2019新考研数学模拟测试试题(含标准答案)

;
解：方程两边连续积分两次得
;
解：积分得
;
解：令 ,则原方程变为
故 .
;
解：设 ，则
原方程可化为
即
由p=0知y=c，这是原方程的一个解.
当 时，
解：
;
解：
;
解：令 ,则得
得
故 .
.
解：令 ，则 .
原方程可化为
24．利用习题22(2)证明：
,
并由此计算 (a为正常数)
证明：由习题22(2)可知
又
故等式成立.
2．求由下列方程确定的隐函数 的微分 ：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ .
解：⑴对等式两端微分，得
即
于是
⑵对等式两端微分，得
得
⑶对等式两端微分，得
解得
⑷对等式两端微分，得
解得
3．利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中 和 均为可微函数：
⑴ ；⑵ .
解：⑴
⑵
4．计算抛物线y=4x－x2在它的顶点处的曲率.
法线方程为：
12．已知 ,求 .
解：原式=
13．若 ，求 .
解：
14．求对数螺线 相应θ=0到θ=φ的一段弧长．
解：
．
15．写出下列级数的一般项：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
解：(1) ；
(2) ；
(3) ；
16．用根值判别法判别下列级数的敛散性：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．
25．计算下列二次积分：
解：（1）因为 求不出来，故应改变积分次序。
积分区域D：0≤y≤1,y≤x≤ ，如图10-14所示。
图10-14
D也可表示为：0≤x≤1,x2≤y≤x.
所以
(2)因为 求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中
如图10-15所示：
图10-15
积分区域D亦可表示为：
2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：
;
解：原式=
解：原式=
(n为正整数)
解：原式=
;
解：原式=
;
解：原式=
.
解：原式=
证明：因为 在[a,b]上连续，在（a，b）内可导，故在[a，x]上应用拉格朗日定理，则 ，使得 ,
于是 ,故有
7．证明恒等式：
证明：令 ,
故 ，又因 ,所以 ,即
8．设 在 上有 阶连续导数，在 内有 阶导数，且 试证：在 内至少存在一点 ，使 .
证明：首先，对 在 上应用罗尔定理，有 ，即 ，使得 ；其次，对 在 上应用罗尔定理，有 ，即 ，使得 一般地，设在 内已找到 个点 其中 使得 ，则对 在 上应用罗尔定理有 使得 .
故直线的标准方程为：
或
27．设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.
解：设平面在y轴上的截距为b
则平面方程可定为
又(1,2,-1)在平面上，则有
得b百度文库2.
故所求平面方程为
28．求过点（1，-2，1），且垂直于直线
的平面方程.
解：直线的方向向量为 ,
解：函数f(x)在x≠2k+1，k=0,±1,±2处连续.
故f(x)的傅里叶级数的复数形式为
(x≠2k+1，k=0,±1,±2,…)
22．当Σ为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分 与二重积分有什么关系？
解：因为Σ：z=0，在xOy面上的投影区域就是Σ
故
当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号．
23．求下列各微分方程的通解：
解：y=－(x－2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)
当x=2时， ，
故
5．曲线弧y=sinx(0<x<π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径.
解： .
显然R最小就是k最大，
令 ，得 为唯一驻点.
在 内， ，在 内， .
所以 为k的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为
.
6．如果 在[a，b]上连续，在（a，b）内可导且 证明： .
,
即 .
;
证明：令f(x)=ex
.
则曲线y=f(x)是凹的，
则
即 .
证明：令f(x)=xlnx(x>0)
则曲线 是凹的， ，x≠y，有
即 ，
即 .
11．试求曲线 在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.
解：
故在点（0，1）处的切线方程为：
，即
法线方程为： ，即
在点（－1，0）处的切线方程为：
解：(1) ，
故原级数发散．
(2) ，
故原级数收敛．
(3) ，
故原级数收敛．
(4) ，
当b<a时， <1，原级数收敛；当b>a时， >1，原级数发散；当b=a时， =1，无法判定其敛散性．
17．解：
从而
18．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：
(1) ；(2) ；
解：(1)由 知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时， 的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．
取平面法向量为{1，2，3}，
故所求平面方程为
即x+2y+3z=0.
29．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.
于是：
26．求通过下列两已知点的直线方程：
（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）.
解：（1）两点所确立的一个向量为
s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}
故直线的标准方程为：
或
（2）直线方向向量可取为
s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}
(1)
(2)
解：(1)
故 (-π<x<π)
(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，有bn=0,
所以
(0≤x≤2π)
21．设f(x)是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f(x)=e-x，试将f(x)展成傅里叶级数的复数形式.
记 易知 的收敛域为(-1,1)，记
则
于是 ，所以
(2)由 知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记 ，易知级数 收敛域为(-1,1)，记 ，则 ，
故 即 ， ，所以
19．将函数 展开成x的幂级数．
解：由于
所以 （|x|≤1）
20．将下列函数f(x)展开为傅里叶级数：
9．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷
解：⑴∵ 不存在,（因 ， 为有界函数）
又 ,
故不能使用洛必达法则.
⑶∵ 不存在,
而
故不能使用洛必达法则.
⑷∵
利用洛必达法则无法求得其极限.
而 .
故答案选（2）.
10．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：
;
证明：令
，
则曲线y=f(x)是凹的，因此 ，