高等数学向量代数与空间解析几何测试题ABC
向量代数与空间解析几何试题卷
向量代数与空间解析几何试题A一．选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ）（A ）5 （ B ） 3 （ C ） 6 （ D ）92. 设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（ ）．（A ） 7 （B ）7j （ C ）–1； （D ）-9k3．平面1234x y z ++=与平面2341x y z +-=的位置关系是( )．(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合4．两直线182511 :1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-.32,6 :2z y y x L 的夹角为（ ）.（A ） 6 π； （B ） 4 π； （C ） 2 π；（D ） 3π。
5. 母线平行于x 轴且通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程是( )．(A) 223216x z += (B) 22316y z -= (C) 22216x y += (D) 2316y z -= ６.已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是 （ ） A. ；5 B. ；3 C. 6； D. 9.二．填空题1． 设向量2a i j k =-+，42b i j k λ=-+，则当=λ__ ____时，a 与b 垂直.2.已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a b ⨯= .3．设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为 。
4．曲线L :⎩⎨⎧-==+1222x z z y x ，关于平面xoy 的投影柱面的方程为 。
5．平面xoy 上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 。
6. 已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a 与b的夹角θ= ；7. 平面0523=-+z y x 的法向量=n ．三．判断题1. 任何向量都有确定的方向.（ ）2. 与非零向量a 同向的单位向量a 只有1个. （ ）3. 设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有 +=-a b a b .（ ）4. 若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有0⋅a b =（ ）．5. 若两向量,a b 满足关系a b a b +=+，则,a b 同向。
高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】
第五章向量代数与空间解析几何5。
1。
1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。
因为＝－，所以（a＋b）。
图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。
（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。
从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。
2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。
解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。
5.2。
2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。
解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
向量与空间解析几何习题及详细解答
解：设动点为 M(x, y, z)
M0M {x 1, y 1, z 1}
因 M0M n ,故 M0M n 0 .
即 2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0 整理得：2x+3y-4z-1=0 即为动点 M 的轨迹方程. 14. 求满足下列各组条件的直线方程： (1) 经过点 (2，－3, 4), 且与平面 3x－y＋2z－4＝0 垂直； (2) 过点 (0，2，4) ，且与两平面 x＋2z＝1和 y－3z＝2 平行；
解：设四顶点依次取为 A, B, C, D.
AB {0,1, 2}, AD {2, 2,1}
则由 A，B，D 三点所确定三角形的面积为
1 1
35
S1 2 | AB AD | 2 | 5i 4 j 2k | 2 .
同理可求其他三个三角形的面积依次为 1 , 2, 3 . 2
故四面体的表面积 S 1
A. xOz 平面上曲线 (z a)2 x2 绕 y 轴旋转所得曲面 B. xOz 平面上直线 z a x 绕 z 轴旋转所得曲面 C. yOz 平面上直线 z a y 绕 y 轴旋转所得曲面
D. yOz 平面上直线 (z a)2 y2 绕 X 轴旋转所得曲面
(5)下列方程所对应的曲面为双曲抛物面的是（ D ）
ijk s n1 n2 1 0 2 {2,3,1}
0 1 3
故过点（0，2，4）的直线方程为
x y2 z4 2 3 1
（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x 1 y 2 z 1. 2 1 3
15. 试确定出下列各题中直线与平面间的关系：
k 12i 20 j 8k
高等数学 向量代数与空间解析几何 (7.4.2)--空间的平面和直线
习题7.41. 判断下列四点是否共面:(1) (1,0,1),(2,4,6),(3,1,2),(6,2,8)A B C D -;(2) (1,2,1),(2,2,3),(1,1,2),(4,5,6)A B C D --.2. 设≠0a ,(1) 若⋅=⋅a b a c , 则是否必有=b c ?(2) 若⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?(3) 若⋅=⋅a b a c ,且⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?3. 指出下列平面对于坐标轴或坐标面的相对位置：(1) 3210x y -+=; (2) 250x +=； (3) 0x y -=； (4)0Ax Cz +=.4. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点0(1,2,3)M -, 法向量为(2,1,5)=--n ;(2) 在x 轴,y 轴和z 轴上的截距分别为2,3,1-;(3) 过点(5,7,4)-且在x y z 、、轴上截距相等；(4) 过点(3,6,2)P -，且垂直于OP (O 为原点)；(5) 过点1(2,1,3)M -,2(5,1,4)M -和3(2,2,4)M -；(6) 过Ox 轴和点(4,3,1)--；(7) 平行于Oy 轴，且通过点(1,5,1)-和(3,2,2)-；(8) 平行于xOz 平面，且通过点(3,2,7)-；(9) 过点(1,3,2)-，且平行于平面520x y z +--=；(10) 过两点(8,3,1),(4,7,2)-，且垂直于平面35210x y z +--=；(11) 平行于平面2250x y z +++=而与三坐标面所构成的四面体的体积为１5. 指出下列直线的位置性态：(1) 123102x y z -++==- (2)113100x y z +-+==; (3) 6,5,3x t y t z t =-==-;(4) 12,23,0x t y t z =-=-+=. 