考研数学洛必达法则求极限
考研数学极限与连续的知识点
考研数学极限与连续的知识点在考研数学中，极限与连续是非常重要的基础知识点，理解和掌握好这部分内容对于后续的学习和解题至关重要。
接下来，咱们就来详细聊聊这部分的知识。
一、极限的概念极限是描述函数在某个过程中变化趋势的数学概念。
简单来说，就是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的那个数。
比如，当 x 趋近于 1 时，函数 f(x) ＝ x ＋ 1 的极限就是 2。
极限有多种类型，比如数列的极限和函数的极限。
数列的极限就是当项数 n 无限增大时，数列的通项无限接近某个值。
对于函数的极限，又分为左极限和右极限。
左极限是指自变量从左边无限趋近于某个值时函数的极限，右极限则是从右边趋近时的极限。
函数在某点的极限存在，当且仅当左极限和右极限都存在且相等。
二、极限的计算方法1、代入法如果函数在某点连续，那么直接将该点的数值代入函数，就可以得到极限值。
2、化简法通过对函数进行化简，比如约分、有理化等，把复杂的函数形式变得简单，从而求出极限。
3、等价无穷小替换当自变量趋近于0 时，一些函数可以用与其等价的无穷小量来替换，从而简化计算。
4、洛必达法则当遇到分子分母都趋近于 0 或者无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导，再求极限。
5、夹逼准则如果存在两个函数，在某个点附近，一个函数始终大于目标函数，另一个始终小于目标函数，并且这两个函数在该点的极限相同，那么目标函数在该点的极限就等于这个相同的值。
三、连续的概念连续是指函数在某个区间内没有断点，也就是说，函数在该区间内任意一点的极限值都等于该点的函数值。
直观地说，如果我们能一笔不间断地画出函数的图像，那么这个函数在相应区间就是连续的。
四、连续的条件1、函数在某点有定义。
2、函数在该点的极限存在。
3、极限值等于函数在该点的函数值。
只有同时满足这三个条件，函数在该点才是连续的。
五、间断点的类型1、可去间断点函数在该点的极限存在，但不等于该点的函数值。
2、跳跃间断点函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
考研数学讲解之洛必达法则失效的情况及处理方法
洛必达法则失效的情况及处理方法【本章定位】此部分内容不需要特别掌握，关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒展开式的重要性！。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则)()(lim )()(limx g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件： （1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；（3）A x g x f a x =''→)()(lim（或∞）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。
所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。
此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题1】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。
【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。
这样+∞→x 就等价于∞→n ，所以⎰⎰+∞→+∞→+=r n n x x x x r n x x x ππ00d sin 1lim d sin 1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰+∞→r n n n n x x x x r n ππππd sin d sin 1lim 0ππππ22lim d sin d sin 1lim 00=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∞→∞→⎰⎰r n R n t t x x n r n n r n ， 这里前面一项注意到了函数x sin 的周期为π，而后面一项作了令t n x +=π的换元处理。
考研数学二极限试题及答案
考研数学二极限试题及答案# 考研数学二极限试题及答案## 题目一：求极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答步骤：1. 首先，我们考虑极限的类型，这是一个0/0型的不定式。
2. 为了解决这个问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
3. 应用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}\]4. 当 \(x \to 0\) 时，\(\cos x\) 趋向于 1。
5. 因此，极限的值为 1。
答案：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]## 题目二：函数极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)。
解答步骤：1. 观察极限表达式，这是一个无穷大的倒数。
2. 当 \(x\) 趋向于无穷大时，\(x^2\) 也趋向于无穷大。
3. 任何数除以一个趋向于无穷大的数，结果都趋向于 0。
