)
()(00ωωωω+−−−+−−−−=
j a j a e
e j (7) ω
ω
ω
ω
ω
j jN N n jn n jn j e
e e
e
n x e
X −−−=−+∞
−∞
=−−−=⋅==
∑∑111)()(1
(8) ∑+∞
−∞
=−−+=
n jn N j e N n R n N
e
X ωω
π
)()]cos(
1[)(2
∑−=−−++=1
3)](211[N N
n w j n N j n
N j e e e
ωπ
π
)
(
2)(
)(
1]
1[2
11)
1(ωπ
ωπ
ωπ
ω
ω
ω
−−−−−−−−+−−=
N
j N
N
j N
N
j j jN jN e
e
e e e
e
)
(
2)(
)(
1]
1[2
1ωπ
ωπ
ωπ
+−⋅+−+−−−+N
j N
N
j N
N
j e
e
e
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧−−+−−+−−−=+−−=+−−−−−−−−−−−−其它时或当,1211211)1(,1)1()(3)(3320ωπω
ωωπ
ωωωωωω
ωωπ
πωN j jN N j N j jN N j j N j jN j N j jN e e e e e e e e e N N N N e e e
1.49 已知序列)(n x 的z 变换为：
2
1
)(−=
z z z X ， 2
1>
z 求)(n x 的傅里叶变换)(ω
j e X
解：因)(z X 的收敛域2
1
>
z ，包括单位圆，所以序列)(n x 为稳定的序列，其傅里叶变换)(ωj e X 存在，则
ω
ωω
ωω
j j j e
z j e e e
z X e X j −=−=
−
=
=2
1112
1)
()(ωω
cos 4
5
211−−=j e
1.50 一个序列)(n x 的z 变换为)(z X ，其零极点图显示在图T1-9中
（a ） 如果已知序列的傅里叶变换收敛，确定)(z X 的收敛域。

对于此情形，确定序列
是右边的、左边的或双边的；
（b ） 如果不知道)(n x 的傅里叶变换收敛，但知道序列是双边的，对于图T1-9的零极
点图有多少种可能的序列。

对于每种可能性，指出其收敛域。

图T1-9
解(a)如果已知序列的傅里叶变换收敛，则收敛域必包括单位圆。

由零极点图可知，此时)
(z X 的收敛域为：
23
1
<<z ，对于此情形，其序列)(n x 是双边的。

(b)假如序列是双边的，根据图T2.1的零极点图有2种可能，其收敛域为
23
1
<<z 或32<<z
1.51 设)(n x 的序列傅里叶变换为)(ω
j e
X ，试证明
∑
∫+∞
−∞
=−
=
n j j d e X e X n x n x π
π
ωωωπ
)()(21)()(**
证明：∑+∞
−∞
=−=
n jn j n x e
X ω
ω
)
()(
ωωω
jm m n jm j e m x
e
m x e
X )(])([)(*
*
0*∑∑+∞
−∞
=+∞
−∞
==
=
则
ωπ
π
π
ωωd e X e X jn j ∫−
)()(21*
∫∑∑−
+∞
−∞
=+∞
−∞
=−=
π
π
ωω
ωπ
d e m x e
n x m jm n jn ])(][)([21*
∫∑
∑−
−+∞
−∞=+∞
−∞=⋅
=
π
π
ωωπ
d e m x n x n m j n m )(*21)()(
∑∑+∞
−∞=+∞
−∞=−=
n m n m m x
n x )()()(*
δ
∑+∞
−∞==
n n x n x )()(*
故 ∑∫+∞
−∞
=−
−=
n j j d e X e
X n x n x π
πωω
ωπ)()(21
)()(**
1.52 已知)(t x α的傅里叶变换如图T1-10所示，对)(t x α进行等间隔采样而得)(n x ，采样
周期为0.25ms, 试画出)(n x 的傅里叶变换)(ω
j e X 的图形。

T1-10
解：根据理想采样信号频谱与时域连续信号频谱之间的关系：
∑+∞
−∞
=Ω−Ω=Ωm s jm j X T j X )(1)(ˆαα
而采样序列)(n x 的傅里叶变换)(ω
j e X 可表示为：
∑+∞−∞=−==m j T
jm T j X T T j X e X 2(1)(ˆ)(πωωααω
由题意知： ms T 25.0= 得KHz T
f s 41
==
KHz f 10= 得ππω5.02000==Ω=T f T 则)(ω
j e X 的图形如下：
1.72 图T1.14是一个一阶稳定因果系统的结构，试列出系统的差分方程、系统函数以及在以下参数情况下的零极点图、单位脉冲响应和频响曲线。

