苏教版选修2-3高中数学1.5《二项式定理》word导学案

1.5 二项式定理

1．二项式定理

(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r

＋…＋C n n b n (n ∈N *)．

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n

的二项展开式，它一共n ＋1项，其中C r n a n －r b r 叫做二项展开式的第r ＋1项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n a n －r b r

.

C r n (r ＝0,1，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数．

预习交流1

你是如何理解和记忆二项式定理的？

提示：二项式定理是一个恒等式，左边是二项式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数为n ；字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n .

2．二项式系数的性质及应用

一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C n

n 有如下性质：

①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；③当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ，当r ＞n －12

时，C r ＋1n ＜C r

n ；

④C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .

预习交流2

如何说明C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n ·C n

n ＝0.

提示：利用赋值法，令公式中的

a ＝1，

b ＝－1，展开就会得到上式．

一、二项式定理

求⎝ ⎛

⎭

⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．

思路分析：直接利用二项式定理展开，注意每一项都符合通项公式，也可先将原式变形后再展开．

解：解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 2＋C 3

4

(3x )⎝

⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 4＝81x 2

＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 解法二：⎝

⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14

x 2

＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2

＋108x ＋54＋12x ＋1

x

2.

求二项式⎝

⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 10

的展开式中的常数项．

解：设第r ＋1项为常数项，则10C r (x 2)10－r ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x r ＝10

C r 5202

r x -·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r (r ＝0,1，…，10)，

令20－52r ＝0得r ＝8，所以第9项为常数项，常数项为C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫128

＝45256

.

利用二项式定理求展开式中某特定项，通常的做法是先确定通项公式中的r 的值或取值范围，但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系．

二、二项式系数的性质及应用

如果(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7

，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝__________.

思路分析：比较展开式与a 1＋a 2＋…＋a 7结构，会发现当x ＝1时，含有a 1＋a 2＋…＋a 7，即(1－2)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，从而只要知道a 0即可．

答案：－2

解析：令x ＝0得(1－2×0)7

＝a 0，∴a 0＝1.

再令x ＝1，则有(1－2×1)7

＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.

∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－1－1＝－2.

设(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x 2 012

(x ∈R )． (1)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011的值．

(2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 012|的值．

解：(1)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012

.①

令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝(－1)2 012

＝1.②

由①②，得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011)＝1－32 012

，

∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－3

2 012

2

.

(2)∵T r ＋1＝2012C r 1

2 012－r

·(－2x )r

＝(－1)r

2012C r

(2x )r

，

∴a 2k －1＜0(k ∈N *

)，a 2k ＞0(k ∈N *

)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012|

＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012

.

求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值需根据展开式系数的特征来定，一般地，

多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n

的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为f 1－f －12，偶数项系数的和为f 1＋f －1

2.