答案：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\]## 题目三：复合函数的极限题目描述：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求极限 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。
解答步骤：1. 直接将 \(x = 2\) 代入函数 \(f(x)\) 中。
2. 计算得到 \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2\)。
3. 简化得到 \(f(2) = 8 - 12 + 4\)。
4. 计算结果为 \(f(2) = 0\)。
答案：\[\lim_{x \to 2} f(x) = 0## 题目四：数列极限题目描述：考虑数列 \(a_n = \frac{1}{n}\)，求其极限。
考研数学(二)函数极限怎么算
考研数学(二)函数极限怎么算2018考研数学(二)函数极限怎么算
在往年的数学(二)考试大纲中，明确要求考生“掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限”(单调有界准则和夹逼准则)，“掌握利用两个重要极限求极限的方法”，“会用等价无穷小量求极限”，理解并会用泰勒定理，“掌握用洛必达法则求未定式极限的方法”。
(一)计算函数极限的主要方法
计算函数极限的方法主要有如下几种：
(1)利用两个重要极限求函数极限;
(2)用等价无穷小量替换求函数极限;
(3)用泰勒展开式求函数极限;
(4)用洛必达法则求未定式函数极限，这是求函数极限的最重要的方法，在实际解题中可能多次迭代使用该法则;
(5)用凑极限法求函数极限，即凑出题设中已知极限的函数式，从而较好地利用题设条件。
分子有理化或者分母有理化，以达到简化函数式或者为应用其它方法提供条件。
在具体的解题实践中，可能要多种方法并用，从而正确、简洁、快速地求出函数极限。
在计算较复杂函数的极限时，往往需要利用等价无穷小量替换对该函数进行多次化简，这是一个值得重视的'解题技巧。
但是该技巧只能在乘除法中使用，在加减法中不能使用;换言之，只能对被极限式的分子或者分母的因子应用等价无穷小量替换。
而解题过程中，及时提取出函数中极限为非零的因子也可以简化被极限式。
(二)常用的等价无穷小量和泰勒展开式
常用的等价无穷小量如下所述，掌握它们后可以简化解题过程，应用泰勒展开式可以推导出更多等价无穷小量。
(三)真题解析
本文系统讨论了2018考研数学(二)科目中计算函数极限的方法，并给出了往年数学(二)试卷中2道真题的解析，希望能对考生复习
备考有所帮助。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
考研数学一-高等数学(五)
考研数学一-高等数学(五)(总分：99.99，做题时间：90分钟) 一、填空题(总题数：10，分数：40.00)（分数：4.00）解析： [解析] 先作如下变形：解法一：用洛必达法则求这个极限其中解法二：用泰勒公式求这个极限相减得因此（分数：4.00）解析： [解析] 因为故则所以3.极限（分数：4.00）解析： [解析] 将分子变形为又，当x→0时，则（分数：4.00）解析： [解析] 所求极限为“∞-∞”型未定式，应首先通分化为“ ”型未定式后，再进行求解．（分数：4.00）解析： [解析] 解法一：属1 ∞型利用等价无穷小因子替换得即解法二：属1 ∞型，用求指数型极限的一般方法而即（分数：4.00）解析：1 [解析] 因故所求极限是“ ”型未定式，用分项求极限法可得(后一项的分子为有界变量，分母是无穷大量，故其极限为0)．7.设，则（分数：4.00）解析： [解析]因为，所以8.设f(x)在x=0处可导且f(0)=1，f"(0)=3，则数列极限（分数：4.00）解析：e 6 [解析] 这是指数型的数列极限，一般先进行变形，并转化为函数极限求解．又故I=e 6．（分数：4.00）解析： [解析]把看作函数在处的函数值，其中正好是将区间[0，1]n等分所得的第k个分点(k=1，2，…，n)，这时每个小区间的长度为．于是可看作定积分对应的和式极限其中又因为在[0，1]上连续，于是在[0，1]上可积，故10.设f(x)连续，且当x→0时，x 3等价的无穷小量，则f(0)= 1．（分数：4.00）解析： [解析] 由无穷小量的定义及洛必达法则，可得所以，二、解答题(总题数：15，分数：60.00)11.设f(x)在(x 0 -δ，x 0 +δ)有n阶连续导数，且f k (x 0 )=0，k=2，3，…，n-1；f (n) (x 0)≠0，当0＜|h|＜δ时，f(x 0 +h)-f(x 0 )=hf"(x 0 +θh)(0＜θ＜1)，求的值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f"(x 0 +θh)在x=x 0处展开成泰勒公式得代入原式得令h→0得所以12.设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，|f"(x)|≤M对-∞，+∞)成立，求证：f"(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f(x+1)与f"(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得为估计|f"(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．