响应面回归设计

Y —响应变量；x —第j个自变量； ε —正态随机误差；β 0 —回归截距； β —回归系数；
回归模型
二次响应面模型的矩阵描述：
Y X 2 ~ N 0 , I n n
Y —响应变量；X —结构矩阵； ε —正态随机误差；n —数据组数； 0 —nx1的元素全是0的向量；
对每一个回归系数进行F或t检验
Fj t
2 j
b / c jj ˆ
2
2 j
回归模型
式中：
Cij为(X’X)-1的第j+1个对角元 ˆ S / f 是模型σ 2的无偏估计
E E
给定的显著性水平α 当 F j F1 (1, f E ) 时拒绝假设H0j，即认 为β 0j显著不为零，否则认为β 0j为 零，可以将对应的变量逐一从回归方 程中删除。
回归设计
回归设计概述 回归模型 因素水平编码 Box－Benhken设计 二次回归正交设计
概述
回归设计也称为响应面设计。
是一种通过少量试验，获得数据，估计参数，
有效地建立试验指标和连续变量之间的定量 关系的方法。 它是由英国统计学家G.Box在20世纪50年代 初真对化工生产提出的，后来这一方法得到 了广泛的应用。
二次回归正交设计
应用二次回归正交设计法，所得的回归系数的估 计之间相互独立，因此删除某些因子时不会影响 其它的回归系数的估计，从而很容易写出所有系 数为显著的回归方程。
二次回归正交设计的试验点由正交点、主轴点和 中心点组成。
二次回归正交设计
两个变量的试验点组合方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n x1 1 1 1 1 x2 1 1 1 1 0 0 3 2 用L4 ( 2 ), mc 2 4 星号点, 2 p 4 中心点m0

0 0 0 0

0 0
二次回归正交设计
二次回归正交设计的参数γ 值表
二次回归正交设计
例题：在研究在某提纯工艺中，发现 杂质Y的产生量受温度、压力、提取时 间显著影响。研究结果表明这种提纯 工艺的的工作条件，其温度为： X1=50～90℃，压力为X2=4～8 MPa，提 取时间为X3=1～3hour，试分析最优提 纯工艺参数。
0 0
1 x1 p x p 1 x1 p x p
统计量：
FLf
S Lf / f Lf Se / fe
当拒绝H0时，需要寻找原因，改变模型 否则认为线性回归模型合适，可以将Se 与SLf合并作为SE检验方程是否显著。
回归模型
5. 回归系数的检验：
H 0 j： j 0，H 1 j： j 0
主要包括回归方程的估计和检验，模型欠拟 检验，回归参数的估计和检验，因素效应的 检验，模型决定系数的计算，最优水平组合 的估计及其附近的响应面特征。
回归模型
1. 二次响应面（多元二次多项式） 模型描述：
p p p 2 Y f x x x x x 0 j j jj j j jj j j 1 j j j 1 ~ N 0, 2 ，j 1,2,, p，j ' 1,2,, p
1.22
2.78 1.22 2.78 1.22 2 2 2 2
0.0907
0.0902 0.0892 0.0904 0.0877 0.0857 0.0904 0.0869 0.0895
13
14 15 16
0
0 0 0
0
0 0 0
-1.2872
1.2872 0 0
70
70 70 70
6
6 6 6
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1
3 2 2
ˆ i b0 b1 xi1 b p xip，i 1,2,, n 记：y
回归模型
有方和分解式：
ˆi ) ( y ˆ i y) S E S R ST ( yi y ) ( yi y
2 2 2 i 1 i 1 i 1 n n n
Box－Benhken设计
例题：对超高压杀灭枯草芽孢杆菌效果Y的
研究发现：温度、压力、保压时间是灭活枯 草芽孢杆菌显著影响因子。研究结果表明杀 灭6个数量级的枯草芽孢杆菌的杀菌条件， 温度为：X1=31.10～59.03℃，压力为 X2=235.23～562.21 MPa，保压时间为 X3=10.11～19.53min，试分析最优杀菌工艺参 数。
其中： 残差平方和 回归平方和
ˆi )2 S E ( yi y
i
自由度 f E n p 1 自由度 f R p
ˆi y) 2 SR (y
回归模型
当H0为真时，有
SR / fR F ~ F ( f R , f E ) F ( p, n p 1) SE / fE
Box－Benhken设计
实验因素水平及编码表
Factor 温度(℃) Symbols Level
Coded Uncoded
-1
30
0
45 400
1
60 600
压力(MPa)
保压时间(min)
X1 X2 X3
X1 X2 X3
200
10
15
20
Box－Benhken设计
实验设计与结果表
Trial No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X2 0 0 0 0 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 X3 -1 -1 1 1 0 0 0 0 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 Response 4.27 5.44 5.11 5.79 2.11 3.21 6.04 6.87 2.70 3.44 6.23 6.43 5.45 5.32 5.67 5.43 5.23
二次回归正交设计
查表三因子，中心点重复两次的γ =1.2872 Δ =(ZM-Zm)/2γ , X1=Z0+Δ , X-1=Z0-Δ 实验因素水平及编码表
编码 上水平 1 温度（℃） 压力（MPa） 提取时间（hour） 85.54 7.55 2.78
基准水平 下水平
0 -0 1.2782
-1.2782
4
5 6 7 8 9 10 11 12
1
-1 -1 -1 -1 -1.2872 1.2872 0 0
-1
1 1 -1 -1 0 0 -1.2872 1.2872
-1
1 -1 1 -1 0 0 0 0
85.54
54.46 54.46 54.46 54.46 50 90 70 70
4.45
7.55 7.55 4.45 4.45 6 6 4 8
Box－Benhken设计
题解：本试验采用Box-Behnken模型，以压力X1 ，温度
X2 ，保压时间X3 三个外界因子为自变量，并以+1、0、-1 分别代表自变量的高、中、低水平，对自变量进行编码， 超高压杀灭菌的数量级Y为响应值(Y=-log10 Nt/N0 ，即经超 高压作用后枯草芽孢杆菌死亡的数量级，Nt为超高压处理 后1ml菌液中的活菌数，N0为对照1ml菌液中的活菌数)
70 54.46 90
50
6 4.45 8
4
2 1.22 3
1
+γ -γ
二次回归正交设计
实验设计与结果表
No 1 2 3 X1 1 1 1 X2 1 1 -1 X3 1 -1 1 Temp 85.54 85.54 85.54 Pres 7.55 7.55 4.45 Hour 2.78 1.22 2.78 Y 0.0947 0.0903 0.0987
概述
食品等领域。 根据建立的回归方程的次数不同，回归设计 有一次回归设计、二次回归设计。 二次回归的正交试验设计是用于寻求最佳工 艺、最佳配方和建立生产过程数学模型的很 好方法。
广泛应用于化工、钢铁、机械、制药、农业、
回归模型
响应面分析 （Response Surface Analysis）
主轴点