（1）;1,0,5.0101===a a b （2）;0,1,5.0101===a a b （3）;1,5.0,5.0101===a a b
（4）;1,5.0,5.0101=−==a a b 图T1.14 解：令延迟器后的输出为)(n w ，则：
)]()([)()(101n w b n x a n w a n y ++=
)1()1()(1−+−=n w b n x n w （1） )1()()(01++=n w a n w a n y （2） 对（1）式两边求z 变换得： )()()(111z W z b z X z z W −−+=
1
1
11)()(−−−=z
z b z W z X 对（2）式两边求z 变换得：
)()()(01z zW a z W a z Y += )()
()
(01z a a z W z Y += ∴ 1
10
111110111)()()()()()()()(−−−−−+=−+=⋅==z
b a z a z b z z a a z X z W z W z Y z X z Y z H 其差分方程为：
)1()1()()(110−+−+=n y b n x a n x a n y （1）若1,0,5.0101===a a b
则系统函数1
1
5.01)(−−−=z
z z H 其极点为 5.0=z ，零点为∞=z ，极零点图如图J3.2.1.0 因系统是稳定因果系统，故收敛域为5.0>z 则)1(2
1()]([)(1
1
−==−−n u z H Z n h n
频响：ω
ωωω
ωj j j e z j e
e e z H e H j −−−=−−=−==5.01
5.01)()( ωωωω
cos 4
5
1)
(sin )cos 5.0(1
)(2
2
−=
+−=
j e
H
频响曲线如图J3.2.1.1 （2）若,0,1,5.0101===a a b 则 系统函数5.0,5.011
)(1
>−=
−z z z H
单位脉冲响应：)()21()(n u n h n
=
频响：ω
ω
j j e
e H −−=5.011)( 2
2
)
sin 5.0()cos 5.01(1
)(ωωω
+−=
j e
H
ωcos 4
5
1−=
其极零点图如图J3.2.2.0，频响曲线如图J3.2.2.1 （3）若1,5.0,5.011===a a b o
则系统函数5.0,5.05.015.015.0)(1
1>−+=−+=−−z z z
z z z H
其极点为5.0=z ，零点为2−=z
极零点图如图J3.2.3.0 单位脉冲响应：)1()2
1
()()
2
1()(11
−+=−+n u n u n h n n
频响：5
.05.01)(−+=ωω
ω
j j j e e e H
ωωωωωωω
cos 4
5
cos 45
)
(sin )5.0(cos )sin 5.0()cos 5.01()(2
2
2
2−+=
+−++=
j e
H 其频响曲线如图J3.2.3.1 （4）若1,5.0,5.0101=−==a a b
则5.0,5.015.0)(1
1
>−+−=−−z z z z H
5
.05.01−−=
z z
其极点为5.0=z ，零点为2=z 。

极零点图如图J3.2.4.0。

其单位脉冲响应为：
)1()2
1
()()
2
1()(11
−+−=−+n u n u n h n n
频响：5
.05.01)()(−−===ω
ω
ω
ωj j e z j e e z H e H j 2
2
2
2)
(sin )5.0(cos )sin 5.0()cos 5.01()(ωωωωω
+−+−=
j e
H
ωωcos 4
5
cos 45
−−=
1=
其频响曲线如图J3.2.4.1，这是一个全通网络。

1.73试作出图T1-15所示谐振器的差分方程、系统函数)(1z H ，零、极点图、单位脉冲响应
以及频响，试问该系统是IIR 还是FIR 系统，是递归还是非递归结构？
图T1-15
解：由图T1.15可得谐振器的差分方程为：
)2()1()1()()(−−−+−+=n y n by n ax n x n y
考虑实际应用中，一般为因果系统，则对上式两边取z 变换可得：
)()()()()(211z Y z z Y bz z X az z X z Y −−−−++=
则系统函数为：
2
11
111)()()(−−−+−+==z bz az z X z Y z H
因2cos(2),2cos(N
b N a ππ=−= )
1)(1()2cos(1)2cos(21)2cos(1)(12121
2
111−−−−−−−−−−=+−−=∴z e z e z N z z N
z N z H N j N j π
ππππ 1,12
1121121
2>−+−=
−−−z z e
z e
N
j
N
j ππ
)(1z H 的零点为 2cos(
,021N
z z π== 极点为：N
j
N
j e
z e z ππ2221,−==
零极点图如图J3.3. 单位脉冲响应为：
)()(2
1)()(21)(22n u e n u e n h n
N j n N j π
π−+=
)()2cos(
n u n N
π
= 频响：ω
ωω
ω
π2)2cos(21)2cos(
1)(j j j j e e N
e N
e
H −−−+−−=
因)(n h 为无限长序列，
故系统为IIR 系统，又因系统中有反馈支路所以是递归结构。