为估计|f"(x)|的大小，由式①+式②得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．13.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，f(0)=0，且x，t∈(-∞，+∞)满足试求f(x)在(-∞，+∞)内的导函数f"(x)．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当x≠0时，令xt=μ，可得于是，当x≠0时，，即由f(x)的连续性知可导，从而xf(x)可导，于是f(x)当x≠0时可导，且f(x)=xf"(x)+f(x)+2xsinx+x 2 cosx．由此可得f"(x)=-2sinx-xcosx，x≠0，求积分知，当x≠0时，利用f(x)在(-∞，+∞)内的连续性及f(0)=0，可得，得C=-1．于是f(x)=cosx-xsinx-1，不仅当x≠0时成立，而且对x=0也成立，即 f(x)=cosx-xsinx-1，x∈(-∞，+∞)，故 f"(x)=-2sinx-xcosx，x∈(-∞，+∞)．证明：（分数：4.00）(1).若f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b＞a)上的最大值和最小值，则有不等式两边同时除以(b-a)得到显然，介于函数f(x)的最大值和最小值之间．根据闭区间上连续函数的介值定理可知．在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值与相等，即等式两边同时乘以(b-a)可得结论得证．(2).若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题知，至少存在一点η∈(2，3)，使得，又，所以有φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)．因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)，使得且至少存在一点ξ2∈(2，η)，使得再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2 )，使得14.设函数f(x)可导，且有f"(x)+xf"(x-1)=4，又求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对变限积分，需经过两次求导，方可得到f(x)的导数形式，而中含有x，需先换元再求导．可设u=xt，则所以即两边同时对x求导得再次对x求导得f"(x)+xf"(x-1)+2f(x-1)=24x 2 +6x，将f"(x)+xf"(x-1)=4代入得f(x-1)=12x 2 +3x-2，故15.设f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且满足求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=∫f"(x)e -x dx-∫f"(x)e -x dx．由于∫f"(x)e -x dx=f"(x)e -x+∫f"(x)e -x dx，所以∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=f"(x)e -x +C．对于方程令x=0得f"(0)=f"(0)=1．对两边求导，有(1+x)f"(x)+f"(x)-(1+x)f"(x)-f(x)+f(x)=0，即 (1+x)f"(x)-xf"(x)=0．令p=f"(x)，有即 lnp=x-ln(1+x)+lnC，所以，即又f"(0)=1，于是C=1，即，所以16.设质点P所受的作用力为F，其大小反比于点P到坐标原点O的距离，比例系数为k；其方向垂直于P、O的连线，指向如下图所示，试求质点P由点经曲线到点时，力F所做的功．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设点P坐标为P(x，y)，∠POB=θ，则故其中L为从点沿到点的一段．设，因故曲线积分①在第一象限与路径无关，可选择从A到B的直线段积分．所在的直线方程为，故17.求直线在平面π：x-y+2x-1=0上的投影直线L 0的方程，并求L 0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：经过L作平面π1与π垂直，则π1与π的交线就是L在π上的投影，L的方向向量s={1，1，-1}，π的法向量n={1，-1，2}是平面π1上的两个不共线向量，点p 0 (1，0，1)是L上一定点，设p 1(x，y，z)是平面π1上任一点，则共面，即即x-3y-2z+1=0．故L在π上的投影是为求L 0绕Y轴的旋转面，先把L 0表示为以Y为参数的形式，则旋转面的参数方程为消去θ得即旋转曲面的方程为4x 2 -17y 2 +4z 2 +2y-1=0．18.已知f(x，y)的2阶偏导存在且连续，且f(x，0)=1，f" yy(x，y)=x 2+2x+4，f" y(1，0)=-cos1，求f(x，y)的表达式．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：f" yy (x，y)=x 2 +2x+4两边对y积分得f" y (x，y)=(x 2 +2x+4)y+φ(x)，①式①两边对x求偏导得则对φ"(x)取积分得所以(C为任意常数)．代入点(1，0)得则，故对式②两边求积分：代入点(x，0)，f(x，0)=C 1 =1，所以f(x，y)在点(0，0)处的连续性以及可微性．