6. 求满足下列条件的直线的对称式方程，并将其中(1)~(4)化为参数方程和一般式方程：(1) 过点0(1,2,3)M , 方向向量为(2,1,1)=-s ;(2) 过点0(1,2,0)M -, 方向向量为3-s =i k ;(3) 过点(2,3,8)-，且平行于y 轴;(4) 过点(2,3,8)-，且平行于直线243325x y z --+==-; (5) 过点(1,3,2)-，且垂直于平面520x y z +--=；(6) 过点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -；(7) 过点(1,3,2)-，且与z 轴垂直相交；(8) 过点(1,2,1)-，且平行于直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩(9) 垂直于三点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -和3(0,1,5)M 所在平面，且过点1M ；(10) 过点(3,4,4)-，且与坐标轴夹角分别为π3,π4,2π3的直线方程.7. 求平面4210x y z -+-=与三个坐标面的交线方程.8. 将下列直线方程化为标准式方程：(1)240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩ (2)35,28.x z y z =-⎧⎨=-⎩9. (1) 求点(1,3,2)-到平面32610x y z +--=的距离；(2) 求两平行平面326350,326560x y z x y z +--=+--=间的距离;(3) 求平行于平面221x y z +-=且与其距离为2的平面；(4) 证明：两平行平面120,0Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=之间的距离是d =10. 求下面各组平面的夹角, 并判断它们是否平行或垂直？(1) 1x z +=,1y z -=;(2) 86210x y z --+-=,430x y z +-=;(3) 26310x y z -+-=,3450x y z --+=;(4) 236120x y z -+-=,2270x y z ++-=.11. 求下面各组直线的夹角，并判断它们是否平行？相交？或异面？在相交情况下求出它们的交点：(1) 1451:243x y z L -+-==-，221:132x y z L -+==； (2) 111:214x y z L --==，222:123x y z L ++==； (3) 1:6,19,3L x t y t z t =-=+=-，2:12,43,L x s y s z s =+=-=；(4) 1:1,2,3L x t y t z t =+=-=，2:2,12,4L x s y s z s =-=+=+.12. 求下面各组直线与平面的夹角，并判断它们是否平行？垂直？相交？在相交情况下求出它们的交点：(1) 34:273x y z L ++==--, :42230x y z ∏---=; (2) :327x y z L ==-, :32731x y z ∏-+=; (3) 223:314x y z L -+-==-, :3x y z ∏++=; (4) 221:312x y z L +-+==,:23380x y z ∏++-=. 13. (1) 求过点(3,2,1)--且垂直于直线11413x y z -+==-的平面; (2) 求点(1,0,1)-到直线51132x y z --==-的距离；(3) 求点(2,3,1)在直线722123x y z +++==上的投影. (4) 求点(3,1,1)--在平面23300x y z ++-=上的投影.14. 证明两直线11112x y z +-==和12134x y z +-==是异面直线，并求它们之间的距离,公垂线方程,及公垂线与两直线的交点.15. 求直线1010x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面0x y z ++=上的投影直线方程. 16. 求过两平面0,20x y z x y z +-=++=的交线l 的两个互相垂直的平面，其中一个平面过点(0,1,1)A -.17. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点(3,2,1)--和直线31212x y z --==. (2) 过点(1,2,3)--，且和两直线25346x y z --==-及21122x y z +-==平行; (3) 过两平行直线31212x y z --==，11212x y z +-==; (4) 包含直线10230x z y z --=⎧⎨+-=⎩且与平面21x y z +-=垂直; (5) 过Ox 轴，且与平面y x =成π3的角度; (6) 过两平面50,40x y z x z ++=-+=的交线，且与平面48120x y z --+=的夹角为π4. 18. 求满足下列条件的直线方程：(1) 在平面1x y z ++=上, 且与直线1,1y z ==-垂直相交;(2) 过点(1,0,4)-,且平行于平面34100x y z -+-=，又与直线13312x y z +-==相交; (3) 过点(1,2,1)，且与直线2x y z ==-相交，又垂直于直线11321x y z -+==； 19. 一动点与两定点(2,2,1)，(1,3,4)等距离，求此动点轨迹的方程.。
高等数学向量代数与空间解析几何测试题库ABC
高等数学向量代数与空间解析几何测试题库ABC第八章向量代数与空间解析几何自测题 A卷一、填空题：（第 1 题 5 分，其余每题3分，共 17 分）1. 已知三点 A ( 2,1, 1), B (1, 3, 4), C (3,1,1), 则(1) 向量AB的方向余弦为__________, 单位向量为____________________.(2)向量AB 在 AC 上的投影为 _______________, AB 与 AC的夹角为 ______________ .(3)以三点为顶点的三角形的面积为 __________________.(4)过 C 且垂直于 AB 的平面方程为 ________________________.(5)过 C 且平行于 AB 的直线方程为 ________________________.2.设 a{1,1,4},b{2,0, 2},(1) (a b)(a b)_________________.(2) (a b )(a b)_________________.3.曲面x2y 2z21 的名称是 __________ __________ _____ . 125164.曲线y x21绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程是 _________________________. z05.点(1,2,0)在平面 x 2y z 1 0上的投影点是 __________ __________ _____ .二、选择题（每题 3 分，共15 分）1. 点M(2,3,1) 关于坐标原点的对称点是( A)( 2,3,1) ;(B )(2,3,1) ;(C )(2, 3, 1);(D ) (2,3,1) .2. 设 a {1, 1,1}, b{ 2,1, 1} ,为非零常数，若 a b a , 则等于( ).( A)3(B)3(C)22 ;;;(D). 22333. 设三向量 a , b , c 满足关系式 a b a c, 则( A)必有 a0或 b c;(B)必有 a b c0 ;(C)当 a0 时，必有 b c;(D)必有 a(b c ) .4. 方程 ( z a) 2x 2y2表示平面上曲线(z a)2y2 绕x轴旋转所得曲面;( A) yoz平面上曲线( z a)2x2 绕y轴旋转所得曲面;(B ) xoz(C ) xoz平面上直线z a x 绕 z 轴旋转所得曲面;(D ) yoz平面上直线z a y 绕 y 轴旋转所得曲面。
