苏教版选修2-3高中数学1.5《二项式定理》word导学案

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1.5 二项式定理

1.二项式定理

(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r

+…+C n n b n (n ∈N *).

这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a +b )n

的二项展开式,它一共n +1项,其中C r n a n -r b r 叫做二项展开式的第r +1项(也称通项),用T r +1表示,即T r +1=C r n a n -r b r

.

C r n (r =0,1,…,n )叫做第r +1项的二项式系数.

预习交流1

你是如何理解和记忆二项式定理的?

提示:二项式定理是一个恒等式,左边是二项式幂的形式,右边是二项式的展开式,各项的次数都等于二项式的幂的次数为n ;字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0;字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .

2.二项式系数的性质及应用

一般地,(a +b )n 展开式的二项式系数C 0n ,C 1n ,…,C n

n 有如下性质:

①C m n =C n -m n ;②C m n +C m -1n =C m n +1;③当r <n -12时,C r n <C r +1n ,当r >n -12

时,C r +1n <C r

n ;

④C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n .

预习交流2

如何说明C 0n -C 1n +C 2n -C 3n +…+(-1)n ·C n

n =0.

提示:利用赋值法,令公式中的

a =1,

b =-1,展开就会得到上式.

一、二项式定理

求⎝ ⎛

⎪⎫3x +1x 4的展开式.

思路分析:直接利用二项式定理展开,注意每一项都符合通项公式,也可先将原式变形后再展开.

解:解法一:⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +1x 4=C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0+C 14(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1+C 24(3x )2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 2+C 3

4

(3x )⎝

⎛⎭⎪⎫1x 3+C 44(3x )0⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 4=81x 2

+108x +54+12x +1x 2. 解法二:⎝

⎛⎭⎪⎫3x +1x 4=⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +1x 4=3x +14

x 2

=1x 2(81x 4+108x 3+54x 2+12x +1)=81x 2

+108x +54+12x +1

x

2.

求二项式⎝

⎛⎭⎪⎫x 2+12x 10

的展开式中的常数项.

解:设第r +1项为常数项,则10C r (x 2)10-r ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x r =10

C r 5202

r x -·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r (r =0,1,…,10),

令20-52r =0得r =8,所以第9项为常数项,常数项为C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫128

=45256

.

利用二项式定理求展开式中某特定项,通常的做法是先确定通项公式中的r 的值或取值范围,但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系.

二、二项式系数的性质及应用

如果(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7

,那么a 1+a 2+…+a 7=__________.

思路分析:比较展开式与a 1+a 2+…+a 7结构,会发现当x =1时,含有a 1+a 2+…+a 7,即(1-2)7=a 0+a 1+a 2+…+a 7=-1,从而只要知道a 0即可.

答案:-2

解析:令x =0得(1-2×0)7

=a 0,∴a 0=1.

再令x =1,则有(1-2×1)7

=a 0+a 1+a 2+…+a 7, ∴a 0+a 1+a 2+…+a 7=-1.

∴a 1+a 2+…+a 7=-1-a 0=-1-1=-2.

设(1-2x )2 012=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2 012x 2 012

(x ∈R ). (1)求a 1+a 3+a 5+…+a 2 011的值.

(2)求|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 2 012|的值.

解:(1)令x =-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 2 012=32 012

.①

令x =1,得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2 012=(-1)2 012

=1.②

由①②,得2(a 1+a 3+a 5+…+a 2 011)=1-32 012

∴a 1+a 3+a 5+…+a 2 011=1-3

2 012

2

.

(2)∵T r +1=2012C r 1

2 012-r

·(-2x )r

=(-1)r

2012C r

(2x )r

∴a 2k -1<0(k ∈N *

),a 2k >0(k ∈N *

). ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 2 012|

=a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 2 012=32 012

.

求展开式的系数和关键是给字母赋值,赋值需根据展开式系数的特征来定,一般地,

多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n

的各项系数和为f (1),奇数项系数和为f 1-f -12,偶数项系数的和为f 1+f -1

2.

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