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(1)因为sin(x 2 +y 2)≤x 2 +y 2，所以0≤|f(x，y)|≤|x+y|，且所以所以f(x，y)在点(0，0)处连续．(2)同理f" y (0，0)=1，因为所以式①为0，即f(x，y)在点(0，0)处可微．综上f(x，y)在点(0,0)处连续可微．4.00）(1). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(x，y)≠(0，0)时，(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?为什么? 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为又因此在点(0，0)处连续，故f(x，y)在点(0，0)处可微，且微分为零．设u=u(x，t)有二阶连续偏导数，并满足其中a＞0为常数．（分数：3.99）(1).作自变量代换ξ=x-at u对x，t的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由复合函数求导法求导得(2).导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题中的式①、②及题设条件得即(3).求u(x，t)．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：把式③写成，即与η无关，h(ξ)是连续可微的任意函数，再对ξ积分一次，并注意到积分常数可依赖η，于是将u=f(ξ)+g(η)用变量x，t表示得u(x，t)=f(x-at)+g(x+at)，其中，f(ξ)，g(η)是任意二阶连续可微的函数．20.已知一个三角形的周长为16，求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大时的三角形。
考研数学分析总结-数二
1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aa dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aa dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aa dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-a a 奇函数 、⎰⎰=-a aa 02偶函数偶函数。
考研数学二(解答题)模拟试卷230(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷230(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限：．正确答案：属型．利用洛必达法则．原式＝涉及知识点：极限、连续与求极限的方法2．求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续3．确定常数a，c，使得，其中c为非零常数．正确答案：由洛必达法则，故a=1，c=1／2．涉及知识点：高等数学部分4．设随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=求EX，EY，cov(X，Y)，ρXY和D(X+Y)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计5．设f(x)=上连续．正确答案：因为涉及知识点：函数、极限、连续6．求正确答案：由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)得ln(1－2χ)＝－2χ－2χ2＋o(χ2)，于是arctan2χ[2χ＋ln(1－2χ)]～－2χ4；涉及知识点：函数、极限、连续7．计算其中D={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤2}．正确答案：令D1={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|一1≤x≤1，x2≤y≤2}，则涉及知识点：高等数学8．构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵正确答案：(1)先求特征值A的特征值为0，2，6．再求单位正交特征向量组属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，－1)T，单位化得属于2的特征向量是齐次方程组(A－2E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，－1，0)T，单位化得属于6的特征向量是齐次方程组(A－6E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组(2)先求特征值A的特征值为1，1，10．再求单位正交特征向量组属于1的特征向量是齐次方程组(A－E)X=0的非零解，得(A—E)X=0的同解方程组x1+2x2－2x4=0，显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，－1，1)T(保证了与α1的正交性！)，代入方程求出c=4，即α2=(4，－1，1)T．令再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A－10E)X=0的非零解(1，2，－2)T，令γ3=α3／‖α3‖=(1，2，－2)T／3．