(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案
空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5’x9=45分1、平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量为______________.2、设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示______________曲面.5、方程x2+y2=z表示______________曲面.6、x2+y2=z2表示______________曲面.7、在空间解析几何中y=x2表示______________图形.二计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线x y-3z-12=1=5的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎧⎨x-2y+4z-7=0⎩3x+5y-2z+1=0垂直的平面方5、已知：OA=ϖi+3kϖ，OB=ϖj+3kϖ，求∆OAB的面积。
参考答案一填空题1、±⎨⎧67-6⎫⎩11,11,11⎬⎭2、M 11M 2=2,cos α=-2,cos β=22,cos γ=12,α=2π3,β=3ππ4,γ=33、(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=144、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、3x -7y +5z -4=02、9y -z -2=03、x -1y -2z -32=1=5 4、16x -14y -11z -65=05S ∆=12OA ⨯OB =192。
高等数学下章节自测题(不含答案)
( x, y)→(0,1)
x2 + ( y −1)2
∫ 4、 F (x, y) =
xy sin t 0 1+ t 2 dt
，则
∂2F ∂x2
|(0,2) =
5、
u
=
(
x
)
1 z
在
(1,1,1)
的梯度为
y
二、解下列各题（每题 10 分，共 40 分）
3 / 18
1、设
z
=
x
x
y
，求
∂z ∂x
,
∂z ∂y
Σ
C、 − 3 π B、0 C、 3 π
2
2
D、 2 π
3
4、曲面 Σ 是上半球面：x2 + y2 + z2 = 1，Σ1 是 Σ 在第一卦限部分，则( )
7 / 18
C、 ∫∫ xds = 4∫∫ xds
Σ
Σ1
C、 ∫∫ zds = 4∫∫ zds
Σ
Σ1
B、 ∫∫ yds = 4∫∫ yds
Σ
Σ1
D、 ∫∫ xyzds = 4∫∫ xyzds
Σ
Σ1
5、设
f
有连续导数，I
=
∫∫
Σ
1 y
f
( x )dydz y
+
1 x
f
( x )dzdx + y
zdxdy
其中 Σ
是曲面
y = x2 + z2, y = 8 − x2 − z2 所围立体表面外侧，则 I = ( )
A、 4π B、8π
2、设
x2
+
z2
=
yϕ (
专升本高等数学二(向量代数与空间解析几何)模拟试卷2(题后含答
专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设a、b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于( )A．B．C．1D．a．b正确答案：B解析：向量a+λb垂直于向量b，则(a+λb)．b=0，则λ=．知识模块：向量代数与空间解析几何2．设有单位向量a0，它同时与b=3i+j+4k，c=i+k垂直，则a0为( )A．B．i+j—kC．D．i－j+k正确答案：A解析：a=c×b==i+j一k，又a0为a的单位向量，故a0=．知识模块：向量代数与空间解析几何3．在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴的正向夹角分别为45°和60°，则向量a与Oy轴正向夹角为( )A．30°B．45°C．60°D．60°或120°正确答案：D解析：由cos2α+cos2β+cos2γ=1，且cosα=，所以向量a与Oy轴正向夹角为60°或120°．知识模块：向量代数与空间解析几何4．若两个非零向量a与b满足｜a+b｜=｜a｜+｜b｜，则( )A．a与b平行B．a与b垂直C．a与b平行且同向D．a与b平行且反向正确答案：C解析：｜a｜+｜b｜=｜a+b｜，(｜a｜+｜b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜=(｜a+b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2ab=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜cos〈a，b〉，即cos〈a，b〉=1，故两向量平行，若二者反向则｜a｜+｜b｜＞｜a+b｜．不满足条件，故两向量平行且同向．知识模块：向量代数与空间解析几何5．直线( )A．过原点且与y轴垂直B．不过原点但与y轴垂直C．过原点且与y轴平行D．不过原点但与y轴平行正确答案：A解析：若直线方程为，令比例系数为t，则直线可化为本题x0=y0=z0=0说明直线过原点，又β=0，则y=0，即此直线在平面xOz内，即垂直于y轴，故选A．知识模块：向量代数与空间解析几何6．平面2x+3y+4z+4=0与平面2x－3y+4z－4=0的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不重合，不垂直C．平行D．重合正确答案：B解析：2×2－3×3＋4×4=11，且两平面的法向量的对应分量不成比例，故两平面的位置关系是相交，但不垂直，不重合．知识模块：向量代数与空间解析几何7．已知三平面的方程分别为π1：x－5y+2z+1=0，π2：3x－2y+3z+1=0，π3：4x+2y+3z－9=0，则必有( )A．π1与π2平行B．π1与π2垂直C．π2与π3平行D．π1与π3垂直正确答案：D解析：三个平面的法向量分别为n1=｛1，一5，2｝，n2=｛3，一2，3｝，n3=｛4，2，3｝，n1．n2=19，n2．n3=17，n1．n3=0，故π1与π3垂直．知识模块：向量代数与空间解析几何8．平面π1：x－4y+z－2=0和平面π2：2x－2y－z－5=0的夹角为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：平面π1的法向量，n1=｛1，一4，1｝，平面π2的法向量n2=｛2，一2，一1｝，cos〈n1，n2〉=，故〈n1，n2〉=，故选B．知识模块：向量代数与空间解析几何9．设球面方程为(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为( )A．(一1，2，一3)，2B．(一1，2，一3)，4C．(1，一2，3)，2D．(1，一2，3)，4正确答案：C解析：(x－1)2+[y一(一2)]2＋(z－3)2=22，所以，该球的球心坐标与半径分别为(1，一2，3)，2．知识模块：向量代数与空间解析几何10．方程一=z在空间解析几何中表示( )A．双曲抛物面B．双叶双曲面C．单叶双曲面D．旋转抛物面正确答案：A解析：方程一=z满足双曲抛物面=z(p和q同号)的形式，故方程=z在空间解析几何中表示双曲抛物面．知识模块：向量代数与空间解析几何11．方程(z－a)2=x2+y2表示( )A．xOz面内曲线(z－a)2=x2绕y轴旋转而成B．xOz面内直线z－a=x绕z轴旋转而成C．yOz面内直线z－a=y绕y轴旋转而成D．yOz面内曲线(z－a)2=y2绕x轴旋转而成正确答案：B解析：方程(z－a)2=x2+y2形式表示旋转后的曲面方程形式是h(z，)=0，其是xOz面上的曲线z－a=x绕z轴旋转得到的曲面方程，故选B．知识模块：向量代数与空间解析几何12．下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是( ) A．