2020年高中数学必备考试技能之套用18个解题模板之模板01 求函数值(解析版)

2018 2018 1009
1009
10．（2020·云南高三期中）已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，满足 f 1 x f 1 x ，若 f 1 3 ，
则 f 1 f 2 f 3 f 2021 __________．
【答案】3
【解析】因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，满足 f 1 x f 1 x ，
f (3) f (3 4) f (1) f (1) 3 ，
f (4) f (4 4) f (0) 0， 所以 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
而 f 1 f 2 f 3 f 2021 505( f (1) f (2) f (3) f (4)) f (2021)
f (2021) f (1) 3 ，故答案为：3
【答案】 log2 5
【解析】定义域为 R 的奇函数 f x ，可得 f x f x ，
当
x
0
时，满足
f
x
log2 7 2x, 0 x
f x 3, x 3
2
3 2
，
可得 x 3 时， f x f x 3，
2
则 f 1 log25 ， f 2 f 1 f 1 log25， f 3 f 0 0 ， f 4 f 1 log25 ， f 5 f 2 f 1 f 1 log25 ，f 6 f 3 f 0 0 ，f 7 f 4 f 1 log25 ， f 8 f 2 f 1 f 1 log25 ，...， f 1 f 2 f 3 ... f 2020 673log25 log25 0 log25 6730 log25 log25 ．
4．（2020·河南高三）已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，满足 f x f 2 x 0, 且当 x 0,1 时， f (x) x2.则 f 1 _____. g x f x lg x ，则函数 g x 的零点共有_____个.
【答案】0 5
【解析】由 f x f 2 x 0, 令 x 1，则 f 1 f 1 0, 解得 f 1 0；
高中数学必备考试技能之套用 18 个解题模板”原创精品【2020 版】
模板一：求函数值
已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路 如下: 模板 构建
【2018 年理数全国卷 II】已知f(x)是定义域为(-∞, + ∞)的奇函数，满足f(1-x) = f(1 + x)．若f(1) = 典型
故答案为 log2 5 ．
8．（2020·山西高三月考）已知奇函数 f x 的定义域为 R，且满足 f x 2 f x 0 ，当 0 x 1时，
f
x
log2
x ，则
f
9 4
f
2018
________.
【答案】 2
【解析】由 f x 2 f x 0 可得 f x 4 f x ，所以 f x 的周期为 4，又 f x 为奇函数且 f x 2 f x，
解析 f(1) + f(2)，因为f(3) = -f(1)，f(4) = -f(2)，所以f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0，∵ f(2) = f(-2) = -f(2) ∴ f(2) = 0，从而f(1) + f(2) + f(3) + ⋯ + f(50) = f(1) = 2，选 C.
C． f ( f (1.5))
D． f (2)
【答案】B
【解析】 因为 f (x 1) f (x) ，所以 f (x) f (x 1) ， 所以 f (x 1) f (x) f (x 1)， 所以函数 f (x) 的周期为 2， 所以 f (2.5) f (0.5) 1， f ( f (2.5)) f (1) 1， f (1.5) f (0.5) 1， f ( f (1.5)) 1，故应选 B.
62
2．设定义域为 R 的奇函数 f (x) 满足 f (2 x) f (x 1) ，若 f (1) 1，则 f (i) ( ) i0
A．0 【答案】A
B．1
C． 41
D． 42
【解析】由 f (2 x) f (x 1) ，知 3 是函数 f (x) 的一个周期.因为 f (x) 为奇函数，所以 f (0) 0 ，在 f (1 x) f (x 2) 中，令 x 1，得 f (2) f (1) f (1) 1，
所以 f 1 x f 1 x f (x 1) ，
即 f (x) f (x 2) ，
所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，即周期T 4，
又 f x 是定义在 R 上的奇函数，可得 f (0) 0
令 x 1， f (11) f (11) f (0) 0 ，即 f (2) 0 ，
题后 反思
本题考查了函数的奇偶性、周期性，重点考查了利用函数的性质求值.