作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)．则涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化9．求函数f(x)=的最大值与最小值．正确答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)=0，得f(x)的唯一驻点为x=当x∈(0，)时，f’(x)＞0，当x∈(，+∞)时，f’(x)＜0，注意到驻点的唯一性，则x=为函数f(x)的最大值点，最大值为因为f(+∞)=f(-∞)=(2-t)e-tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．涉及知识点：一元函数积分学10．设y＝f(χ)与y＝sinχ在原点相切，求正确答案：由题意得f(0)＝0，f′(0)＝cosχ｜χ＝0＝1，涉及知识点：一元函数微分学及应用11．设A为正交矩阵，且｜A｜=一1，证明：λ=一1是A的特征值。
各类未定式求极限处理方法(主要针对考研数学)
各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）在求极限的过程中，经常会遇到各种各样的未定式形式，如0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞等。
对于这些不定式，我们可以通过一些方法进行处理，从而求出极限的值。
在考研数学中，熟练掌握这些处理方法是非常重要的。
下面，我将介绍一些常见的处理方法。
1. 0/0型：当求极限的时候，遇到0/0型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则进行处理。
设f(x)和g(x)都在其中一点a的一些去心邻域内有定义且可导，且满足f(a)=g(a)=0。
如果极限lim（x→a）f'(x)/g'(x)存在，那么极限lim（x→a）f(x)/g(x)也存在，且两者相等。
这就是洛必达法则。
通过多次应用洛必达法则，可以将0/0型的未定式化简为一个更容易求解的形式。
2. ∞/∞型：当求极限的时候，遇到∞/∞型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则的推广形式来处理。
对于同为正无穷或负无穷的函数f(x)和g(x)，如果f(x)/g(x)的极限存在，那么有lim（x→∞）f(x)/g(x) = lim（x→∞）f'(x)/g'(x)。
3.0*∞型：当求极限的时候，遇到0*∞型的未定式，我们可以考虑对函数进行变形。
将0*∞型的表达式转化为一个更有利于求解的形式。
例如，可以将其中的一个因子进行分解或者将整个表达式转化为一个以∞为变量的函数来求极限。
4.∞-∞型：当求极限的时候，遇到∞-∞型的未定式，我们需要使用一些特殊的方法进行处理。
一种常用的方法是通过换元来变换函数，将其化简为一个可以应用洛必达法则的形式。
另一种方法是将该极限转化为一个函数极限求解问题。
例如，可以使用多项式乘法公式对∞-∞型的未定式进行展开化简等。
5.1^∞型：当求极限的时候，遇到1^∞型的未定式，我们可以考虑使用对数函数或指数函数来进行处理。
将1^∞型的表达式转化为一个更容易处理的形式。
对于1^∞型的未定式，可以将其化为0^∞型或∞^0型，进而应用对数和指数的性质进行化简。
浅析洛必达法则在考研数学中的运用
浅析洛必达法则在考研数学中的运用洛必达法则在考研数学中的重要性不可忽视。
这个法则为求解函数的极限提供了另一种有效的方法，也是数学分析中的一种重要工具。
掌握洛必达法则不仅可以帮助考生解决各类极限问题，还可以在求解函数的导数、积分等问题中发挥作用。
本文将通过介绍洛必达法则的基本概念、运用及技巧，帮助考生更好地理解并掌握这一重要工具。
洛必达法则，也称为洛必达定理，是指当一个函数趋近于无穷大时，如果函数的倒数也趋近于无穷大，则函数的商也趋近于无穷大。
这个法则是由法国数学家洛必达在他的著作《无穷小分析》中首次提出的。
简单来说，洛必达法则就是求导数的商的极限。
在考研数学中，洛必达法则的应用非常广泛。
在判断极限问题中，考生可以通过使用洛必达法则来验证极限是否存在，并求出其具体值。
例如，对于函数f(x)在x=0处趋近于无穷大，且f'(x)在x=0处也存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f(x) / g(x)的值。
在求极限问题中，考生可以利用洛必达法则来对函数进行求导或积分，从而得到函数的极限。
在讨论函数的连续性问题中，洛必达法则也发挥了重要作用。
例如，对于函数f(x)在x=0处连续，且f'(x)在x=0处存在，则可以使用洛必达法则来求lim x→0 f'(x)的值，从而得到函数在x=0处的导数值。
为了更好地运用洛必达法则，考生需要掌握一些技巧。
考生要学会选择合适的解题方法。
对于一些简单的极限问题，可以直接运用洛必达法则来求解；而对于一些较为复杂的问题，可能需要先进行化简、变形等操作，再使用洛必达法则。
考生要学会如何快速锁定答案。
在使用洛必达法则时，考生可以通过观察待求极限的函数形式，来判断是否可以使用洛必达法则。
例如，对于形如lim x→∞ f(x) / g(x)的极限问题，如果f'(x)和g'(x)都存在，那么就可以考虑使用洛必达法则来求解。
洛必达法则是考研数学中的重要内容，对于求解函数的极限、导数、积分等问题都有很大的帮助。
洛必达法则求极限应用分析
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分析 ： 如果直接应用洛 必达 法则， 由于分子、 分母 的函数求 上述 两种 不定式的一种 。因此 对初学者 使用洛必达法则 ， 其中 导麻烦 ， 计算量较大 ， 故可先化为 两个 因式 的乘积 判 定是何种 不定式尤 为重要 。