=y2B．z2—1=C．D．x2＋y2一2x=0正确答案：D解析：A项表示的是正锥面，B项表示的是单叶双曲面，C项表示的是椭球面，D项可写为(x－1)2+y2=1，其图形为圆柱面，故选D．知识模块：向量代数与空间解析几何填空题13．向量a=3i+4j－k的模｜a｜=________．正确答案：解析：｜a｜=．知识模块：向量代数与空间解析几何14．在空间直角坐标系中，以点A(0，一4，1)，B(一1，一3，1)，C(2，一4，0)为顶点的△ABC的面积为________．正确答案：解析：知识模块：向量代数与空间解析几何15．(a×b)2＋(a．b)2=________．正确答案：a2．b2解析：(a×b)2=｜a｜2｜b｜2sin2θ，(a．b)2=｜a｜2｜b｜2cos2θ，θ=〈a，b〉，(a×b)2+(a．b)2=｜a｜2｜b｜2=a2．b2．知识模块：向量代数与空间解析几何16．过点P(4，1，一1)且与点P和原点的连线垂直的平面方程为_________．正确答案：4z+y—z－18=0解析：由点P与原点的连线和所求平面垂直，因此就是平面的法向量．所以n=={4，1，一1}，平面又过点P，所以由点法式得平面的方程为4(x－4)+(y－1)－(z+1)=0，即4x+y一2—18=0．知识模块：向量代数与空间解析几何17．通过Oz轴，且与已知平面π：2x+y一－7=0垂直的平面方程为________．正确答案：x一2y=0解析：过Oz轴的平面方程可设为Ax+By=0(A，B不全为零)，则法向量n=｛A，B，0｝，因为所求平面与已知平面垂直，又已知平面法向量为｛2，1，｝，故可知2A+B=0，即B=一2A，因此，所求平面方程为x一2y=0．知识模块：向量代数与空间解析几何18．直线=z与平面x+2y+2z=5的交点坐标是________．正确答案：(1，1，1)解析：设=z=t，则交点Q(3t一2，一2t+3，t)，又点Q∈平面π，即3t－2＋2(－2t+3)+2t=5，解得t=1，故交点为Q(1，1，1)．知识模块：向量代数与空间解析几何19．点P(3，7，5)关于平面π：2x一6y+3z+42=0对称的点P’的坐标为________．正确答案：解析：过点P(3，7，5)且垂直于平面π：2x一6y+3z+42=0的直线方程可写为，设点P’的坐标为(2t+3，一6t+7，3t+5)，故PP’的中点坐标为(t+3，一3t+7，+5)，且该点在平面内，即2(t+3)一6(一3t+7)+3(+5)+42=0，解得t=一，故P’=．知识模块：向量代数与空间解析几何解答题20．求垂直于向量a=｛2，2，1｝与b=｛4，5，3｝的单位向量．正确答案：由向量积的定义可知，向量c=a×b是既垂直于向量a，又垂直于向量b的向量，因此为所求单位向量．由于c==i一2j+2k，因此为所求单位向量．涉及知识点：向量代数与空间解析几何21．若｜a｜=3，｜b｜=4，且向量a、b垂直，求｜(a+b)×(a一b)｜．正确答案：因为(a+b)×(a－b)=一a×b＋b×a=2b×a，所以｜(a+b)×(a－b)｜=2｜b｜｜a｜sin〈a，b〉=24．涉及知识点：向量代数与空间解析几何22．设平面π通过点M(2，3，一5)，且与已知平面x—y+z=1垂直，又与直线平行，求平面π的方程．正确答案：用一般式求之．设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0，则从而，平面π的方程为x一2y一3z=11．涉及知识点：向量代数与空间解析几何23．求过点A(－1，0，4)且平行于平面π：3x一4y＋z－10=0，又与直线L0：相交的直线方程．正确答案：用两点式求之．过点A(－1，0，4)与已知平面π：3x一4y+z一10=0平行的平面π1的方程为3(x+1)一4y+(z一4)=0，将直线L0的方程化为参数式并代入π1中，求得t=16．于是直线L0与平面π1的交点B为B(15，19，32)，=｛16，19，28｝，所求直线方程为．涉及知识点：向量代数与空间解析几何24．求直线与平面x—y+z=0的夹角．正确答案：因为直线的方向向量为s=｛2，3，2｝，平面的法向量为n=｛1，一1，1｝，所以直线与平面的夹角φ的正弦为sinφ=．所以φ=arcsin．涉及知识点：向量代数与空间解析几何25．求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y 一3z+5=0的平面方程．正确答案：直线的方向向量为s=｛3，2，一1｝，平面的法向量为n1=｛1，2，一3｝，s×n1==一4i+8j+4k，于是所求平面方程为(x一2)一2(y 一1)－(z－1)=0，即x一2y－z+1=0．涉及知识点：向量代数与空间解析几何26．求点(一1，2，0)在平面x+2y－z+1=0的投影点坐标．正确答案：过点(一1，2，0)且与平面x+2y－z+1=0垂直的直线方程为，所以设该垂线与平面x+2y—z+1=0的交点为Q(t一1，2t+2，一t)，即点Q就是点(一1，2，0)在平面π：x+2y－z+1=0上的投影点，由点Q ∈π，将Q(t一1，2t+2，一t)代入到平面方程中可得t－1+2(2t+2)＋t＋1=0，解之得t=一．涉及知识点：向量代数与空间解析几何27．求直线L：绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．正确答案：设(x，y，z)是旋转曲面上任何一点，它对应于L上的点为(x0，y0，z0)，由L的参数式可得由于(x，y，z)与(x0，y0，z0)到z轴的距离相等，所以有关系式x2＋y2=x02+y02=1＋t2，另外z=z0，所以z=1+2t，t=，得x2+y2一=1，即为一单叶双曲面方程．涉及知识点：向量代数与空间解析几何。
(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案(20200730065716)
军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题(共7题，2分/空，共20分)1. 四点O(0,0,0) , A(1,0,0) , B(0,1,1), C(0,0,1)组成的四面体的体积是2. ____________________________________________________________ 已知向量 a (1,1,1), b (1,2,3), c (0,0,1),则(a b) c =__(-2,-1,0) _________________3. ------------------------------------------------------------------------------- 点(1,0,1)到直线3x X z y 0的距离是一晋 ---------------------------------------- 4•点(1,0,2)到平面3x y 2z 1的距离是3皿_75.曲线C: 0对xoy坐标面的射影柱面是对yoz坐标面的射影柱面是—(z 1)2 y2 z 0 ________________ ,对xoz坐标面的射影柱面是____ z x 1 0 _____________ .26.曲线C: x y绕x轴旋转后产生的曲面方程是x4 4(y2 z2) ，曲线z 0 —C绕y轴旋转后产生的曲面方程是_x2 z2 2y ______________________ .2 2 27.椭球面—— 1的体积是？?????9 4 25 —二、计算题(共4题,第1题10分，第2题15分，第3题20分，第4题10分, 共55分)1.过点P(a,b,c)作3个坐标平面的射影点，求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解：设点P(a,b, c)在平面z 0上的射影点为M1(a,b,0)，在平面x 0上的射影ujujmr f点为M2(0, a,b)，在平面y 0上的射影点为M3(a,0, c)，贝U M1M2 ( a,0,c)，lULULUM1M3 (0, b,c)3.求曲线2y绕x 轴旋转产生的曲面方面1解：设皿1(为，丫1,乙)是母线x 22y上任意一点则过皿1(为』1, z ,)的纬圆方程是⑵由于 V 1 V 2(0,0, 2)， V 1 V 2uuJuuuuuuuulr 阿皿2,川2)11和12间的距离d ----------------------V 1 v 2uuuuuir 于是 IVh , M,M 2 , uuuuuuM 側3所确定的平面方程是 即 bc(x a) ac(yb) abz 0 .2-已知空间两条直线'1::y0 o ,l 2：(1)证明11和12是异面直线;(2)求11和12间的距离；(3) 求公垂线方程.证明：(1)11的标准方程是-1片今，h 经过点艸1，方向向量 V 1 {1, 1,0} I 2的标准方程是，12经过点M 2(0,0, 2)，方 向向量V 2{1,1,0}，于uujuir(M 1M 2M V 2)0，所以11和12是异面直线。