针对训练*举一反三
1．（2020·广西高三）已知定义在
R
上的函数
f
(x)
满足
f
(x 1)
f
(x) ，且
f
(x)
1, 1 1,0
x 0 ，则 x 1
下列函数值为 1 的是（ ）
A． f (2.5)
B． f ( f (2.5))
x
3 2
,
0
时，
f
(x)
log2 (2x
6)
，则
f
(2020)
__________.
【答案】 2
【解析】因为函数 f (x) 为奇函数，则 f (- x) + f (x) = 0，又 f (3 x) f (x) 0 ，
则 f (3 x) f (x) ，即函数 f (x) 的周期为 3，
由 f x f 2 x 0, 则 f 2 x f x ， 又因为函数 f x 是定义域为 R 的奇函数， 则 f 2 x f x ，所以 f x 是以 2 为周期的函数， g x 的零点个数，即函数 y f x 与 y lg x 的交点个数，
在同一坐标系中作出两函数图像：
由图可知两函数有 5 个交点，即函数 g x 的零点共有 5.故答案为：5
因此 f x 的最小正周期为 2； 又 y f x 是定义域为 R 的奇函数，当 x0,1 时， f x x1 x ， 所以 f 2.5 f (2.5) f (0.5) 0.5(1 0.5) 0.25 .故答案为 0.25
6．（2020·甘肃兰州一中高三期中）已知定义域为 R 的奇函数 f (x) 满足 f (3 x) f (x) 0 ，且当
则 f (2020) f (3 673 1) f (1) f (1) log2[2 (1) 6] 2 ，
故答案为： 2 .
7．已知定义域为
R
的奇函数
f
x ，当
x
0 时，满足
f
x
log2 7 2x, 0 x
f x 3, x 3
2
3 2
，则
f 1 f 2 f 3 ... f 2020 _____________．
2
A．4
B．2
C．-2
D．-4
【答案】B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】由 f (x 6) f (x) 可知， f (x) 为周期函数，周期为T 6 ，
所以 f (2018) f (6336 2) f (2) ，又因为 f (x) 为奇函数，有 f (2) f (2) ，
因为 f (2) (2) sin[ (2)] 2 ，所以 f (2018) f (2) f (2) 2 ，答案为 B. 2
2，则f(1) + f(2) + f(3) + ⋯ + f(50) =
例题 A. -50 B. 0 C. 2 D. 50
因为f(x)是定义域为(-∞, + ∞)的奇函数，且f(1-x) = f(1 + x)，所以f(1 + x) = -f(x-1) ∴ f(3 + x) = 试题 -f(x + 1) = f(x-1) ∴ T = 4,因此f(1) + f(2) + f(3) + ⋯ + f(50) = 12[f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] +
所以
f
9 4
f
2018
f
7 4
f
2 f
1 4
f
(0)
f
1 4
0
log
2
1 4
2 .
故答案为： 2
9．（2020·江苏扬州中学高三期中）已知函数 f x g x 2019 x2 ，函数 g x 是定义域为 R 的奇函
2018
数，且 f 1 2 ，则 f 1 的值为__________．
故 f (0) f (1) f (2) 0 11 0 ，
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由函数的周期性，得 f (i) 21( f (0) f (1) f (2)) 0 .故选 A． i0
3．（2020·山东高三期末）已知函数 f x 是定义域为 , 的奇函数，且满足 f x 6 f x ，当 x 3,0时， f x x sin x ，则 f 2018 （ ）
5．（2020·江苏高三期中）已知 y f x 是定义域为 R 的奇函数，且满足 f x 1 f x ，当 x0,1
时， f x x1 x ，则 f 2.5 _______．
【答案】 0.25
【解析】因为 f x 满足 f x 1 f x ，
所以 f x 2 f x 1 f (x) ，
【答案】 1 1009
【解析】因为 f x g x 2019 x2 ， f 1 2 ，所以 f 1 g 1 2019 2 ，即 g 1 2017 ，
2018
2018
2018
又函数 g x 是定义域为 R 的奇函数，所以 g 1 g 1 2017 ，
2018
因此 f 1 g 1 2019 2 1 .故答案为 1