洛必达LHospital法则在求1∞型极限中的应用
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考研数学：极限计算法则——洛必达法则
考研数学：极限计算法则——洛必达法则洛必达法则是计算极限最常用的方法之一，也是历年考研数学的一个高频考点，不仅能算出具体函数的极限，对于抽象函数求极限也同样适用。
在大学阶段，同学们最喜欢一洛到底，但是洛必达法则也是有底线的，并不是所有的极限都能用洛必达求出来，接下来就介绍一下洛必达法则，正确认识洛必达，才可以理解其定理及科学有效地使用，吃透定理后进而找到它们的解题思路，才不至于在做这一题型时感到无从下手。
一、关于洛必达法则洛必达法则有两类，分别是x a →和x →∞，现归为一种情况x → 进行介绍，定理如下:设(),)f x g x （满足ⅰ）()0lim ()0x f x g x →= 或∞∞ⅱ）(),)f x g x （在 的某去心邻域内可导且()0g x '≠ⅲ）()lim ()x f x g x →'' 存在或为∞则有()()lim lim .()()x x f x f x g x g x →→'='关于该法则需要注意的有两点：①在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误的结果；②使用洛必达法则之前一定先对极限式化简（等替或者四则运算的函数分解）.二、下面分别对每个条件进行分析：对于条件一，只需保证极限是00或∞∞的分式形式；对于条件二，需保证可导性，当已知极限式中的函数存在n 阶导数时，只能使用洛必达法则至出现1n -阶导数（如至n 阶，不能保证连续性），最后一步一般凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在n 阶连续导数时，可以使用洛必达法则至出现n 阶导数。
例：已知()f x 二阶可导，求20))2)lim .h f x h f x h f x h →++--（（（解：200000))2)lim ))lim 2)()())lim 21)()1)()lim lim 22().h h h h h f x h f x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x →→→→→++--''+--=''+-+--=''+---=+-''=（（（（（（（（（分析：二阶可导，可洛至一阶，之后凑二阶导数定义；若该题中，已知()f x 二阶连续可导，解题过程如下;解：2000))2)lim ))lim 2))lim 2().h h h f x h f x h f x h f x h f x h hf x h f x h f x →→→++--''+--=''''++-=''=（（（（（（（对于条件三，需保证求导之后的极限必须存在或为∞（后者情况较少），即当()lim ()x f x Ag x →'='或∞时，方可使用洛必达。
2017考研数学高数知识点梳理之洛必达法则
2017考研数学高数知识点梳理之洛必达法则
考研数学中的高数无外乎是考生们需要下功夫学习的一门课。
备考初期，由于对知识点主线把握的不全面很容易在学习中遇到问题。
下面，小编就将高数中的重难知识点为大家进行梳理。
洛必达法则
洛必达法则知名度很高。
提起极限计算的方法，有同学别的方法想不起来，唯独对洛必达念念不忘，可谓情有独钟。
到了这个阶段，对于此法，首先要注意条件。
洛必达法则有三个条件：
1)0分之0或无穷分之无穷型;
2)分子、分母在一个范围(若极限过程为x趋近于一点，则“局部”为该点的某去心邻域)可导;
3)分子、分母分别求导后的极限存在。
具体函数仅判断第1)条一般不会出问题，因为第2)、3)条在多数情况下成立。
但对抽象函数的极限问题要小心，可不可导，连不连续对洛必达法则的运用都有影响。
此外，泰勒公式以强大著称，但有一种情况不得不请出不那么强大的洛必达法则帮忙，谁这么大牌?原来是含有变限积分的极限。
一般得借助洛必达法则削去积分号。
考研数学/kaoyan/news238.html。
考研数学：求极限的16种方法
考研数学：求极限的16种方法1500字求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。
在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。
以下是16种常见的求极限的方法：方法1：代入法代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。
代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。
方法2：夹逼定理夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。
通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。
方法3：集中取值法集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。
通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。
方法4：变量代换法变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。
通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。