(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院 第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。
第一章 向量代数与空间解析几何
第一章 向量代数与空间解析几何单选题：1．原点到平面122=++z y x 的距离为（ ）。
A ．1；B ．21； C ．31； D ．41。
2．向量a 的模a =4，方向角βα,的方向余弦分别为21,21，r 为锐角，则a = （ ）。
A ．k j i 4224++； B ．k j i 22++； C ．k j i 2222++； D ．k j i 2222++。
3．平面032=+y x 与z 轴的位置关系（ ）。
A ．垂直；B ．平行；C ．相交；D ．包含z 轴。
4．已知向量j i a 2+=，k b j i b b 314++=，且//a b ，则1b =_____，3b =_______。
A ．1，2；B ．2，0；C ．1，0；D ．-2，0。
5．已知向量k j i a 32-+=，k c j i b +-=5，且a ⊥b ，则c= ________。
A ．0；B ．2；C ．3；D ．1。
6．设2=a ，4=b ， 120,=〉〈b a ，则=⋅b a 。
A ．8；B ．4-；C ．4；D ．8-。
7．平面12+=-z y x 的法向量为n =___________。
A ．{}2,1,1-；B ．{}2,1,1；C ．{}2,1,1--；D ．{}2,1,0-。
8．如果平面92=-+z ky x 与平面3342=++z y x 垂直，则=k ____________。
A ．0；B ．1；C ．2；D ．3。
9．直线1020x y y z -+=⎧⎨+=⎩的方向向量为s =__________。
A ．{}1,1,2-； B ．{}2,2,1-； C ．{}2,2,1---； D ．{}2,2,1--。
10．下列曲面方程表示旋转抛物面的是 （ ）。
A ．222z y x =+；B ．2222R z y x =++；C ．z y x =+22；D ．222z y x =-。
11．方程122+=x y 表示 （ ）。
空间解析几何与向量代数测试题
⎩ ⎩ a b . 习题六一、填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面 5x-2y+6z-7=0 和 3x-y+2z+1=0 的平面方程为 .→2.已知向量OM 的模为10.与x 轴的正向的夹角为450 ,与y 轴的正向的夹→角为600,则向量OM =.3. 过(- 2,1,3)点且平行于向量 a = {2,-2,3}和b = {- 1,3,-5}的平面方程为 .若两向量→= {λ,-3,2}和→= {1,2,-λ}互相垂直,则λ=5. 与三点M 1 (1,-1,2), M 2 (3,3,1), M 3 (3,1,3)决定的平面垂直的单位向量→a 0 = 向量→ = {1,1,4}在向量→= {2,-2,1}上的投影等于6. b → a→ ⎛ → → ⎫ 0.→ → →7.已知m = 5, n = 2, m , n ⎪ = 60 则向量a = 2 m - 3 n 的模等于.⎝ ⎭⎧x - 2 y + 4z - 7 = 08. 过点(2,0,-3)且与平面⎨垂直的平面方程是 .⎩3x + 5 y - 2z + 1 = 0→ → →→→→9. 设 a , b , c 两两互相垂直,且 a = 1, b = 2 , c = 1, 则向量→→ → →s = a + b - c 的模等于.10. 过点(0,2,4)且与平面 x+2z=1,y-3z=2 都平行的直线是.⎧2x + 3y - z + D = 011. 若直线⎨2x - 2 y + 2z - 6 = 二、选择题与x 轴有交点,则D = .⎧x 2 + 4 y 2 + 9z 2 = 361. 方程⎨ y = 1( A )椭球面;(C )椭圆柱面;表示 (B ) y = 1平面上的椭圆;(D )椭圆柱面在y = 0上的投影曲线.答: ( )→→ → →→2.已知向量a = i + j + k ,则垂直于a 且垂直于oy 轴的单位向量是:4.b a b a a ⋅ b ( A ) ± 3 ⎛→ → → ⎫3 ⎛→ → → ⎫i + 3 ⎝ j + k ⎪⎭(B ) ± i - 3 ⎝ j + k ⎪⎭C ) ± 2 ⎛→- → ⎫(D ) ± 2 ⎛→+ → ⎫答: ( )i k ⎪ 2 ⎝ ⎭→ →⎛→ →⎫ i k ⎪ 2 ⎝ ⎭π → → 3.已知a = 1, b = 2,且 a , b ⎪ = 4,则a + b = ⎝ ⎭(A ) 1;(B ) 1 + 2;(C ) 2;答: ( )4. 平面 3x-3y-6=0 的位置是(A)平行 xoy 平面 (B)平行 z 轴,但不通过 z 轴; (C)垂直于 z 轴;(D)通过 z 轴. 答:( )→ →→→5.设向量a , b 互相平行, 但方向相反,且 a > b > 0,则有→ →→→→ →→→( A ) a + b = a - b ;(B ) a + b > a - b→ →→→+ < - → →→→+ = + 答: ( )6.旋转曲面x 2 - y 2 - z 2 = 1是(A ) xoy 平面上的双曲线绕x 轴旋转所得(B ) xoz 平面上的双曲线绕z 轴旋转所得(C ) xoy 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得(D ) xoz 平面上的椭圆绕x 轴旋转所得答: ( )→ → → →7. 设向量a ≠ 0, b ≠ 0, 指出以下结论中的正确结论:→ →→ →(A ) a ⨯ b = 0是a 与b 垂直的充要条件;→ → → →(B ) a ⋅ b = 0是a 与b 平行的充要条件;→→→→(C ) a 与b 的对应分量成比例是a 与b 平行的充要条件;→ (D ) 若→ → →λ是数),则 = 0.答: ( )(D ) 5.(C ) a b( A ) a ba = λb (→→→ ⎛→→⎫→8.设a, b, c 为三个任意向量,则 a+b ⎪⨯c =⎝⎭→→→→→→→→(A)a⨯c +c⨯b (B) c⨯a+c⨯b→→→→+ →→→→+ 答: ()⎧x 2y 2⎪+=9.方程⎨4 9⎪⎩y = 2在空间解析几何中表达(A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面,(D)两条平行直线. 答:( )10.对于向量a, b, c ，有（A）若a ⋅b = 0 ，则a, b 中最少有一种零向量（B）( +)(⋅)(a ⋅c)（C）(a ⋅b)⋅c =a ⋅(b ⋅c)（D）(a ⋅b)(a ⋅b)=01 1. 方程y 2+z2- 4x + 8 = 0 表达(A)单叶双曲面;(B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )x 2 12.双曲抛物面(马鞍面)p -y 2= 2z(p > 0, q > 0)与xoy 平面交线是q(A)双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答()三、计算题（本题共 6 小题，每小题 8 分，满分 48 分。