基试验点 (1,1,-1)
三因素响应面设计的试验点及分布
Box－Benhken设计
由Box－Behnken 提出的中心组合设计是一种 较常用的回归设计法，适用于2 至5 个因素 的优化实验。
Box－Behnken设计首先假定实验范围内存在 二次项，其试验点的选取为编码立方体的每 条棱的中点。


Y —响应变量；xj —第j个自变量； ε —正态随机误差；β 0 —回归截距； β j β jj’β jj —回归系数；
回归模型
三元二次响应面模型描述：
Y 0 1 x1 2 x2 3 x3 12 x1 x2 13 x1 x3 23 x2 x3 2 2 2 11x1 22 x2 33 x3 2 ~ N 0 ,
回归模型
式中：
S e ( y ij y i ) 2
i 1 j 1
n
n
mi
自由度 f e (mi 1) N n 自由度
f Lf n p 1
ˆi )2 S Lf mi ( y i y
i 1
1 yi mi
y
j 1
mi
ij
回归模型
Ey H0 ： 假设： Ey H1：
0.0876
0.0916 0.0886 0.0889
Thank You ！
给定显著性水平α， 则拒绝域为 F F ( p, n p 1)
1
F F1 接收H 0
F F1 拒绝H0，接受H1
回归模型
4. 失拟检验： 在某些点上有重复试验数据，可 以对Y的期望是否是x线性函数进 行检验。残差平方和SE分解为组 内（误差）平方和Se与组间（失 拟）平方和SLf。 即： S E S e S Lf
回归模型
2. 回归系数的最小二乘估计，应满 足以下正规方程：
Y Xb X Y X Xb
' '
当(X’X)-1存在时，解得β 估计b
b X X X Y
' 1 '
回归模型
3. 回归方程的显著性检验：
H0：1 2 p 0 H1：1 , 2 ,, p 不全为0
因素水平编码
在回归问题中各因子的量纲不同，其 取值的范围也不同，为了数据处理的方便， 对所有的因子作一个线性变换，使所有因 子的取值范围都转化为中心在原点的一个 “立方体”中，这一变换称为对因子水平 的编码。
因素水平编码
设计变量初选试验范围zj的最大值编码xjM为1，最 小值编码xjm为-1，中间值编码xj0为0。
xj
z j z0 j j
j ( z 2 j z1 j ) / 2
z 0 j ( z1 j z 2 j ) / 2
因素水平编码
(-1,-1,1)

(-1,1,1)
x3
(1,-1,1)

中心点
(1,1,1)


(-1,-1,-1)
o x1

x2
(-1,1,-1)
(1,-1,-1)