方法5：公共因子法公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。
通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。
方法6：三角函数极限法三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。
通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。
方法7：幂函数极限法幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。
通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。
方法8：自然对数极限法自然对数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行自然对数的极限转化的情况。
通过使用自然对数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的自然对数极限。
方法9：常数e极限法常数e极限法是一种常用的方法，适用于需要进行常数e的极限转化的情况。
通过使用常数e的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的常数e极限。
方法10：斜率法斜率法是一种常用的方法，适用于需要进行斜率的极限转化的情况。
2024考研数学第一章节——函数极限,连续思维导图,脑图
函数的极限、连续极限定义性质唯一性局部有界性局部保号性重要计算方法洛必达法则运算法则泰勒公式公式展开原则1无穷小比阶无穷小量高阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?02低阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?∞3等阶无穷小5lim f(x)\g(x)=x→\?14同阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?A(不包括0,1)6（7个）未定式的样式和已定式的具体解法未定式——0/0I——1^∞II——∞/∞III——∞-∞IV——0*∞V——∞^0VI——0^0VII已定式带入数值直接计算连续、间断连续点的定义间断点的分类第一间断点可去间断点左、右极限存在，并且相同子主题1跳跃间断点左、右极限存在，并且不相同子主题1第二间断点无穷间断点子主题1震荡间断点子主题1备注：1. 适用条件主要原则：相消不为零原则次要原则：上下同阶原则2. 函数f(x)趋向于∞的速度函数g(x)快可以理解为高阶比低阶3. 函数f(x)趋向于∞的速度函数g(x)慢可以理解为低阶比高阶4. 两个函数趋向于1的速度一样快（同阶）5. 适用条件：x趋向于0，？趋向于01、sin x~x ——(推广) sin ?=?2、arc sin x~x ——(推广)arc sin ?~?3、tan x~x ——(推广)tan ?~?4、arc tan x~x ——(推广)arc tan?~? 5、e^x-1~x ——(推广)e^?-1~? 6、ln (1+x)~x ——(推广)l n (1+?)~?7、1- cos x~1\2 x^2 ——(推广)1- cos?~1\2 ？^2 8、(1+x)^?-1~?x ——(推广) (1+?)^a-1~a?6. 两个函数趋向于A的速度差不多一样快（同阶）。
考研数学中求极限方法的总结
考研数学中求极限方法的总结1.引言19 世纪建立的极限理论奠定了微积分的基础[1]，使数学这门古老的学科有了质的飞跃，由此建立起来的理论及其应用开创了一个崭新的数学时代。
但是对于数列及函数极限的求解问题，看似简单，但实则方法过于多种多样，往往就是一个比较难一点的极限问题，就会导致学者因选错方法而浪费大量的时间或者根本做不出来。
因此本文针对求极限的方法进行总结归纳，给学者梳理出了一些求极限的方法。
2.利用几种已知公式求极限2.1.和差化积公式积化和差公式解题思路：此方法一般求解的比较简单的极限，比较明显的是两个三角函数相减或相乘的形式。
2.2.伯努利不等式己知实数x＞-1 ，当n≥1时，有(1+x)n≥1+ nx；当0≤n≤1，有(1+x)n≤1+ nx。
解题思路：此种类型一般是在求解极限的过程中，所以在这里就不举例说明。
2.3.泰勒公式[2]解题思路：对于型不定式中，如果运用洛必达则比较麻烦。
此类题目比较明显的特征是含有 e x，sin x，cos x，ln (1+ x)等混在一起的混合运算，此类题大多数是用洛必达做不出来的，而用泰勒公式进行简单的替换就很容易求出来的。
例1.3 求极限解：由泰勒公式展开到第三项得：3.利用洛必达法则求极限[3]定理：对在数列 x n与 y n间有一定关系的商的极限，我们可以用序列的洛比达法则。
满足4.利用单调有界性求极限单调有界定理[3]：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
有上界的递增数列必有极限，有下界的递减数列必有极限。
5.利用迫敛性(两边夹定理)求极限迫敛性[3]：设收敛数列{a n }，{b n }都是以a为极限，则数列{c n }满足，存在正数N0，当n ＞N0时有 a n≤c n≤b n，则数列收敛，且满足。
解题思路：一般适用于较复杂的通项。
首先要把从 x n的表达式写出来，然后通过放缩法找到两个有相同极限值的数列。
例题4.1 求极限解：因为由迫敛性得。
考研真题数学二求极限
考研真题数学二求极限考研数学二中的求极限是一个常见的题型，也是考生们备考中需要重点关注的内容之一。