试题集：向量代数与空间解析几何
1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。
2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。
3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。
4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。
5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。
6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。
7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。
8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。
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第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量 a (6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M 1 (4, 2 ,1)和M 2(3,0,2) ，计算向量M1M2 的模，方向余弦和方向角.3、设m 3i 5j 8k ,n 2i 4j 7k , p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的.夹角的余弦(3,1,3) ，求与 M1M 2,M 2 M 3 同时垂直的单位向量.2、知M 1(1, 1,2), M 2 (3,3,1), M3.3、设a (3,5, 2), b ( 2,1,4) ，问与满足 _________时， a b z轴三、1、以点(1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.3、1) 将xOy 坐标面上的y2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为___________________.2) 将xOy 坐标面上的x2 y 2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3) 将xOy 坐标面上的4x2 9 y 2 36 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中y x2 表示 ____________ 图形。
在空间解析几何中y x 2表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1) z2 4( x2 y 2 )(2) z 4( x2 y 2 )四、x 2 y 21在平面解析几何中表示1、指出方程组4 9 ____________图形，在空间解y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面 x 2y 2z 29 与平面x 的交线在 xOy 面上的投影方程 .z 13、求上半球 0za 2x 2 y 2 与圆柱体 x 2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 . 五、1、求过点 (3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程 .2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0) 的平面方程 .3、求平行于 xOz 面且过点 (2,-5,3) 的平面方程 .4、求平行于 x 轴且过两点 (4,0,-2) 和(5,1,7) 的平面方程 .六、1、求过点 (1,2,3)且平行于直线xy 3 z 1的直线方程 .21 52、求过点 (0,2,4)且与两平面 x2z 1 , y 3z 2 平行的直线方程 .3、求过点 (2,0,-3) 且与直线4、求过点 (3,1,-2)且通过直线x2 y 4z 7 03x 5 y 2z 1 垂直的平面方程 .x 4 y 3 z的平面方程 .521x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1) 直线2) 直线x 2y y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x z 7 2 1 1x2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 14 7、求点 (3,-1,2)x y z 1 0 的距离 .到直线2x y z 4B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b3, a b {1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时 b (a tb) .4、求单位向量，使n a 且 n x 轴，其中 a (3,6,8) .5、求过轴，且与平面 2xy5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0的平面 .7、求过直线x 2y z 1 0x y z平行的平面 .2x y z 2 ，且与直线：1 128、求在平面 : xy z 1上，且与直线 y 1L ：垂直相交的直线方程 .z19、设质量为 100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为） .10、求曲线y 2 z 2 2x在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3 线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积12、 . 求直线2x 4 y z 0y z 1上的投影直线方程 .3x y 2z 9在平面 4xC1、设向量 a, b, c 有相同起点 , 且 a bc 0 ，其中0 ， , ,不全为零 ,证明 : a, b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线：x2 y 12相交成 角的直线方程 .2 1 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x 4 yz 10 0 又与直线x 1y 3z相交的直线方112程 .4、求两直线：x1 y z与直线：xyz 2的最短距离 .0 1163 05、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b2, (a,b)，求 lima xbax.3xx 2 y 7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章 空间解析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1M 2=2, cos1, cos2,cos1 ,2 ,3 ,3222343、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3ij k a b 3125ij 7k1 21（ 2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b2( ab) 10i2 j 14k^ a b 3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2{ 2,4, 1}, M 2M 3{ 0, 2,2}i j ka M 1M 2M 2M 3 2 41 6i 4 j 4k0 2 2a 6, 4, 4a{17 17 }2 2 2 17即为所求单位向量。
