高考数学二轮复习 第一部分专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第4讲 不等式课件 理

(3)绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 |x|＜a |x|＞a
a＞0 －a＜x＜a x＞a或x＜－a
a＝0 ∅
x≠0
a＜0 ∅ R
3．辨明易错易混点 (1)解形如一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)时，易忽视系 数 a 的讨论导致漏解或错解，要注意分 a>0，a<0 进行讨论． (2)应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把 gf（（xx））≤0 直接转化为 f(x)·g(x)≤0，而忽视 g(x)≠0.
ex－1，x<1，
1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝ 1
则使
x3，x≥1，
得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是_(_－__∞__，__8_]_____．
解析：当 x<1 时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2，所以当 x<1 时满 足 f(x)≤2.
1
当 x≥1 时，x3≤2，x≤23＝8，所以 1≤x≤8.
1．必记性质与定理 (1)不等式的四个性质 注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如 ①a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； ②a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； ③a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；
④a>b>0⇒
n
n a>
b(n∈N，n≥2)．
(2)基本不等式
考点一 不等式的解法 [命题角度] 1．一元二次不等式的解法． 2．与分段函数有关的不等式的解法． 3．由不等式恒成立求参数范围．
(1)(2015·南昌质检)已知一元二次不等式 f(x)≤0 的解 集为x|x≤21，或x≥3，则 f(ex)＞0 的解集为( D ) A．{x|x＜－ln 2，或 x＞ln 3} B．{x|ln 2＜x＜ln 3} C．{x|x＜ln 3} D．{x|－ln 2＜x＜ln 3}
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第4讲 不等式
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2016考向导航 高考对不等式的考查主要涉及不等式的解法、基本不等式及 其应用、线性规划等知识点． (1)不等式(绝对值不等式)的解法较少单独命题，常与二次函 数、集合等知识交汇命题． (2)基本不等式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立 问题、实际应用问题等交汇命题． (3)线性规划常常单独考查目标函数的最值问题，有时也会与 函数、平面向量、解析几何等交汇命题，常以选择题、填空 题形式出现，难度中等及以下．
综上可知 x∈(－∞，8]．
2．已知函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 x＝2 对称，若 f(x)＝
4x－15，则不等式gx（2－x）1 ≥0 的解集是(_－__∞__，__－__1_)∪___41_，__1_．
解析：由题意得 g(x)＝1－4x，故不等式gx（2－x）1 ≥0 等价于 1x－2－41x≥0，即(x－1)(x＋1)(4x－1)≤0(x≠1 且 x≠－1)，解得 x<－1 或14≤x<1.
2．活用公式与结论 (1)一元二次不等式的恒成立问题
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是aΔ><0， 0； ②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是aΔ<<00，.
(2)快速判断 Ax＋By＋C≥0 表示的平面区域 ①当 C≠0 时，取原点(0，0)，若能满足 Ax＋By＋C≥0，则 不等式表示的平面区域就是含原点的区域，反之亦然； ②当 C＝0 时，取点(0，1)或(1，0)，判断方法同上．
3．(2015·日照一模)若关于 x 的不等式 x2＋mx－4≥0 在区间 [1，4] 上有解，则实数 m 的最小值是__－__3____．
解析：由题知，原题等价于 m≥4x－x 在区间[1，4]上有解， 令 f(x)＝4x－x(x∈[1，4])，则 m≥f(x)min.因为 f(x)＝4x－x 在区 间[1，4]上单调递减，所以 f(x)min＝f(4)＝44－4＝－3，所以 m≥ －3，故实数 m 的最小值是－3.
(3)容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、 三相等”，导致错解，如求函数 f(x)＝ x2＋2＋ 1 的最
x2＋2 值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数 y＝x＋3x(x<0) 时应先转化为正数再求解． (4)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中 y 的系数的正负；注意最优整数解．
(2)由定义知，不等式xa－ ＋11
a－2≥1 等价于 x2－x－(a2－a x
－2)≥1，
所以 x2－x＋1≥a2－a 对任意实数 x 恒成立，
因为 x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
所以 a2－a≤34，解得－12≤a≤32，
则实数 a 的最大值为32.
方法归纳 不等式的求解技巧
(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式 ax2＋bx＋c＞ 0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二 次不等式的解集． (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等 价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(2)(2015·兖州模拟)在 R 上定义运算：ac db＝ad－bc，若不
等式xa－ ＋11 ax－2≥1 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的最大
值为( D )
A．－12
B．－32
1 C.2
D．32
[思路点拨] (1)由已知先写出 f(x)＞0 的解集，可得出 ex 的范 围，便可求出不等式的解集． (2)由定义转化为关于 x、a 的不等式，分离参数 a 后求关于 x 的最值，最后求 a 的范围． [解析] (1)由题意可知一元二次不等式所对应的二次函数图 象开口向下，故 f(x)＞0 的解集为x|21＜x＜3.又因为 f(ex)＞0， 所以12＜ex＜3，解得－ln 2＜x＜ln 3.
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
②a＋2 b≥ ab(a>0，b>0)；
③ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；
④
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab(a>0，b>0)．
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(3)绝对值三角不等式 ①|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时等号成立(a，b∈R)． ②|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成 立(a，b，c∈R)．