在考试中，求极限可以说是考查学生对数学基本概念和运算的理解能力以及解题技巧的综合考察。
本文将从不同角度分析考研数学二中求极限的相关知识和解题方法，帮助考生更好地应对这一题型。
首先，我们来看一道典型的求极限题目：求极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$。
在解答这类题目时，我们可以运用泰勒展开的思想。
根据泰勒展开的定义，我们可以将$e^x$展开成无穷级数形式：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$。
将其代入原式，得到$\lim_{x\to0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots-1}{x}$。
化简后，可得$\lim_{x\to0}(1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots)=1$。
因此，原极限的结果为1。
除了泰勒展开的方法，我们还可以运用洛必达法则来解答这类题目。
洛必达法则是一种常用的求极限的方法，它可以帮助我们简化计算过程，得到准确的结果。
在这个例子中，我们可以将分子和分母同时对x求导，得到$\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$。
因此，原极限的结果也是1。
除了以上两种方法，我们还可以运用夹逼定理、换元法等其他解题方法来求解极限题目。
这些方法都是根据不同的数学原理和定理来解答问题的，考生们可以根据自己的理解和掌握情况选择合适的方法进行解答。
除了具体的解题方法，我们还需要注意一些常见的求极限的技巧和注意事项。
首先，我们需要注意在求解极限时，要考虑函数在极限点附近的性质。
例如，在求解$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$时，我们可以利用极限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$的性质来简化计算过程。
考研数学阶段测试题答案
考研数学阶段测试题答案一、选择题1. 极限计算(1) 求极限：当x趋向于0时，sinx/x的极限值是多少？解：根据洛必达法则，分子分母同时趋近于0，可以求导数，分子对x求导得到cosx，分母求导得到1，所以极限值为cos(0)/1=1。
(2) 已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，求lim(n→∞)an/2^n的极限值。
解：首先观察数列{an}的递推关系，可以发现an+1=2(an+1)，即数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列。
因此，an+1=2^(n+1)，进而得到an=2^n-1。
将an代入极限表达式，得到极限值为lim(n→∞)(2^n-1)/2^n=lim(n→∞)(1-1/2^n)=1。
2. 微分应用(1) 给定函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求其在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2。
令f'(x)=0，解得x=1和x=2/3。
计算f(-1)=-2，f(1)=-2，f(2/3)=7/27-4/9+2/3+1=4/27>0，f(2)=3。
因此，f(x)在区间[-1,2]上的最大值为4/27，最小值为-2。
(2) 求曲线y=x^2+1在点(1,2)处的切线方程。
解：首先求导数y'=2x。
在点(1,2)处，切线的斜率为2*1=2。
利用点斜式方程y-y1=m(x-x1)，代入点(1,2)和斜率2，得到切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x。
二、填空题1. 求积分∫(0,π)sin(x)dx的值。
解：根据积分公式∫sin(x)dx=-cos(x)+C，积分区间为[0,π]，所以∫(0,π)sin(x)dx=-cos(π)+cos(0)=2。
2. 已知级数Σ(n从1到∞)(3n^2+2n)/(n^3+1)，判断其收敛性。
解：首先观察级数通项，可以发现分子是n的多项式函数，分母也是n的多项式函数。
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前面介绍了求极限的四则运算法则在函数分解、抓大头和极限敛散性讨论等三个方面的应用。
下面我们继续深入剖析洛必达法则的使用条件。
首先要明确使用洛必达法则的三个条件：
虽然洛必达法则使用方便，但是一不小心就会陷入陷阱，导致误用乱用错用。
主要原因还是在于没有把握住洛必达法则使用的这三个条件，尤其是后面两个条件：可导性、求导后极限存在性。
我们通过例题来展示洛必达法则的正确使用过程、相关结论及考生需要格外注意的易错点。
1. 洛必达法则可导性检验
在整个过程中，使用了两次洛必达，最后一步直接代值计算。
如果这个题是选择题，那么可能90%以上的考生都会很幸运的拿到分数，但是并没有几个人是真正做对的，因为上面的过程是误用了洛必达法则。
作为一道解答题，我们应该如何正确去解决这道题，首先分析上面的过程错在哪?
由此，我们给出大家洛必达法则的使用规则：
(1).当极限式中函数存在n阶导数，则使用洛必达至出现n-1阶导，最后一步一般是凑导数定义;
(2).当极限式中函数存在n阶连续导数，则可以使用洛必达至出现n阶导。
2. 洛必达法则求导后极限存在性讨论
针对第三个条件，大家要正确理解下面两个命题：。