(完整版)向量代数与空间解析几何练习题
第4章 向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点， 则这些向量的终点构成的图形是( ）（A ）直线； (B ） 线段； (C ） 圆； (D) 球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ）（A)a 与b 的内积等于零; (B)a 与b 的外积等于零;（C)对任意向量c 有混合积0)(=abc ； (D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313， 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点，且a OA =， 则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++;（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为（ )（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； (D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是（ )(A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； (D ） ||||||b a b a ⨯≥⋅．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，q AN =，则BC =_______________,CD =__________________．2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A （0，0，2），B(8，0，0），C(0，8，6），则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等， 则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=， 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A ， )4,7,1(B , )0,8,2(C ， 则=⋅AC AB _____________________;=⨯BA BC ____________________；ABC ∆的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c ， 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a ， 求||||b a ⋅．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A ， 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线， 且满足3=⋅x a ， 求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ， b , c , 具有相同的模， 且两两所成的角相等， 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和，求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A ， )1,4,2(-B , )3,2,0(-C ， )3,0,2(--D ，(1) 求以AB ， AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥BCD A -的体积．(3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．习题4。
高等数学第七章空间解析几何与向量代数试题[1]
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(一)选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ ）A ）B ）C ） 6D ）9532. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ ）A ） B C ） D ）13811815818. 设求是：（）,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r a b ⨯r r A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k9. 设⊿的顶点为，求三角形的面积是：（ ABC (3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -）A ）B ）C ）D ）33623643210. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．填空题(1) a ∙b = （公式）(2) a ·b = （计算）(3).=⨯b a r r (4)][c b a r r r =(5) 平面的点法式方程是(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=(7) 坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是：yoz 0),(=z y f z (8) 已知两点与，与向量方向一致的单位向量= 。
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第八章 向量代数与空间解析几何自测题 A 卷一、 填空题：（第1题5分，其余每题3分，共17分） .________________________)5(.________________________)4(.__________________)3(.___________________,__________)2(.____________________,____________________)1(),1,1,3(),4,3,1(,)1,1,2(.1的直线方程为且平行于过的平面方程为且垂直于过的面积为以三点为顶点的三角形为的夹角与为上的投影在向量单位向量为的方向余弦为向量则已知三点AB C AB C AC AB AC AB AB C B A -----._________________)()()2(._________________)()()1(},2,0,2{},4,1,1{.2=-⨯+=-⋅+-=-=b a b a b a b a b a设._________________________116251.3222的名称是曲面=-+z y x._________________________01.42曲面方程是轴旋转一周得到的旋转绕曲线y z x y ⎪⎩⎪⎨⎧=+=._________________________012)0,2,1(.5上的投影点是在平面点=+-+-z y x二、 选择题（每题3分，共15分）.)1,3,2()(;)1,3,2()(;)1,3,2()(;)1,3,2()()1,3,2(.1D C B A M --------是关于坐标原点的对称点点.32)(;32)(;23)(;23)().(,,}1,1,2{},1,1,1{.2--⊥+-=--=D C B A a b a b a 等于则为非零常数，若设λλλ.)()(;0)(;0)(;0)(,,,.3c b a D c b a C c b a B c b a A c a b a c b a-⊥=≠=-===⋅=⋅必有时，必有当必有或必有则满足关系式三向量设。
轴旋转所得曲面绕平面上直线轴旋转所得曲面绕平面上直线轴旋转所得曲面绕平面上曲线轴旋转所得曲面绕平面上曲线表示方程y y a z yoz D z x a z xoz C y x a z xoz B x y a z yoz A y x a z =-=-=-=-+=-)(;)(;)()(;)()()(.42222222。
直线在平面上既不平行也不垂直面上互相平行但直线不在平互相垂直与空间直线：平面)(;)(;)(;)().(121131032.5D C B A z y x z y x -=-+=-=+-+π三、 计算题（第1，2题每题6分，第3－10题每题7分，共68分）1. .,,3)^,(,3,2,3,32B A B A b a b a b a B b a A ⨯⋅===-=+=求已知π2. 轴的平面方程。
且平行于和求过两点ox )7,2,5()1,2,1(--3. 的平面方程。
和直线求过点⎩⎨⎧=+-=---0620165)1,3,2(z y y x4. 的距离。
到直线求点321121)1,2,1(-=-+=--z y x5. 的平面方程。
且垂直于平面求过直线0734422152=+-+-=+=-z y x z y x6.的直线方程。
且过点平行＋求与直线)1,1,0(202-⎩⎨⎧=+=+z x z y x7.。
的直线方程平行于平面垂直于直线－求过点0643:,14213:),2,0,1(=+-+=+=-z y x zy x L A π8.是否垂直？是否平行？是否重合？：与：讨论直线⎩⎨⎧=-+=-++=+=+-02301231211121z x y x L z y x L9.。
上的投影直线的方程在平面求直线14:0923042:=+-⎩⎨⎧=---=+-z y x z y x z y x L π10.平面上的投影方程，其交线在分别表示什么曲面？求＋及方程xoz a x a y x y x a z )0(22222>=--=并指明是什么曲线？第八章 向量代数与空间解析几何自测题 B 卷一、选择题（每题3分，共15分）.//)(;//)(;//)(;//)(,0,0,,.1c b c a D c b c a C c b b a B c b b a A c a b a c b a且且且且则为非零向量，且设⊥⊥⊥⊥=⨯=⋅ .0)(;0)(;0)(;0)(,,.2=⨯=⋅=+=-+=-b a D b a C b a B b a A b a b a b a 则必有为非零向量，且满足设。
斜交与垂直于上在平行于，则：与直线：平面πππππL D L C L B L A z y x z y x L z y x )(;)(;)(;)().(0310201230224.3⎩⎨⎧=+--=+++=-+-.6)(;4)(;3)(;2)(326:182511:.421ππππD C B A z y y x L z y x L 的夹角是与直线⎩⎨⎧=+=-+=--=-,)(;0,)(;0,)(;0,)().(0,0,)0,2,2()0,,(.5=====-===-===-==+++≠D B C A D D B C A C D A C B B D C B A A D Cz By Ax xoy k k k k k 的系数必满足的一般式方程平面，则该平面且垂直于其中与通过点已知平面二、填空题（每题4分，共20分）._________________________1)4(._________________________2)3(._________________________0823)2(._________________________3122)1(.1222222222表示表示表示表示称是下列方程表示的曲面名y x z x y x z yx z y x +-==-=-++=+._________________300,)2(._________,4)1(},5,,1{},1,2,3{.2==--=-=k b a k a b k b a 时，为为边的平行四边形面积以时上的投影为在设.____________________14:.3222222轴的柱面方程是平行于，母线：准线为z z y x z y x C ⎪⎩⎪⎨⎧+==++ ._____________)()(,3,2.422=⋅+⨯==b a b a b a则设._________________________)4,3,2(.5为轴垂直相交的直线方程且与过点y -三、 计算题（1－7题每题8分，第八题9分，共65分）.,3,2,1,6)^,(,3)^,(,,,,.1c b a c b a c b c a b a c b a++=====⊥求设三非零向量ππ平行的平面方程。
和＋且与直线求过点11110:01012:)1,2,1(.221-=-=⎩⎨⎧=-+-=+-z y x L z y x z y x L,4501284,0405.3角成且与平面的交线和过平面一平面o z y x z x z y x =+--=+-=++方程。
求其。
的方程对称的另一直线，求关于直线为与直线直线的方程；，求的直线作平行于过点设直线21211)2()2,1,1()1(,02012:.4L L L L L L L A z y x z y x L -⎩⎨⎧=-+-=--+的平面方程。
且平行于求过和的方程设两直线2121,11122:130211:.5L L zy x L z y x L =-=+--=-=-求此直线方程。
垂直直线且与轴相交使其与作一直线）（过点,22334:,,3,2,1.61--=-=-z y x L z L并求该直线在平面平面垂直于使直线确定,025363:12211:,.7=+++-=+=-z y x z y x L πλλ 。
上的投影直线方程：02=-+-z y x π平面的平面，并使其中一个的交线求两个互相垂直和过两平面02:0:.821=++=-+z y x z y x ππ.)11,0(-A 过点第八章 向量代数与空间解析几何 自测题 C 卷一、选择题（每题7.5分，共15分）.)(;)(;)(;)(,0,,.1a b D c a C c b B b c A c a c b a c b a⨯⨯⨯⨯=⨯=++则满足设)(.35)(;45)(;0)(;1)().(12111:0102:.221C D C B A z y x L z x y x L -=-=+=-⎩⎨⎧=+-=+-λλ相交于一点，则与空间两直线二、填空题（每题4分，共20分）)2,,0(,,,,,.1πγβαγβα≤≤的夹角分别为与三坐标面设直线zox yoz xoy L._________________cos cos cos 222=++γβα则，则的数量积为与和垂直于向量设向量________________,10},3,1,1{}1,3,2{.2=--==x c b a x._________________________)10(1.32曲面方程是轴旋转一周生成的旋转绕曲线z z y z x ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==.______________,0,,.4=⋅+⋅+⋅=++a c c b b a c b a c b a则为单位向量，且设.___________04023:211:.521间的最短距离是与两直线⎩⎨⎧=-+-=+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=z y x z y x L tz t y tx L三、计算题（1－7题每题8分，第八题9分，共65分）.)^,(,274,573.1b a b a b a b a b a求向量＋已知向量-⊥--⊥.)()]()([,2)(.2a c c b b a c b a+⋅⨯⨯+=⋅⨯求设。
必共面不共面，证明设三向量r p r q q p r q p52,53,32,,.3+-+。
求该平面到原点的距离（均为非零常数）的截点分别为设一平面在三坐标轴上,,,.4c b a所在平面的方程。
相交，并求出与使直线确定2121,12111:11111:,.5L L zy x L z y x L =-=+-=+=-λλ相交的直线方程。
直线又与且垂直于直线）（求过点21311:,14132:,1,0,1.621zy x L z y x L A =-=+=-+=--。
距离最远的平面的方程的所有平面中求与原点在过直线13101:.7-+=-=-z y x L之值。